Resolução da Lista de Exercícios – Probabilidades (Prof. Franzé Costa)

PARTE 1 – DADOS DE LOTERIAS

Questão 01

1) Levante dados dos sorteios da quina (loteria) desde o primeiro sorteio. Considere que, por hipótese, os números sorteados em cada posição (o 1º, o 2º, …, o 5º) têm distribuição uniforme discreta com valores inteiros de 1 a 80.

a) Usando o R, faça o histograma para cada dígito e analise se esta expectativa se confirma. Analise a suposição de que esses dados são, de fato, oriundos uma variável aleatória uniformemente distribuída.

##   num       data pri seg ter qua qui num_ganh num_quad num_ter acumu
## 1   1 13/03/1994  25  45  60  76  79        3      127    7030     0
## 2   2 17/03/1994  13  30  58  63  64        1      105    4861     0
## 3   3 20/03/1994   5  15  32  33  48        1      232   10196     0
## 4   4 24/03/1994  27  57  60  61  77        1       78    4033     0
## 5   5 27/03/1994  19  44  53  54  71        1      137    5338     0
## 6   6 03/04/1994   4  45  54  65  67        1      157    7286     0

a) Resposta

A hipótese de que os dados de loteria segue um distribuição uniforme se confirma. Embora haja tendência de uniformidade, mas há uma pequena oscilação indicando concentração dos primeiros dígitos nos valores menores que 20 e os maiores dígitos ficando próximos do número 80.

b) Extraia a média e a variância de todo o conjunto de dados, e compare com os valores da esperança e da variância da variável aleatória X~Uniforme(80).

## [1] 40.44
## [1] 533.1
##   Variável Médias Variâncias
## 1      Pri  38.33     551.59
## 2      Seg  39.38     528.38
## 3      Ter  40.99     517.25
## 4      Qua  41.32        513
## 5      Qui  42.17     546.01
## 6    Total  40.44      533.1

b) Resposta

As médias calculadas individualmente aproximam-se da média total.Em contrapartida, as variâncias apresentam divergência maior.

c) Em cada sorteio, extraia a média e a mediana dos valores sorteados, e chame essas novas variáveis de “média das amostras” e “mediana das amostras”. Em seguida, faça o histograma e extraia a média e a variância dessas novas variáveis e analise se as seguintes assertivas têm sentido:

## [1] 57.0 45.6 26.6 56.4 48.2 47.0
## [1] 60 58 32 60 53 54

##                 Medida  Valor
## 1                Média  40.44
## 2   Variância da Média 100.73
## 3              Mediana  40.52
## 4 Variância da Mediana  214.3

• As médias das amostras de tamanho 5 seguem distribuição aproximadamente normal, com média igual ao valor esperado da variável aleatória, e variância aproximadamente igual à variância da variável aleatória dividida pelo tamanho da amostra.

c.1) Resposta

O histograma das médias amostrais de tamanho 5, apresentado anteriormente, revela que as médias amostras aproximam-se de um distribuição normal e o valor esperado dessa variável aleatória possui média de 40,44 que é justamente a média de todas as observações (40,44).

##                         Medida  Valor
## 1                  Média Total  40.44
## 2               Média Amostral  40.44
## 3 Variância Variável Aleatória 100.73
## 4           Variância Amostral 106.62

c.2) Resposta

Ao calcular a variáncia das médias das amostrais de tamanho 5, temos que variância amostral (106,2) é aproximadamente igual à variância da variável aleatória dividida pelo tamanho da amostra (100,73).

• As medianas das amostras de tamanho 5 seguem distribuição aproximadamente uniforme, com média igual ao valor esperado da variável aleatória, e variância aproximadamente igual à variância da variável aleatória. 

##                         Medida Valor
## 1                  Média Total 40.44
## 2             Mediana Amostral 40.52
## 3 Variância Variável Aleatória 533.1
## 4           Variância Amostral 214.3

c.2) Resposta: segunda parte

Não, as medianas das amostras de tamanho 5 seguem distribuição aproximadamente Normal com média de (40,52), valor é aproximadamente igual ao da médida de todo o conjunto (40,44). Já as variâncias são bastantes diferentes, sendo a Variância Total de 513,10 e a Variância da variável aleatória: 214,3.

• A variância das medianas é maior que a variância das médias.

##   Variância Média Variância Mediana 
##          100.7295          214.2966

c.3) Resposta

A variância das medianas (214.2966) é maior que a variância das médias (100.7295).

d) Em cada sorteio, extraia o mínimo e o máximo dos valores sorteados, e chame essas variáveis de “mínimos amostrais” e “máximos amostrais”, e extraia a média dessas variáveis. Em seguida, multiplique os mínimos por (n-1)/n, e os máximos por (n+1)/n, definindo as novas variáveis por “mínimos amostrais ajustados” e “máximos amostrais ajustados”, e novamente extraia a média (n é o tamanho das amostras). Analise as seguintes assertivas:

## [1] 25 13  5 27 19  4
## [1] 79 64 48 77 71 67
## [1] 24.995262 12.997536  4.999052 26.994883 18.996399  3.999242
## [1] 79.01497 64.01213 48.00910 77.01459 71.01345 67.01270
##              Média  Valor
## 1  Mínimo Amostral 13.436
## 2 Mínimo Ajustados 13.433
## 3 Máximos Amostral 67.508
## 4 Máximo Ajustados 67.521

• Em média, o mínimo amostral e o máximo amostral são bastante distintos dos valores de mínimo e máximo da variável aleatória (lembre-se que a distribuição varia de 1 a 80).

d.1) Resposta

Verifica-se que, em média, o mínimo amostral (13,436) é bastante diferente do valor mínimo da variável aleatória (1,000). Do mesmo modo, o valor máximo amostral (67,508) é bem inferior ao valor máximo da variável aleatória (80).

• Em média, os valores ajustados de mínimos e máximos amostrais ajustados aproxima-se dos valores de mínimo e máximo da variável aleatória.

d.2) Resposta

Verifica-se, pela tabela anterior, que, em média, o mínimo amostral ajustado (13,433) é bastante diferente do valor mínimo da variável aleatória (1,000). Do mesmo modo, o valor máximo amostral ajustado (67.521) é bem inferior ao valor máximo da variável aleatória (80).

e) Em cada sorteio, extraia o média, multiplique por 2, subtraia o mínimo e use o valor para ‘estimar’ o máximo. Em seguida, extraia a média dos valores gerados ao longo de todos os sorteios e compare com o máximo real (que é 80). Defina um procedimento na mesma lógica para o mínimo e analise os resultados.

##            Máximo   Mínimo
## Estimado 67.44218 13.37017
## Real     80.00000  1.00000
## Erro (%) 15.69727 83.28728

e) Resposta

Os valores estimados diferem significativamente dos valores reais. O erro do máximo ficou em 15,69%, enquanto do erro valor mínimo estimado foi de 83.29%.

f) Considere a seguinte situação hipotética: “Os taxis de uma determinada cidade foram numerados na sequência do números naturais, com registros na prefeitura. A regra de distribuição de taxis sempre foi de 1 para 1000 habitantes, e a cidade tem 98 mil habitantes. Novos empreendedores defendiam que o número real estava aquém da regra; já na justiça havia desconfiança de fraude na distribuição, com mais concessões que o previsto na regra. A decisão foi procurar saber o total de taxis licenciados, mas, em um incêndio recente, todos os registros foram perdidos.” Defina uma regra de estimação desse valor máximo e opine sobre quem parece ter razão.

## [1] 98

PARTE 2 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DISCRETAS

Questão 01

1) Considere o lançamento de uma moeda três vezes. Apresente uma visão do espaço amostral para este experimento aleatório, com todos os eventos elementares (C para caras e K para coroa), e indique uma tabela de probabilidades considerando:

a) Que a moeda é não viciada.

## [1] "CCC" "CCK" "CKK" "CKC" "KKK" "KKC" "KCC" "KCK"
## [1] 0.13 0.38 0.38 0.13
## [1] 0.125 0.375 0.375 0.125
##      X  P(X)
## [1,] 0 0.125
## [2,] 1 0.375
## [3,] 2 0.375
## [4,] 3 0.125

b) Que, no lançamento desta moeda 500 vezes, observaram-se 305 caras (C). Calcule então as probabilidades associadas ao mesmo experimento considerando este resultado empírico.

##      X       P(X)   
## [1,] "0"     "0.064"
## [2,] "1"     "0.288"
## [3,] "2"     "0.432"
## [4,] "3"     "0.216"
## [5,] "Total" "1"

c) Para os dois casos acima, apresente a distribuição de probabilidades das seguintes variáveis aleatórias:

• X1: Número de faces iguais

• X2: Número de caras

## [1] 0.13 0.38 0.38 0.13
## [1] 0.13 0.38 0.38 0.13
##       X Prob05 Prob06
## 1     0  0.125  0.064
## 2     1  0.375  0.288
## 3     2  0.375  0.432
## 4     3  0.125  0.216
## 5 Total      1      1

Questão 03

3)Estima-se que 8% das pessoas que reservam passeios turísticos faltam, e por isto uma operadora passou a vender pacotes a mais para garantir o transporte completo. Considere um transporte de médio porte de 75 lugares, para o qual uma operadora costuma vender 80 passagens. Determine a probabilidade de que alguém deixe de fazer o passeio por conta de falta de lugar (considere que o número de pessoas segue uma distribuição binomial com n=80 e p=0,92, com o sucesso sendo ‘a pessoa não falta’).

## [1] 0.2234999

Questão 04

4) Considerando os dados da questão 3, supondo que o governo aplica uma multa de R$ 10000,00 se ao menos um cliente for prejudicado, e que a empresa opera cerca de 90 passeios por mês, estime o valor esperado do total decorrente de multas que a empresa deve pagar.

## [1] 20.11499
## [1] 201149.9

Questão 05

5) Ainda com base nos dados da questão 3, o novo gerente decidiu que somente há sentido em vender mais pacotes que a capacidade se o risco de ser multado for menor que 2,5%. Nesse sentido, simule no R os valores e indique qual deve ser o máximo de passagens a mais que a empresa pode vender. Para esse valor máximo, indique o valor esperado a pagar em multas, nos 90 passeios mensais.

##      [,1]  [,2]
## [1,]   75 0.013
## [2,]   76 0.049
## [3,]   77 0.121
## [4,]   78 0.233
## [5,]   79 0.375
## [6,]   80 0.013
## [1] 1.127589
## [1] 11275.89

Questão 06

6)Considerando que a empresa vende cada pacote por R$ 4000,00 e lucra em torno de 9%, supondo que o cliente que falta não gera custo, faça o que se pede:

a) calcule o lucro esperado, e o defina como o lucro de referência para as 75 vagas disponíveis.

## [1] 27000

b) calcule a perda média esperada em relação ao lucro de referência caso venda somente o limite de pacotes possíveis ou caso venda os 80 pacotes.

## [1] 10555.89
## [1] 201653.9

c) supondo que a empresa quer manter o lucro de referência, e considerando agora a situação de venda de 75 ou 80 pacotes e o valor de multa associado (ver questão 4),indique qual seria o valor a ser cobrado de multa dos clientes que se espera que não comparecerão, nas duas formas de venda.

## [1] 1759.31
## [1] 31508.43

d) considerando que multas maiores desestimulam mais clientes, analise o que é mais vantajoso: vender o limite ou vender 80 lugares.

Pela enorme diferença entre o valor das multas ao vender do limite e do valor máximo, é mais vantajoso vender apenas o limite pois causaria maior estímulo aos clientes.

Questão 07

7) Na véspera de uma eleição, um candidato decidiu colocar 5000 panfletos nas caixas de correios das pessoas de sua área de interesse. A empresa que produz os panfletos alega que a probabilidade de um sujeito votar no candidato influenciado pelo panfleto é 0,04. Considerando que são necessários 220 votos para o candidato ser eleito, apresente.

a) O número esperado de pessoas que votarão no candidato influenciado pelos panfletos.

## [1] 200

b) A probabilidade de o candidato ser eleito (ou seja, conseguir os 220 votos ou mais) com base nos panfletos distribuídos.

## [1] 0.928826

c) O candidato conseguiu, ao final, 160 votos. Levando em conta este resultado, avalie, com base na probabilidade de ocorrência deste resultado, se a empresa de panfletos estimou corretamente o impacto deste meio de comunicação na votação (considere a probabilidade de ele ter 160 ou menos; tome por regra que um valor é ‘plausível’ se tem chance até 1% de ocorrer, e menor que isso seria indicativo de fraude).

## [1] 0.001654363

Questão 08

8) Pesquise a definição, a formulação, e descreva o valor esperado e a variância das distribuições discretas hipergeométrica e de Poisson. Faça um exemplo (apenas 1 de cada distribuição) no R com simulação e apresentação do gráfico.

Ditribuição Hipergeométrica

Distribuição Hipergeométrica é adequada quando consideramos extrações casuais feitas sem reposição de uma população dividida segundo dois atributos. Dessa forma, considere uma população com N objetos nos quais M são classificados como do tipo A e N-M são classificados como do tipo B.

Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição hipergeométrica [X ~ Hgep(M, N, n)] de parâmetros M, N e n se sua função de probabilidade for dada por:

\[P(X=k)= {{M \choose k} {N - M \choose n - k}\over {N \choose n}}\]

Valor Esperado

\[ E(x) = n {M \over N} \]

Em que \[ {M \over N} \] é a probabilidade de ocorrência de um evento numa única extração.

Variância

\[{\sigma^2 = n{M \over N}{(N-M) \over N}{N-n \over N-1}}\]

Exemplo

O Departamento de Estatística é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando, ao acaso, três membros do departamento. Pede-se:

a) Qual a probabilidade da comissão ser formada por duas mulheres?

## [1] 0.2919786

b) Qual a probabilidade de a comissão ser formada por pelo menos duas mulheres?

## [1] 0.3475936

Distribuição de Poisson

Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade de variável aleatória discreta que expressa a probabilidade de uma série de eventos ocorrer num certo período de tempo se estes eventos ocorrem independentemente de quando ocorreu o último evento.

Uma variável aleatória discreta \(X\) segue a distribuição de Poisson com parâmetro \(\lambda\), com \(\lambda>0\), se sua função de probabilidade for dada por:

\[ \mathbb{P}(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \]

Utilizamos a notação \(X\sim\ \text{Poisson}(\lambda)\) ou \(X\sim\ \text{Po}(\lambda)\). O parâmetro \(\lambda\) indica a taxa de ocorrência por unidade medida.

Valor Esperado: Distribuição Poisson

O valor esperado de uma distribuição de Poisson é igual a \(\lambda\), ou seja, \[ E(x) =\lambda \]

Variância: Distribuição Poisson

A variância de uma distribuição de Poisson também é igual a \(\lambda\).

\[ E(x) =\lambda \]

Exemplo - Distribuição Poisson

Suponha que uma aplicação de tinta em um automóvel é feita de forma mecânica, e pode produzir defeitos de fabricação, como bolhas ou áreas mal pintadas, de acordo com uma variável aleatória \(X\) que segue uma distribuição de Poisson de parâmetro \(\lambda=1\). Suponha que sorteamos um carro ao acaso para que sua pintura seja inspecionada.

a) qual a probabilidade de encontrarmos, pelo menos, \(1\) defeito? 

## [1] 0.6321206

b) qual a probabilidade de encontrarmos de \(2\) a \(4\) defeitos?

## [1] 0.2605813

Obs: os conteúdos destes tópicos foram retirados de: http://www.portalaction.com.br/probabilidades/52-distribuicao-de-poisson

PARTE 3 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES CONTÍNUAS

Questão 01

1) Simule no R a geração de uma amostra aleatória de tamanhos 10, 1000, 10.000, e 100.000 elementos de uma distribuição de probabilidade uniforme, de 0 a 10. Em cada caso, calcule a média e a variância de duas formas:.

a) Solicitando no R pelos comandos mean() e var() b) Pela fórmula de cálculo: (max()+min())/2 – para a média; ((max()-min())^2)/12 – para a variância.

c) Compare os valores obtidos nos itens a e b e compare com a média e a variância teórica da distribuição uniforme entre 0 e 10. Analise a seguinte afirmação: ‘quando a amostra cresce, qualquer das formulações leva a valores próximos do valor de referência na distribuição de origem da amostra’.

Questão 02

2) Considere que o tempo de início efetivo de uma aula é uniformemente distribuído entre 14:00 e 14:09. O professor, uma vez que entra na sala, coloca falta nos estudantes que não estão em sala.

a) Calcule o horário médio de início das aulas.

## [1] 4.5

b) Usando o R, calcule a probabilidade de um estudante ficar com falta se chegar depois de 14:05. E de chegar depois de 14:08.

## [1] 0.5555556
## [1] 0.8888889

c) Qual a probabilidade de o professor chegar entre 14:05 e 14:07?

## [1] 0.2222222

d) Gere uma amostra aleatória de tamanhos 500, 5000 e 50000 de uma variável com distribuição uniforme de 0 a 9. Em seguida, calcule o percentual de valores entre 2 e 7. Compare os resultados com o que você encontrou no item c e comente.

## [1] 0.216

## [1] 0.2316

## [1] 0.22144

Comentário: Resultado igual, com precisão de duas casas decimais, ao encontrado no item C. Ou seja, a medida que o tamanho da amostra aumenta, tende-se a chegar ao valor teórico;

e) Um estudante quer estar 90% certo de que não se atrasará na aula. Qual então o horário máximo que deve chegar?

## [1] 0.9

Questão 03

3) Um estudo mostrou que o Coeficiente de rendimento acadêmico (CRA) possui distribuição aproximadamente normal com média 7,35 e desvio padrão de 1,49. Utilizando o R, faça o que se pede:

a) Calcule a probabilidade de encontrarmos estudantes com CRA menor que 6.

## [1] 0.1824573

b) Se a instituição possui 30.000 estudantes, indique quantos são esperados ter um CRE menor que 6.

## [1] 5473.718

c) Gere uma amostra aleatória de tamanho 30.000 de uma variável com distribuição normal com média 7,35 e desvio padrão de 1,49, faça o histograma da distribuição gerada (não precisa mostrar os dados), e calcule as principais medidas de posição, dispersão e formato. Analise os valores levando em conta a discussão feita sobre medidas descritivas e esses valores na distribuição normal teórica.

## [1] 7.349171
## [1] 2.229785
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  0.4572  6.3419  7.3431  7.3492  8.3553 14.6748
## [1]  0.4571525  6.3418146  7.3430811  8.3552701 14.6748330

d) Na distribuição gerada no item c, calcule a percentagem de valores que são menores que 6 compare com os resultados do item a. Comente a diferença, se houver, em relação à probabilidade calculada em a.

## [1] 0.1828

e) A universidade está debatendo qual deve ser a nota mínima de CRA para que os alunos possam disputar bolsas de extensão, monitoria e iniciação científica. Foi sugerido que a nota deveria ser tal que deixasse aptos não mais que 30% dos alunos. Porém um grupo de professores defende que a nota mínima para concorrer a bolsa deve ser 8,0, independente do percentual de alunos que possa concorrer. Considerando os dados apresentados, indique qual deve ser a nota de corte fixada pela universidade que seja mais favorável aos alunos.

## [1] 8.131357
## [1] 0.3313307

Questão 04

4) Simule no R amostras de tamanho 30, 300, 3000 e 30000 de uma distribuição binomial \(X \sim Bin(49;0.5)\).

a) Faça o histograma e extraia as medidas descritivas de média, mediana, desvio padrão, assimetria e curtose.

## [1] 24.53333
## [1] 12.46437
## [1] 24.5
## [1] 3.530491

## [1] 24.34
## [1] 11.80375
## [1] 24
## [1] 3.435658

## [1] 24.33233
## [1] 12.36001
## [1] 24
## [1] 3.51568

## [1] 24.51473
## [1] 12.07572
## [1] 25
## [1] 3.475013

b) Analise a afirmação de que há aproximação de medidas descritivas entre as distribuições, o que se verifica mais claramente em grandes amostras.

c) Calcule no R, para essa distribuição, a probabilidade de encontrar valores entre 20 e 40.

## [1] 0.9243333
## [1] 0.8735642

d) Para cada amostra extraída, compare os resultados de uma amostra aleatória de mesmo tamanho de uma distribuição normal com média 24,5 e desvio padrão 3,5. Também aqui, encontre a probabilidade de a probabilidade de encontrar valores entre 20 e 40. Compare os resultados com o item c.

Questão 05

5) Seja \(X \sim Bin(n;p)\):

a) Simule a geração de amostras de tamanho 10000 com as seguintes especificações, e em cada caso faça um histograma: (1) n=10, p=0,5; (2) n=100, p=0,5; (3) n=1000, p=0,5; (4) n=10, p=0,8 (2) n=100, p=0,8; (3) n=1000, p=0,8.

##   Média Simulada Variância Simulada
## 1         4.9954           2.456224

##   Média Simulada Variância Simulada
## 1        49.9862           25.27154

##   Média Simulada Variância Simulada
## 1       500.1203           250.4709

##   Média Simulada Variância Simulada
## 1          8.027            1.59163

##   Média Simulada Variância Simulada
## 1        80.0629           15.68011

##   Média Simulada Variância Simulada
## 1       799.7311           161.5395

b) Pesquise sobre a ‘aproximação a binomial pela normal’ em análise de probabilidades e verifique, nos histogramas, se há algum condicionamento a ‘aproximação’ relativo ao tamanho de n e de p (em particular, verifique o efeito da assimetria gerada por valores de p que se distanciam de 0,5).

A distribuição normal fornece uma boa aproximação muito boa da distribuição binomial quando n, o número de observações, for satisfatoriamente grande e p, a probabilidade de sucesso de cada realização está próxima de 1/2.

Uma boa aproximação normal da distribuição binomial ocorre somente quando np e n(1 − p) forem ambos maiores do que 5, ou seja, \(np > 5\) e \(n(1 − p) > 5\). Então: \(Y ∼ Bin(n; p)\) e

\(Y \sim^a N(np; \sqrt{(np(1 − p)})\)

Questão 06

6) Pesquise a definição, a formulação, e descreva o valor esperado e a variância das distribuições contínuas: exponencial, t e qui-quadrada. Faça um exemplo (apenas 1 de cada distribuição) no R com simulação e apresentação do gráfico (use no máximo 200 palavras no total)

6.1 - Distribuição Exponencial

A distribuição exponencial é um tipo de distribuição contínua de probabilidade, representada por um parâmetro \(\lambda\). É caracterizada por ter uma função de taxa de falha constante (única com esta propriedade). Tem sido usada extensivamente como um modelo para o tempo de vida de certos produtos e materiais. A variável aleatória \(X\) tem distribuição Exponencial com parâmetro \(\lambda\), com \(\lambda > 0\), se tiver função densidade de probabilidade dada por:

\[ f(x;\lambda) = \left \{ \begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x}, & \mbox{se }x \ge \mbox{0} \\ 0, & \mbox{se }x < \mbox{ 0} \end{matrix} \right. \]

Valor Esperado: \(E(X) = \frac{1}{\lambda}\).

Variância: \(Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}\).

Falta de Memória: probabilidade de que seja necessário esperar, por exemplo, mais que 30 segundos até que o evento aconteça, dado que esse evento não aconteceu antes de 20 segundos, é a mesma de que esse evento ocorra depois dos 10 segundos iniciais.

6.2 - Distribuição t

Uma variável aleatória contínua \(X\) tem distribuição \(t\) de Student com \(\nu\) graus de liberdade se sua função densidade de probabilidade é dada por:

\(f(x)=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^2}{\nu}\right)^{-\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}\qquad x \in(-\infty,\infty).\)

Propriedades da distribuição t de Student: + A função densidade da distribuição t de Student tem a mesma forma em sino da distribuição Normal, mas reflete a maior variabilidade (com curvas mais alargadas) que é de se esperar em amostras pequenas. + Quanto maior o grau de liberdade, mais a distribuição t de Student se aproxima da distribuição Normal. Abaixo temos um gráfico da função densidade de um t de Student com 10 graus de liberdade.

6.3 - Distribuição qui-quadrada

Uma variável aleatória contínua \(X\) tem distribuição qui-quadrado com \(\nu\) graus de liberdade se sua função densidade for dada por:

\(f(x)=\frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\nu/2)}x^{(v/2)-1}\exp\left(-\frac{x}{2}\right); \ \nu > 0, \ x>0\)

Valor de Esperado: \(E(x)=\nu\)

Variância: \(Var(X)=2\nu\)