Ejercicio 1 Para la Compañía A existe un 60% de posibilidades de que no se realice ninguna reclamación durante el próximo año. Si se hacen uno o más reclamos, el monto total de las reclamaciones se distribuye normalmente con una media de \(10,000\) y una desviación estándar de \(2,000\).

Para la Compañía B, existe un 70% de posibilidades de que no se realice ninguna reclamación durante el próximo año. Si se hacen uno o más reclamos, el monto total de las reclamaciones se distribuye normalmente con una media de \(9,000\) y una desviación estándar de \(2,000\).

Los montos totales de reclamaciones de ambas compañías son independientes.

Calcule la probabilidad de que, en el próximo año, el monto total del reclamo de la Compañía B exceda el monto total del reclamo de la Compañía A.

Solución

Método Analítico

Para que B exceda a A se tienen dos casos, cuando B tiene por lo menos una reclamación y A ninguna o cuando ambas presentan reclamaciones. La probabilidad de este evento es:

.6*.3+.4*.3*pnorm(-1000/sqrt(2000^2+2000^2),0,1)
## [1] 0.2234204

Método de Simulación

library(actuar)
mean(rcompound(1000000, rbinom(1,.3), rnorm(9000, 2000))-rcompound(1000000, rbinom(1,.4), rnorm(10000, 2000))>0)
## [1] 0.223302

Ejercicio 2 Una Compañía vende dos tipos de pólizas de seguro de auto: Básica y Deluxe. El tiempo hasta la próxima reclamación de una póliza Básica es una variable aleatoria exponencial con una media de dos días. El tiempo hasta la próxima reclamación de una póliza Deluxe es una variable aleatoria exponencial independiente con una media de tres días.

Calcule la probabilidad de que la próxima reclamación sea de una póliza Deluxe.

Solución

\[P(B>D)=\int_0^{\infty}f_D(x)S_B(x)dx=\int_0^{\infty}\frac{e^{-x/3}}{3}e^{-x/2}dx=\int_0^{\infty}\frac{e^{-5x/6}}{3}dx=\frac{1}{3}\frac{6}{5}\int_0^{\infty}\frac{5e^{-5x/6}}{6}dx=\]

1/3*6/5*1
## [1] 0.4

Ejercicio 3 El coronavirus SARS-CoV-2 surgió en diciembre de 2019 como un nuevo patógeno humano que causa un síndrome respiratorio agudo severo (COVID-19). Podemos estudiar la evolución de muertes o siniestros en México durante el mes de marzo mediante una tabla de frecuencias.

library(dplyr)
library(fitdistrplus)
library(coronavirus)
update_dataset(silence = TRUE)
wuhCor1=coronavirus %>%filter(type == "death",country=="Mexico",date >= "2020-03-01" & date <= "2020-03-31")
as.data.frame(table(wuhCor1$cases))

Empleando esta información se pueden ajustar distintos modelos al fenómeno.

plot(fitdist(as.data.frame(table(wuhCor1$cases))$Freq, "pois"))

fitdist(as.data.frame(table(wuhCor1$cases))$Freq, "pois")$aic
## [1] 50.19155
plot(fitdist(as.data.frame(table(wuhCor1$cases))$Freq, "nbinom"))

fitdist(as.data.frame(table(wuhCor1$cases))$Freq, "nbinom")$aic
## [1] 33.00658

Se observa que la binomial negativa presenta un mejor ajuste.

Ejercicio 4

Definición: La función generadora de probabilidad (fgp) de una variable aleatoria discreta \(N\) es

\[P(z)=P_N(z)=E(z^N)=\sum_{k=0}^{\infty}p_kz^k,\] donde \(p_k=Pr(N=k).\)

Teorema: Sea \(N\) una variable aleatoria discreta con fgp \(P_N(z).\) Sean \(M_1,M_2,...\) variables aleatorias discretas, i.i.d. e independientes de \(N\), cada una con fgp \(P_M(z).\) Demuestre que la fgp de la suma \(S=M_1+M_2+\cdots+M_N\) es \(P_S(z)=P_N[P_M(z)].\)

Demostración

\[P_S(z)=\sum_{k=0}^{\infty}Pr(S=k)z^k=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty} Pr(S = K|N = n) Pr(N = n)z^k\]

\[=\sum_{n=0}^{\infty}Pr(N = n)\sum_{k=0}^{\infty} Pr(M_1+M_2+\cdots+M_n = K|N = n) z^k\]

\[=\sum_{n=0}^{\infty}Pr(N = n)[P_M(z)]^n=P_N[P_M(z)].\]