EXAMEN SEGUNDA UNIDAD

1. Distribución normal

Considerando una media de 40 y varianza de 20

  • Calcular la probabilidad de que \(X\) sea menor o igual a 43. \(P(\leq 43)\)
pnorm(43, mean=40, sd=sqrt(20), lower.tail = TRUE)
## [1] 0.7488325
  • Calcular la probabilidad de que \(X\) sea mayor o igual a 36 y menor que 44, es decir:

\[ P(36\leq X < 44) \]

pnorm(44, mean=40, sd=sqrt(20)) - pnorm(36, mean=40, sd=sqrt(20))
## [1] 0.6289066
  • ¿Cuál es el valor de \(X\) que deja un 80% por debajo de él?
qnorm(0.80, mean=40, sd=sqrt(20))
## [1] 43.76384
  • Genere una muestra de tamaño 50 de media 40 y varianza de 20
x <- rnorm(50, mean = 40, sd= sqrt(20))
x
##  [1] 39.14261 42.15078 37.39615 34.02746 46.84310 42.18270 42.17855 38.79521
##  [9] 45.42519 35.03828 37.73432 45.15444 40.49689 33.50949 45.67907 33.72545
## [17] 38.15106 34.32692 46.60751 43.39247 51.12500 37.96104 40.26637 37.89598
## [25] 44.82106 42.52604 33.35891 42.96545 38.73514 34.18380 37.27237 42.41753
## [33] 47.60043 42.14576 39.95645 47.59747 39.07014 45.66022 38.39682 38.15180
## [41] 43.63124 32.10155 39.75359 48.34432 39.84027 38.99657 41.33838 44.50308
## [49] 43.29752 38.73884
  • Realice un histograma con los datos generados en el punto anterior y explique
hist(x)

Con este histograma podemos ver que las clases con más frecuencia son las que están en el centro, por lo tanto la mayoría de los datos se encuentran en el centro.

  • Realice un gráfico de caja y bigote con los datos generados en el punto anterior y explique
boxplot(x)

Con este gráfico podemos comprobar las observación o suposición a la que llegamos con el histograma anterior, ya que aqui podemos ver que la mayoría los datos están, practicamente, en el centro,

  • Trace una curva normalizada encima del histograma (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población
hist(x, freq=FALSE) 
curve(dnorm(x, mean=40, sd=sqrt(20)), from=30, to=50, add=TRUE)

  1. Distribución binomial

hay 14 preguntas de selección multiple en un examen. Cada pregunta tiene 6 alternativas y solo 1 es correcta.

  • Calcular la probabilidad de obtener al menos 6 respuestas correctas (si se responde completamente al azar)
sum(dbinom(x = 0:6, size = 14, prob = (1/6)))
## [1] 0.9958913
  • Elaborar gráfica de barras correspondiente a la probabilidad
barplot(dbinom(x = 0:14, size = 14, prob = (1/6)), names.arg = 0:14)

  1. Distribución exponencial

El tiempo medio de atención en la caja de un supermercado es de 4 minutos.

  • Encuentre la probabilidad de que un cliente al azar sea atendido en menos de 2 minutos (λ=2).
pexp(2, rate = 4)
## [1] 0.9996645
  • Gráfique la función de densidad de probabilidad exponencial correspondiente
curve(dexp(x, rate = 4), xlim = c(0,10), xlab = "Valores de X", ylab = "Densidad de Probabilidad")

  1. Distribución Poisson

Si en promedio hay 11 autos por minuto cruzando un determinado puente, Calcular la probabilidad de que 15 o más autos crucen el puente en un minuto cualquiera.

  • calcule:

\[ P(X\geq 15)=1-P(X<17) \]

1-ppois(14, lambda = 11)
## [1] 0.145956
  1. Combinaciones

Un comité de 6 personas será seleccionado de un grupo de 7 hombres y 10 mujeres. Si la selección es aleatoria,

  • ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 4 hombres y 2 mujeres?

\[\frac{\dbinom{7}{4} \dbinom{10}{2}}{\dbinom{17}{6}}\]

choose (7, 4) * choose(10, 2) / choose (17, 6)
## [1] 0.1272624