EXAMEN.

1. Distribución normal

Considerando una media de 40 y varianza de 20

  • Calcular la probabilidad de que X sea menor o igual a 43.

\[P(x\leq 43)\]

pnorm(43, mean= 40, sd= sqrt(20))
## [1] 0.7488325

\[P(x\leq 43)= 0.7488325\]

  • Calcular la probabilidad de que X sea mayor o igual a 36 y menor que 44, es decir:

\[P(36\leq x < 44)\]

pnorm(44, mean = 40, sd = sqrt(20)) - pnorm(36, mean = 40, sd = sqrt(20))
## [1] 0.6289066

\[P(36\leq x < 44)= 0.6289066\]

  • Cuál es el valor de X que deja un 80% por debajo de él?
qnorm(0.80, mean = 40, sd = sqrt(20))
## [1] 43.76384

\[P(X≤x0)=0.80=43.76384 \]

  • Genere una muestra de tamaño 50 de media 40 y varianza de 20
x <- rnorm(50, mean=40, sd=sqrt(20) )
x
##  [1] 38.97633 31.43874 41.93626 37.42224 39.21129 49.54906 35.42793 35.83661
##  [9] 33.88365 40.31560 44.41061 39.29593 35.25455 36.11135 43.12409 39.38196
## [17] 32.69095 39.67409 38.85171 35.17223 38.07193 39.11016 39.73802 40.18501
## [25] 43.55825 40.59834 44.43482 45.96488 44.46119 38.20342 42.86272 42.43520
## [33] 42.61140 35.65300 41.69141 43.91471 47.37558 34.50663 39.73716 36.22745
## [41] 39.99757 37.56079 35.22008 37.78510 37.23257 40.89307 35.20461 34.92436
## [49] 41.40855 37.53343
summary(x)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   31.44   36.14   39.25   39.34   41.88   49.55
  • Realice un histograma con los datos generados en el punto anterior y explique
hist(x, xlab = "Distribucion de muestra", ylab = "Frecuencia", main = paste("Histograma de Muestras"), border = (color = "blue") )

  • Realice un gráfico de caja y bigote con los datos generados en el punto anterior y explique
boxplot(x, border = (color = "blue"))

  • Trace una curva normalizada encima del histograma (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población
hist(x, freq = FALSE, col = "red" , xlab="Valores de x", ylab= "Densidad de X",)
curve(dnorm(x, mean= 40, sd= sqrt(20)), from = 25, to = 55,  add = TRUE, col="darkblue",)

CONCLUSION.

Dada la media de 40 y la varianza de 20, se puede determinar que en caso de que \(P(x\leq 43)\), la probabilidad de que se menor o igual a 43 es del 75%. Pero en el caso donde \(P(36\leq x < 44)\), la probabilidad es menor pero aun asi sigue estando por encima del 50%, donde es 63%. Y si decimos que nuestra \(X\) esté por debajo del 80% el valor seria de 43.76. Para la muestra generada la cual tiene un tamaño de 50 y una media y varianza igual a los casos anteriores, se puede ver en los diagramas que hay una gran concentracion de datos en el grupo de 40-45.

2. Distribución binomial

hay 14 preguntas de selección multiple en un examen. Cada pregunta tiene 6 alternativas y solo 1 es correcta.

dbinom(0, size=14, prob=0.16)+
dbinom(1, size=14, prob=0.16)+
dbinom(2, size=14, prob=0.16)+
dbinom(3, size=14, prob=0.16)+ 
dbinom(4, size=14, prob=0.16)+
dbinom(5, size=12, prob=0.16)+
dbinom(6, size=12, prob=0.16)
## [1] 0.9705191

\[0.9705191)(100)= 97\%\]

barplot(dbinom(x = 0:14, size = 14, prob = 0.16), names.arg = 0:14)

CONCLUSION.

Para obtener la probabilidad de obtener al menos 6 respuestas correctas de 14, donde se tienen 6 alternativas se utiliza la distribucion binomial, y la probabilidad de obtener almenos 6 correctas es del 97%.

3. Distribución exponencial

El tiempo medio de atención en la caja de un supermercado es de 4 minutos.

pexp(2, rate = 4)
## [1] 0.9996645
curve(dexp(x, rate = 4), xlim = c(0,10), xlab = "Valores de X", ylab = "Densidad de Probabilidad")

CONCLUSION.

La probabilidad de que un cliente al azar, sea atendido en menos de 2 minutos es de 99%, es muy probable que un cliente sea atendido en menos de 2 minutos, y se puede apreciar en la grafica.

4. Distribución Poisson

Si en promedio hay 11 autos por minuto cruzando un determinado puente, Calcular la probabilidad de que 15 o más autos crucen el puente en un minuto cualquiera.

calcule: \[P(X\geq 15)=1-P(X<17)\]

1-ppois(14, lambda = 11)
## [1] 0.145956
ppois(14, lambda = 11, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.145956
barplot(dpois(x = 0:30, 11), names.arg = 0:30)

CONCLUSION.

Con ayuda de la distribucion de Poisson, se pudo determinar cual seria la probabilidad de que en un cruce donde pasan 11 carros por minuto, pasen 15 o mas, en donde la probabilidad de que pasen mas de 15 autos en un minuto es del 14%.

5. Combinaciones

Un comité de 6 personas será seleccionado de un grupo de 7 hombres y 10 mujeres. Si la selección es aleatoria,

choose(7,4) * choose(10,2) / choose(17,6)
## [1] 0.1272624

Representado mejor, a manera de desglose:

\[Combinaciones \ de\ hombres\dbinom{7}{4}\] \[Combinaciones \ de\ hombres\ = (35)\] \[Combinaciones \ de\ mujeres\dbinom{10}{2}\]

\[Combinaciones \ de\ mujeres\ = (45)\]

\[Combinaciones \ de\ totales\dbinom{17}{6}\]

\[Combinaciones \ de\ totales\ = (12,376)\]

\[\frac{\dbinom{7}{4} \dbinom{10}{2}}{\dbinom{17}{6}} \]

La probabilidad de que el comité este conformado por 4 hombres y 2 mujeres es: \[Combinaciones \ de \ hombres+mujeres\ = 0.1272\]

Representado de forma porcentual es :

\[Combinaciones \ de \ hombres+mujeres\ =12.72 \%\]

CONCLUSION.

Se pudo determinar la probabilidad de que en un comite conformado por 6 personas , estas sean 4 hombres y 2 mujeres, la probabilidad de que este evento ocurra es del 12.72%.