Examen de Segundo Parcial

1.- Distribución Normal considerando una media de 40 y varianza de 20 * La probabilidad de que X sea menor o igual a 43 \(P(\leq 43 )\)

pnorm(43, mean=40, sd=sqrt(20))
## [1] 0.7488325

\[P(36\leq X < 44) - P(X\leq 36) \]

pnorm(44, 40, sqrt(20)) - pnorm(36, 40 ,sqrt(20))
## [1] 0.6289066
qnorm(0.80, mean=40, sd=sqrt(20) )
## [1] 43.76384
x <- rnorm(50, mean= 40, sd=sqrt(20))
x
##  [1] 33.64198 41.10380 39.11345 41.22528 41.60183 38.75784 46.75117 41.36171
##  [9] 36.88585 42.94904 45.82386 39.60638 45.15782 42.72991 40.45602 35.63934
## [17] 33.35762 48.73966 40.53207 31.78237 42.96302 42.12091 35.74244 50.30327
## [25] 28.80122 27.64581 42.57323 36.01224 43.21617 39.08124 39.30777 37.69258
## [33] 41.80749 36.82402 47.68584 38.02748 41.12887 44.70383 44.35291 35.48383
## [41] 31.88906 41.51915 35.17828 39.87650 47.71756 29.35549 45.45647 40.03695
## [49] 26.24225 39.27328
hist(x)

Con los datos generados obtenemos un histograma asi, el cual nos muestra la frecuencia en los datos que considerando un promedio de 40 se puede ver como existe una gran frecuencia en esa parte y con la varianza de 20 notamos que los valores se mantienen a un rango de alrededor de 5, en comparativa a los que sobrepasan a 5 son mucho mayores en frecuencia

boxplot(x)

Con el grafico de caja y bigote notamos claramente cual es la supuesta media aritmetica del conjunto de datos, que correctamente es 40, donde ademas podemos presenciar que con una varianza de 20 mantenemos una desviacion estandar menor a 5 lo que es representado en los extremos de la caja y que en general los datos o valores van desde alrededor de 30 hasta alrededor de 50, teniendo con esto un panorama detallado de los datos

hist(x, freq=FALSE)
curve(dnorm(x, mean=40, sd= sqrt(20)), from=20, to=55, add=TRUE)

2.- Distribucion Binomial Hay 14 preguntas de seleccion multiple en un examen. cada pregunta tiene 6 alternativas y solo 1 es correcta * Calcular la prbabilidad de obtener al menos 6 respuestas correctas( se responde completamente al azar)

dbinom(0, size=14, prob= 1/6)+
  dbinom(1, size=14, prob=1/6)+
  dbinom(2, size=14, prob=1/6)+
  dbinom(3, size=14, prob=1/6)+
  dbinom(4, size=14, prob=1/6)+
  dbinom(5, size=14, prob=1/6)+
  dbinom(6, size=14, prob=1/6)
## [1] 0.9958913
sum(dbinom(x = 0:6, size = 14, prob = 1/6))
## [1] 0.9958913
barplot(dbinom(x = 0:14, size = 14, prob = 1/6), names.arg = 0:14)

3.- Distribución Exponencial El tiempo medio de atencion en la caja de un supermercado es de 4 minutos * La probabilidad de que un cliente al azar sea atendido en menos de 2 minutos \(\lambda\)=4

pexp(2, rate = 4)
## [1] 0.9996645
curve(dexp(x, rate = 4), xlim = c(0,5), xlab = "Valores de X", ylab = "Densidad de Probabilidad")

4.- Distribución Poisson Si en promedio hay 11 autos por minuto cruzando un determinado puente, Calcular la probabilidad de que 15 o más autos crucen el puente en un minuto cualquiera * Cálcule :\(P(X\geq 15)=1-P(X<17)\)

# Cola izquierda
ppois(14, lambda = 11)
## [1] 0.854044
#cola derecha
ppois(14, lambda = 11, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.145956

5.- Combinaciones Un comité de 6 personas será seleccionado de un grupo de 7 hombres y 10 mujeres. Si la selección es aleatoria… * ¿ Cual es la probabilidad de que el comité este conformado por 4 hombres y 2 mujeres? \[ \frac{\dbinom{7}{4} \dbinom{10}{2}}{\dbinom{17}{6}}\]

\[ C{\dbinom{7}{4}}= \frac{7!}{4!3!}= 35\] \[ C{\dbinom{10}{2}}= \frac{10!}{2! 8!}= 45\] \[ C{\dbinom{17}{6}}= \frac{17!}{6! 11!}= 12376\] \[ P= \frac{35*45}{12376}=0.1272=12.72\%\]

choose (7, 4) * choose(10, 2) / choose (17, 6)
## [1] 0.1272624

Existe una probabilidad de 12.72% de que la combinacion dada se cumpla