EXAMEN 2

\[ \begin{array}{l|l|l|c} \text{Función} & \text{Significado} & \text{Uso}& \text{Observación}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades puntuales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end{array} \] ## Examen Digital E2U2D

1. Distribución normal

Considerando una media de 40 y varianza de 20

• calcular la probabilidad de que \(X\) sea menor o igual a 43. \(P(\leq 43)\)

pnorm(43, mean= 40, sd= sqrt(20))

## [1] 0.7488325

• Calcular la probabilidad de que \(X\) sea mayor o igual a 36 y menor que 44, es decir:

\[ P(36\leq X < 44) \]

pnorm(44, mean = 40, sd = sqrt(20)) - pnorm(36, mean = 40, sd = sqrt(20))

## [1] 0.6289066

• ¿Cuál es el valor de \(X\) que deja un 80% por debajo de él?

\(P(X\leq x_0)=.80\)

qnorm(0.80, mean= 40, sd= sqrt(20))

## [1] 43.76384

• Genere una muestra de tamaño 50 de media 40 y varianza de 20

x <- rnorm(50, mean=40, sd= sqrt (20))
x

##  [1] 43.82404 37.61452 36.47769 38.85916 39.88460 43.58898 45.92924 34.66491
##  [9] 35.20343 39.28321 31.41614 39.88509 37.91496 40.38801 34.81076 39.93254
## [17] 34.07983 42.39226 46.98771 44.31499 42.25681 32.28778 48.23153 36.66266
## [25] 39.63579 38.97507 41.39857 47.21790 33.53080 39.93367 40.22183 33.62690
## [33] 33.53705 42.30176 40.47747 39.07439 40.04892 43.82827 44.96614 39.34430
## [41] 42.02861 41.32981 36.24265 37.42931 43.28985 36.35903 39.49178 43.11622
## [49] 37.99723 41.39959

• Realice un histograma con los datos generados en el punto anterior y explique

hist(x)

Con una media de 40 y varianza de 20 se obtuvo este histograma, el cual es de 50 (como tamaño),por lo tanto como observamos los valores son bastante similares se mantienen entre 2-6 en cuanto a su frecuencia, excepto por los valores de 40-45 en “x”, estos incrementan bastante hasta pasar una frecuencia de valor 10, posicionandose apróximadamente en 12.

• Realice un gráfico de caja y bigote con los datos generados en el punto anterior y explique

boxplot(x)

Los valores de la caja están apróximadamente entre 38 y 42 con su media en 40, estando la varianza en 20 contamos con una desviación estándar de alrededor de 5 y todo esto dentro de un tamaño de 50.

• Trace una curva normalizada encima del histograma (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población

hist(x, freq=FALSE)
curve(dnorm(x, mean=40, sd= sqrt (20)), from=20, to=55, add=TRUE)

2. Distribución binomial

hay 14 preguntas de selección multiple en un examen. Cada pregunta tiene 6 alternativas y solo 1 es correcta.

• Calcular la probabilidad de obtener al menos 6 respuestas correctas (si se responde completamente al azar)

P  <- dbinom(0, size = 14, prob = (1/6))
P1 <- dbinom(1, size = 14, prob = (1/6))
P2 <- dbinom(2, size = 14, prob = (1/6))
P3 <- dbinom(3, size = 14, prob = (1/6))
P4 <- dbinom(4, size = 14, prob = (1/6))
P5 <- dbinom(5, size = 14, prob = (1/6))
P6 <- dbinom(6, size = 14, prob = (1/6))

p <- sum(dbinom(0:6,14,1/6))
p

## [1] 0.9958913

• Elaborar gráfica de barras correspondiente a la probabilidad

barplot(dbinom(x = 0:14, size = 14, prob = (1/6)), names.arg = 0:14, col = "pink" )

3. Distribución exponencial

El tiempo medio de atención en la caja de un supermercado es de 4 minutos. \[ f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\; x\geq 0,\;\lambda>0 \]

• Encuentre la probabilidad de que un cliente al azar sea atendido en menos de 2 minutos (λ=2).

pexp(2, rate = 4)

## [1] 0.9996645

• Gráfique la función de densidad de probabilidad exponencial correspondiente

curve(dexp(x, rate = 4), xlim = c(0,5), xlab = "X", ylab = "Densidad de Probabilidad")

4. Distribución Poisson

Si en promedio hay 11 autos por minuto cruzando un determinado puente, Calcular la probabilidad de que 15 o más autos crucen el puente en un minuto cualquiera.

• calcule:

\[ P(X\geq 15)=1-P(X<15) \]

# Cola izquierda
ppois(14, lambda = 11)

## [1] 0.854044

#cola derecha
ppois(14, lambda = 11, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.145956

5. Combinaciones

Un comité de 6 personas será seleccionado de un grupo de 7 hombres y 10 mujeres. Si la selección es aleatoria,

• ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 4 hombres y 2 mujeres?

\[\frac{\dbinom{7}{4} \dbinom{10}{2}}{\dbinom{17}{6}}\]

choose (7, 4) * choose(10, 2) / choose (17, 6)

## [1] 0.1272624

La probabilidad de que el comité esté conformado por 4 hombres y 2 mujeres sería de 12.72%