Objetivo

Generar distribución de Poisson y determianar probabildiades dadas sus medias iniciales

CASO: Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es 8

a Realizar

  • ¿Cuál es la media de que fallen en un lapso en 25 horas
  • Determinar tabla de distribución para media en un lapso de 26 horas
  • ¿Cuál es la probabilidad de que falle exactamente un componente en 25 horas?
  • ¿Cuál es la probabilidad de que falle dos o más componentes en 25 horas?
  • ¿Cuál es la media de que fallen en un lapso de 50 horas?
  • Determinar tabla de distribución para media en un lapso de 50 horas
  • ¿Cuál es la probabilidad de que falle exactamente dos componente en 50 horas?
  • ¿Cuál es la probabilidad de que falle tres o más componentes en 50 horas?
  • ¿Cuál es la media de que fallen en un lapso de 125 horas?
  • Determinar tabla de distribución para media en un lapso de 125 horas
  • ¿Cuál es la probabilidad de que falle exactamente dos componentes en 125 horas?
  • ¿Cuál es la probabilidad de que falle tres o más componentes en 125 horas?
  • ¿Cuál es la probabilidad de que falle entre tres y cinco componentes en 125 horas?

1. ¿Cuál es la media de que falle un componente en 25 horas?

8=100 entonces x=25 * Regla de tres

media <- 25 * 8 / 100
media
## [1] 2

2. Determinar tabla de distribución para media igual a 2 en un lapso de 26 horas

Primero: realizar las probabilidads para cada valor de la variable discreta desde 0 hasta 10

prob.x <- round(dpois(0:9, lambda = media),4)
prob.x
##  [1] 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.0120 0.0034 0.0009 0.0002

Segundo: Realizar las probabilidades acumuladas de cada valor de la variable discreta desde 0 hasta 10

prob.acum.x <- round(ppois(q = 0:9, lambda = media),4)
prob.acum.x
##  [1] 0.1353 0.4060 0.6767 0.8571 0.9473 0.9834 0.9955 0.9989 0.9998 1.0000
  • Tercero. Determinar la tabla de probabildia desde x=0 hasta x=1,2….9,10
  • Tercero: Determinar la probabilidad de que que falle exactamente un componente en 25 horas con media igual a 2
tabla <- data.frame(1:10, 0:9, prob.x, prob.acum.x)
colnames(tabla) <- c("pos","x", "prob.x", "prob.acum.x")
tabla
##    pos x prob.x prob.acum.x
## 1    1 0 0.1353      0.1353
## 2    2 1 0.2707      0.4060
## 3    3 2 0.2707      0.6767
## 4    4 3 0.1804      0.8571
## 5    5 4 0.0902      0.9473
## 6    6 5 0.0361      0.9834
## 7    7 6 0.0120      0.9955
## 8    8 7 0.0034      0.9989
## 9    9 8 0.0009      0.9998
## 10  10 9 0.0002      1.0000

3. ¿Cuál es la probabilidad de que falle exactamente un componente en 25 horas? . La media es 2

i=2
tabla$prob.x[i] # i es el valor del vector
## [1] 0.2707

4. ¿Cuál es la probabilidad de que falle dos o más componentes en 25 horas?. La media es 2

i=2
 1 - tabla$prob.acum.x[i]
## [1] 0.594

5.¿Cuál es la media de que fallen en un lapso de 50 horas?

media <- 50 * 8 / 100
media
## [1] 4

6.Determinar tabla de distribución para media en un lapso de 50 horas

prob.x <- round(dpois(0:19, lambda = media),4)
prob.x
##  [1] 0.0183 0.0733 0.1465 0.1954 0.1954 0.1563 0.1042 0.0595 0.0298 0.0132
## [11] 0.0053 0.0019 0.0006 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
prob.acum.x <- round(ppois(q = 0:19, lambda = media),4)
prob.acum.x
##  [1] 0.0183 0.0916 0.2381 0.4335 0.6288 0.7851 0.8893 0.9489 0.9786 0.9919
## [11] 0.9972 0.9991 0.9997 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
tabla <- data.frame(1:20, 0:19, prob.x, prob.acum.x)
colnames(tabla) <- c("pos","x", "prob.x", "prob.acum.x")
tabla
##    pos  x prob.x prob.acum.x
## 1    1  0 0.0183      0.0183
## 2    2  1 0.0733      0.0916
## 3    3  2 0.1465      0.2381
## 4    4  3 0.1954      0.4335
## 5    5  4 0.1954      0.6288
## 6    6  5 0.1563      0.7851
## 7    7  6 0.1042      0.8893
## 8    8  7 0.0595      0.9489
## 9    9  8 0.0298      0.9786
## 10  10  9 0.0132      0.9919
## 11  11 10 0.0053      0.9972
## 12  12 11 0.0019      0.9991
## 13  13 12 0.0006      0.9997
## 14  14 13 0.0002      0.9999
## 15  15 14 0.0001      1.0000
## 16  16 15 0.0000      1.0000
## 17  17 16 0.0000      1.0000
## 18  18 17 0.0000      1.0000
## 19  19 18 0.0000      1.0000
## 20  20 19 0.0000      1.0000

7.¿Cuál es la probabilidad de que falle exactamente dos componente en 50 horas?

i=2
 1 - tabla$prob.acum.x[i]
## [1] 0.9084

8.¿Cuál es la probabilidad de que falle tres o más componentes en 50 horas?

i=3
 1 - tabla$prob.acum.x[i]
## [1] 0.7619

9.¿Cuál es la media de que fallen en un lapso de 125 horas?

media <- 125 * 8 / 100
media
## [1] 10

10.Determinar tabla de distribución para media en un lapso de 125 horas

prob.x <- round(dpois(0:99, lambda = media),4)
prob.x
##   [1] 0.0000 0.0005 0.0023 0.0076 0.0189 0.0378 0.0631 0.0901 0.1126 0.1251
##  [11] 0.1251 0.1137 0.0948 0.0729 0.0521 0.0347 0.0217 0.0128 0.0071 0.0037
##  [21] 0.0019 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
##  [31] 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
##  [41] 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
##  [51] 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
##  [61] 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
##  [71] 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
##  [81] 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
##  [91] 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
prob.acum.x <- round(ppois(q = 0:99, lambda = media),4)
prob.acum.x
##   [1] 0.0000 0.0005 0.0028 0.0103 0.0293 0.0671 0.1301 0.2202 0.3328 0.4579
##  [11] 0.5830 0.6968 0.7916 0.8645 0.9165 0.9513 0.9730 0.9857 0.9928 0.9965
##  [21] 0.9984 0.9993 0.9997 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
##  [31] 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
##  [41] 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
##  [51] 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
##  [61] 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
##  [71] 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
##  [81] 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
##  [91] 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
tabla <- data.frame(1:100, 0:99, prob.x, prob.acum.x)
colnames(tabla) <- c("pos","x", "prob.x", "prob.acum.x")
tabla
##     pos  x prob.x prob.acum.x
## 1     1  0 0.0000      0.0000
## 2     2  1 0.0005      0.0005
## 3     3  2 0.0023      0.0028
## 4     4  3 0.0076      0.0103
## 5     5  4 0.0189      0.0293
## 6     6  5 0.0378      0.0671
## 7     7  6 0.0631      0.1301
## 8     8  7 0.0901      0.2202
## 9     9  8 0.1126      0.3328
## 10   10  9 0.1251      0.4579
## 11   11 10 0.1251      0.5830
## 12   12 11 0.1137      0.6968
## 13   13 12 0.0948      0.7916
## 14   14 13 0.0729      0.8645
## 15   15 14 0.0521      0.9165
## 16   16 15 0.0347      0.9513
## 17   17 16 0.0217      0.9730
## 18   18 17 0.0128      0.9857
## 19   19 18 0.0071      0.9928
## 20   20 19 0.0037      0.9965
## 21   21 20 0.0019      0.9984
## 22   22 21 0.0009      0.9993
## 23   23 22 0.0004      0.9997
## 24   24 23 0.0002      0.9999
## 25   25 24 0.0001      1.0000
## 26   26 25 0.0000      1.0000
## 27   27 26 0.0000      1.0000
## 28   28 27 0.0000      1.0000
## 29   29 28 0.0000      1.0000
## 30   30 29 0.0000      1.0000
## 31   31 30 0.0000      1.0000
## 32   32 31 0.0000      1.0000
## 33   33 32 0.0000      1.0000
## 34   34 33 0.0000      1.0000
## 35   35 34 0.0000      1.0000
## 36   36 35 0.0000      1.0000
## 37   37 36 0.0000      1.0000
## 38   38 37 0.0000      1.0000
## 39   39 38 0.0000      1.0000
## 40   40 39 0.0000      1.0000
## 41   41 40 0.0000      1.0000
## 42   42 41 0.0000      1.0000
## 43   43 42 0.0000      1.0000
## 44   44 43 0.0000      1.0000
## 45   45 44 0.0000      1.0000
## 46   46 45 0.0000      1.0000
## 47   47 46 0.0000      1.0000
## 48   48 47 0.0000      1.0000
## 49   49 48 0.0000      1.0000
## 50   50 49 0.0000      1.0000
## 51   51 50 0.0000      1.0000
## 52   52 51 0.0000      1.0000
## 53   53 52 0.0000      1.0000
## 54   54 53 0.0000      1.0000
## 55   55 54 0.0000      1.0000
## 56   56 55 0.0000      1.0000
## 57   57 56 0.0000      1.0000
## 58   58 57 0.0000      1.0000
## 59   59 58 0.0000      1.0000
## 60   60 59 0.0000      1.0000
## 61   61 60 0.0000      1.0000
## 62   62 61 0.0000      1.0000
## 63   63 62 0.0000      1.0000
## 64   64 63 0.0000      1.0000
## 65   65 64 0.0000      1.0000
## 66   66 65 0.0000      1.0000
## 67   67 66 0.0000      1.0000
## 68   68 67 0.0000      1.0000
## 69   69 68 0.0000      1.0000
## 70   70 69 0.0000      1.0000
## 71   71 70 0.0000      1.0000
## 72   72 71 0.0000      1.0000
## 73   73 72 0.0000      1.0000
## 74   74 73 0.0000      1.0000
## 75   75 74 0.0000      1.0000
## 76   76 75 0.0000      1.0000
## 77   77 76 0.0000      1.0000
## 78   78 77 0.0000      1.0000
## 79   79 78 0.0000      1.0000
## 80   80 79 0.0000      1.0000
## 81   81 80 0.0000      1.0000
## 82   82 81 0.0000      1.0000
## 83   83 82 0.0000      1.0000
## 84   84 83 0.0000      1.0000
## 85   85 84 0.0000      1.0000
## 86   86 85 0.0000      1.0000
## 87   87 86 0.0000      1.0000
## 88   88 87 0.0000      1.0000
## 89   89 88 0.0000      1.0000
## 90   90 89 0.0000      1.0000
## 91   91 90 0.0000      1.0000
## 92   92 91 0.0000      1.0000
## 93   93 92 0.0000      1.0000
## 94   94 93 0.0000      1.0000
## 95   95 94 0.0000      1.0000
## 96   96 95 0.0000      1.0000
## 97   97 96 0.0000      1.0000
## 98   98 97 0.0000      1.0000
## 99   99 98 0.0000      1.0000
## 100 100 99 0.0000      1.0000

11.¿Cuál es la probabilidad de que falle exactamente dos componentes en 125 horas?

i=2
 1 - tabla$prob.acum.x[i]
## [1] 0.9995

12.¿Cuál es la probabilidad de que falle tres o más componentes en 125 horas?

i=3
 1 - tabla$prob.acum.x[i]
## [1] 0.9972

13 ¿Cuál es la probabilidad de que falle entre tres y cinco componentes en 125 horas?

media <- 125*8/100
media
## [1] 10
ppois(5,media) - ppois(2, media)
## [1] 0.06431657

CONCLUSION

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que se aplica a las ocurrencias de algún suceso durante un intervalo determinado. Nuestra variable aleatoria x representará el número de ocurrencias de un suceso en un intervalo determinado, el cual podrá ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna otra unidad similar o derivada de éstas. La distribución de Poisson es particularmente importante ya que tiene muchos casos de uso. Podemos poner como ejemplos de uso: la disminución de una muestra radioactiva, la llegada de pasajeros de un aeropuerto o estación de trenes o autobuses, los usuarios que se conectan a una web determinada por hora.