El modelo SIR tiene por objetivo predecir si una epidemia tenderá a expandirse o por el contrario, a disminuir en el transcurso del tiempo. Para ello establece tres funciones dependientes del tiempo que representan:
\(S\left( t \right)\): La variación del número de personas susceptibles de contraer la enfermedad en el transcurso del tiempo.
\(I\left( t \right)\): La variación de la cantidad de infectados en el transcurso del tiempo.
\(R\left( t \right)\): La variación de la cantidad de recuperados en el transcurso del tiempo.
Y tres parámetros que representan:
\(\beta\): El número medio de contactos por unidad de tiempo.
\(\gamma\): El número de recuperados por unidad de tiempo dividido por el total de infectados.
\(N\): La población total.
El modelo supone que los susceptibles se infectan a cierta tasa y se recuperan a otra (tasas de transicion). Así:
\[ S\left( t \right) \Rightarrow TDT 1 \Rightarrow I\left( t \right) \Rightarrow TDT 2 \Rightarrow R \left( t \right)\]
La tasa de transición 1 (TDT1) se define como:\(\frac { \beta I\left(t\right)}{N}\)
La tasa de transición 2 (TDT2) se define como:\(\gamma\)
El sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que representan lo anterior y que definen al modelo SIR son:
\[\frac{dS\left( t \right)}{dt} = - \frac {\beta I\left( t \right) S\left( t \right)}{N} \] \[\frac{dI\left( t \right)}{dt} = \frac {\beta I\left( t \right) S\left( t \right)}{N} - \gamma I\left( t \right)\] \[\frac{dR\left( t \right)}{dt} = \gamma I\left( t \right)\] Observemos que en realidad es un sistema de dos ecuaciones diferenciales. Despejemos \(\gamma I\left( t \right)\) de la segunda ecuación y reemplacemos el valor en la tercera:
\[\frac{dR\left( t \right)}{dt} = \gamma I\left( t \right) = \frac {\beta I\left( t \right) S\left( t \right)}{N} - \frac{dI\left( t \right)}{dt}\] \[\frac{dR\left( t \right)}{dt} = \frac {\beta I\left( t \right) S\left( t \right)}{N} - \frac{dI\left( t \right)}{dt}\] Reemplacemos el valor del primer término del lado derecho por la primera ecuación:
\[\frac{dR\left( t \right)}{dt} = - \frac{dS\left( t \right)}{dt} - \frac{dI\left( t \right)}{dt}\]
Multipliquemos por \(dt\) la expresión e integremos en forma indefinida:
\[ \int dR\left( t \right) = - \int dS\left( t \right) - \int dI\left( t \right)\] \[ R\left( t \right) = - S \left( t \right) - I\left( t \right) +C\] C en igual a N pues: \[ N = R\left( t \right)+ S \left( t \right)+ I\left( t \right) \] Entonces: \[ R\left( t \right) = - S \left( t \right) - I\left( t \right) +N\] Volvamos al sistema de ecuaciones diferenciales originales, despejemos el valor de \(I\left( t \right)\) de la tercera ecuación y dividamos la primera por él:
\[\frac{dS\left( t \right)}{dt} = - \frac {\beta I\left( t \right) S\left( t \right)}{N} \]
\[\frac{dI\left( t \right)}{dt} = \frac {\beta I\left( t \right) S\left( t \right)}{N} - \gamma I\left( t \right)\]
\[\frac{dR\left( t \right)}{dt} = \gamma I\left( t \right)\]
\[ I\left( t \right) = \frac{dR\left( t \right)}{ \gamma dt } \]
\[ \frac{ \frac{dS\left( t \right)}{dt}} { \frac{dR\left( t \right)}{ \gamma dt }}= \frac{ - \frac {\beta I\left( t \right) S\left( t \right)}{N}} {I\left( t \right)} \]
\[ \frac{dS\left( t \right)}{dt} \frac{ \gamma dt } {dR\left( t \right)} = - \frac {\beta I\left( t \right) S\left( t \right)}{N I\left( t \right)} \] Al lado izquierdo se van los \(dt\) y al lado derecho se van los \(I(t)\).
\[ \frac{ dS\left( t \right) \gamma } {dR\left( t \right)} = - \frac {\beta S\left( t \right)}{N } \]
Reagrupamos.
\[ \frac{dS\left( t \right)}{S\left( t \right)} {} = - \frac {\beta dR\left( t \right)}{\gamma N } \] Integramos definidamente sobre el tiempo entre \(0\) y \(t\):
\[ \int_0^t \frac{dS\left( t \right) }{S\left( t \right)} {} = - \frac {\beta }{\gamma N } \int_0^t dR\left( t \right) \]
\[\ln S(t)\Big|_0^t= - \frac {\beta R\left( t \right) }{\gamma N }\Big|_0^t\] \[\ln S(t)- \ln S(0)= - \frac {\beta }{\gamma N } (R(t)-R(0))\] Lo que es igual a:
\[\ln \frac { S(t)}{ S(0)}= - \frac {\beta }{\gamma N } (R(t)-R(0))\] elevamos a \(e\) y llevamos el denominador del lado izquierdo al derecho:
\[e^{\ln \frac { S(t)}{ S(0)}} = e^{- \frac {\beta }{\gamma N } (R(t)-R(0))}\] \[ S(t) = S(0) e^{- \frac {\beta }{\gamma N } (R(t)-R(0))}\] Por definición, en el momento \(t=0\):
\(S(0) = N\), y
\(R(0) = 0\), por lo que la ecuación queda:
\[ S(t) = N e^{- \frac {\beta }{\gamma N } (R(t))}\] La expresión \(\frac {\beta}{\gamma }\) se denomina Número Básico de Reproducción \(R_0\) y es fundamental, tal como lo veremos a continuación:
Reemplacemos el valor de \(R_0\) en la segunda ecuación diferencial del sistema:
\[\frac{dI\left( t \right)}{dt} = \frac {\beta I\left( t \right) S\left( t \right)}{N} - \gamma I\left( t \right)\]
\[\frac{dI\left( t \right)}{dt} = \frac {\gamma R_0 I\left( t \right) S\left( t \right)}{N} - \gamma I\left( t \right)\]
\[\frac{dI\left( t \right)}{dt} = [\frac { R_0 S\left( t \right)}{N}-1] \gamma I\left( t \right)\] La tasa de propagación de la infección queda definida entonces por la expresión:
\[\frac { R_0 S\left( t \right)}{N}-1\] Si:
\[\frac { R_0 S\left( t \right)}{N}-1 >0 \]
o bien \[\frac { R_0 S\left( t \right)}{N} >1 \]
\[\frac{dI\left( t \right)}{dt} > 0\]
y la tasa de propagación de la enfermedad crecerá.
Por el contrario, si \[\frac { R_0 S\left( t \right)}{N}<1\] decrecerá.
Supongamos que: \[\frac { R_0 S\left( t \right)}{N}<1\]
Por lo tanto:
\[ R_0 < \frac {N}{ S\left( t \right)}\]
ya obtuvimos según (26) que:\[ S(t) = N e^{- \frac {\beta }{\gamma N } (R(t))}\]
entonces:
\[ { R_0 } < e^{ \frac {\beta }{\gamma N } (R(t))} \]
\[ { R_0 } < e^{ \frac {R_0 R(t)} {N}}\] lo que indica que en el momento \(t\) la epidemia tenderá a disminuir y viceversa.
La estimación de \(R_0\) la obtenemos de (37):
\[ S(t) = N e^{- \frac {R_0 R(t)}{ N } }\] \[ \ln \frac {S(t)}{N} = \ln e^{- \frac {R_0 R(t)}{ N } }\] \[ \ln S(t) = \ln N - \frac {R_0 R(t)}{ N } \] \[ N \ln S(t) = N \ln N - {R_0 R(t)} \]
y tenemos una función lineal sobre la cual podemos aplicar una regresión. El número básico de reproducción (cambiándole el signo) es la pendiente de la recta de regresión.
El paso final es comparar los valores de \(R_0\) con \(e^{\frac {R_0R(t)}{ N }}\), donde \(t\) es el momento final.