DESCRIPCIÓN DE LA EMPRESA

American Airlines es una de las compañías aéreas más grandes de todo el mundo; tiene su sede principal en distintas ciudades de los Estados Unidos, entre los que tenemos al Aeropuerto Internacional de Dallas-Fort Worth, Aeropuerto Internacional O’Hare, Aeropuerto Internacional de Miami, y el Aeropuerto Internacional John F. Kennedy.

Comportamiento de la acción American Airlines

Las acciones de American Airlines han bajado más del 75% en los últimos dos años, en la combinación de cancelaciones de vuelos, debido al aterrizaje del Boeing 737 Max, y el brote de coronavirus.[1].

Fugura. 1 Precios de cierre de American Airlines

#Descripción de la grafica 1#

Fuente: elaboración propia con salida de R.

#Descripción de la gráfica 2#

Respecto a los rendimientos registrados para American Airlines, se pueden observar 3 clústeres de volatilidad en la serie: el primero se presenta en junio del 2015 donde se registraron rendimientos de ±12%; la siguiente aglomeración es en junio de 2016 donde TESLA alcanzó a registrar rendimientos de ±12% y finalmente, su clúster de volatilidad más acentuado es durante el primer trimestre de 2020 cuando American Airlines comenzó a registrar incrementos considerables llegando a obtener rendimientos de ±30% en un solo día.

Figura 2. Rendimientos logarítmicos de American Airlines: enero 2015 - abril 2020

Aplicación de Modelos ARCH-GARCH para American Airlines

A continuación, se hace uso de los modelos ARCH-GARCH para explicar y simular los rendimientos de American Airlines. Retomando la figura 2 de la primera sección, los rendimientos de American Airlines presentan 3 aglomeraciones de volatilidad importantes: 1) En junio de 2015 donde se disparó la volatilidad a un rango de ±12%, 2) En junio de 2016 con rendimientos de ±12%, y 3), la volatilidad de locura registrada en el primer trimestre de 2020 (y contado), con registros de hasta ±30%. Todo esto derivado a la disminución de la demanda y a los cambios en las restricciones de viajes, relacionada con COVID-19.

Pruebas de raíces unitarias sobre los rendimientos

Se aplican Dickey-Fuller, Phillips Perrón y prueba KPPS para verificar la presencia de raíces unitarias sobre los rendimientos de American Airlines (y garantizar las condiciones de estacionariedad).

Tabla 1. Prueba de raíces unitarias sobre los rendimientos de American Airlines

Prueba Valor p H0 Resultado
Dickey Fuller 0.65 La es estacionaria No Rechazo H0
Phillips Perron 0.01 La serie tiene raíz unitaria Rechazo H0
KPSS 0.1 La serie es estacionaria No Rechazo H0

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Los resultados de las pruebas de la serie de American Airlines en rendimientos indican que no hay presencia de raíces unitarias y confirman la estacionariedad de la variable, sin embargo, el gráfico 2 muestra que las aglomeraciones de volatilidad de American Airlines, a pesar de que tienen un proceso de reversión a la media, su varianza no es constante en el tiempo, por lo que modelar los rendimientos a través de modelos ARMA podría presentar resultados débiles a comparación de modelar la varianza con un modelo no lineal que permita capturar los clústeres. Justo aquí es donde entran los modelos de volatilidad.

Autocorrelación de los rendimientos de American Airlines y prueba ARCH

Lo primero que se va a analizar es la autocorrelación que existe sobre los rendimientos al cuadrado de American Airlines, esto permite ver los posibles efectos de memoria que puede tener la serie de tiempo.

Figura 3. Autocorrelación de los rendimientos logarítmicos de American Airlines

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Para asegurarse de que un modelo de volatilidad es pertinente, se prueba si hay efectos ARCH. La prueba de efectos ARCH se basa en multiplicadores de Lagrange para descomponer la varianza de la serie e identificar si sus rezagos son significativos. Si esto es así, entonces la aplicación de modelos de volatilidad es apropiada y justificada. El resultado de la prueba se observa en la tabla 2.

Tabla 2. Prueba de efectos ARCH

Prueba Valor p H0 Resultado
ARCH test 2.2E-16 La serie No tiene efectos ARCH Rechazo H0

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Al rechazar la H0, se comprueban los efectos ARCH en los rendimientos de American Airlines.

Modelos ARCH El primer modelo a implementar es un ARCH 1

σ2t=ω+α1u2t−1ARCH(1)

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0006+0.0.2942u2t−1

La volatilidad de American Airlines se explica en un 29.4% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior. En el caso de ω que representa básicamente el intercepto de la ecuación de la varianza, es 0 y tiene bastante sentido ya que se están modelando los rendimientos, aunado al efecto de reversión a la media.

La caracterización o modelación de la varianza con el ARCH(1) se presenta en la figura 4:

Figura 4. ARCH(1) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

El siguiente modelo a implementar es un ARCH 2

σ2t=ω+α1u2t−1ARCH(1)+α2u2t−2ARCH(2)

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0005+0.1772u2t−1+0.2070u2t−2

La volatilidad de TESLA se explica en un 17.7% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior y en un 20.7% por la volatilidad de hace dos días. De manera conjunta, el modelo ARCH(2) captura poco más del 37% de la volatilidad de American Airlines

La caracterización o modelación de la varianza con el ARCH(2) se presenta en la figura 5:

Figura 5. ARCH(2) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

El siguiente modelo a implementar es un ARCH 3

σ2t=ω+α1u2t−1ARCH(1)+α2u2t−2ARCH(2)+α3u2t−3ARCH(3)

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0004+0.1452u2t−1+0.1798u2t−2+0.1605u2t−3

La volatilidad de American Airlines se explica en un 14.5% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior y en un 17.9% por la volatilidad de hace dos días y en un 16.5% por la volatilidad de hace 3 días. De manera conjunta, el modelo ARCH(3) captura poco más del 48% de la volatilidad de American Airlines.

La caracterización de la varianza con el ARCH(3) se presenta en la figura 6:

Figura 6. ARCH(3) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Hasta este punto, los modelos ARCH(1), ARCH(2) y ARCH(3) cumplen con todas las condiciones: la sumatoria de los parámetros es menor a 1, son significativos y no son negativos.

Esto está por cambiar con el ARCH(4) El modelo implementado es:

σ2t=ω+α1u2t−1ARCH(1)+α2u2t−2ARCH(2)+α3u2t−3ARCH(3)+α4u2t−4ARCH(4)

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0004+0.1329u2t−1+0.1282u2t−2+0.0214u2t−3+0.1539u2t−3

La volatilidad de American Airlines se explica en un 13.3% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior y en un 12.8% por la volatilidad de hace dos días y en un 2.1% por la volatilidad de hace 3 días. De manera conjunta, el modelo ARCH(3) captura poco más del 27% de la volatilidad de American Airlines

La caracterización de la varianza con el ARCH(4) se presenta en la figura 7:

Figura 7. ARCH(4) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

El problema con el ARCH(3) es que, a pesar de que la sumatoria de los parámetros sigue siendo = 1, el parámetro del ARCH 4 no es significativo, además, conforme se incluyen más rezagos en el componente ARCH, se están metiendo más varianza , el modelo se hace menos parsimonioso y esto puede llevar a problemas de sobreajuste.

Modelos GARCH Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(1,1):

σ2t=ω+α1u2t−1ARCH(1)+β1σ2t−1GARCH(1)

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0000+0.0808u2t−1+0.8810σ2t−1

La volatilidad de American Airlines (aquí la vamos a nombrar como varianza condicional) se explica en un 0.80% por la volatilidad de un día anterior y en un 88.10% por la varianza ajustada de un periodo

¿Por qué varianza condicional? Porque la volatilidad o los rendimientos de American Airlines dependen (están condicionados) de la varianza rezagada, es decir, depende del tiempo.

La caracterización de la varianza con el GARCH(1,1) se presenta en la figura 8:

Figura 8. GARCH(1,1) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(1,2):

σ2t=ω+α1u2t−1ARCH(1)+β1σ2t−1GARCH(1)+β2σ2t−2GARCH(2)

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0000+0.0808u2t−1+0.8810σ2t−1+0.0000σ2t−2

La varianza condicional se explica en un 0.80% por la volatilidad de un día anterior, en un 88.10% por la varianza ajustada de un periodo y en un 0% por la varianza ajustada rezagada 2 periodos.

La caracterización de la varianza con el GARCH(1,2) se presenta en la figura 9:

Figura 9. GARCH(1,2) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(2,1):

σ2t=ω+α1u2t−1ARCH(1)+α2u2t−2ARCH(2)+β1σ2t−1GARCH(1)

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0000+0.0792u2t−1+0.0018u2t−2+0.8805σ2t−1

La varianza condicional se explica en un 7.9% por la volatilidad de un día anterior y en un 0.18% por la varianza ajustada rezagada 1 periodo. Sin embargo, el componente ARCH(2) no es significativo.

La caracterización de la varianza con el GARCH(2,1) se presenta en la figura 10:

Figura 10. GARCH(2,1) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Finalmente, se hace el ajuste con un GARCH(2,2):

σ2t=ω+α1u2t−1ARCH(1)+α2u2t−2ARCH(2)+β1σ2t−1GARCH(1)+β2σ2t−2GARCH(2)

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0000+0.0787u2t−1+0.0067u2t−2+0.8280σ2t−1+0.0462σ2t−2

La varianza condicional se explica en un 7.8% por la volatilidad de un día anterior y en un 0.6% por la volatilidad de dos días (aunque en los resultados asociados al valor p, el componente ARCH(2) no es significativo); también se explica en un 82.80% por la varianza ajustada rezagada 1 periodo y en un 4.6% por la varianza ajustada de dos periodos.

La caracterización de la varianza con el GARCH(2,2) se presenta en la figura 9:

Figura 11. GARCH(2,2) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Selección de modelo y simulación de los rendimientos

Para elegir el mejor modelo, se presentan los resultados de los parámetros obtenidos de todas LAS especificaciones ARCH y GARCH, así como el criterio de información de Akaike y el criterio bayesiano de Schwarz de los mismos

MODELO \(\omega\) \(\alpha_{1}\) \(\alpha_{2}\) \(\alpha_{3}\) \(\alpha_{4}\) \(\beta_{1}\) \(\beta_{2}\) AKAIKE BAYES
ARCH(1) 0.0006 0.5461 -4.3047 -4.2969
ARCH(2) 0.0005 0.1772 0.2070 -4.4150 -4.4034
ARCH(3) 0.0004 0.1452 0.1798 0.1605 -4.5216 -4.5060
ARCH(4) 0.0004 0.1329 0.1282 0.0214 0.1539 -4.5758 -4.5563
GARCH(1,1) 0.0000 0.0808 0.8810 -4.6143 -4.6026
GARCH(1,2) 0.0000 0.0808 0.8810 0.0000 -4.6128 -4.5973
GARCH(2,1) 0.0000 0.0792 0.8805 0.0018 -4.6128 -4.5973
GARCH(2,2) 0.0000 0.0787 0.0000 0.0067 0.8280 -4.6113 -4.5919

Se elige el ARCH(4) y el GARCH(2,2) como los mejores modelos (de acuerdo a los criterios de información) de cada familia para simular los rendimientos de TESLA a partir de los parámetros obtenidos.

La figura 12 muestra los resultados de la simulación.

Figura 12. Simulación del ARCH(4) y GARCH (2,2) vs rendimientos