BP British Petroleum

BP British Petroleum (BP)

BP plc, anteriormente British Petroleum, es una compañía de energía, dedicada principalmente al petróleo y al gas natural con sede en Londres, Reino Unido. Es una de las mayores compañías del mundo, la octava según la revista estadounidense Forbes y la tercera empresa privada más importante dedicada al petróleo y gas después de ExxonMobil y Royal Dutch Shell 1.

BP British Petroleum empezó su historia en 1908 como Anglo-Persian Oil Company en Irán, donde su fundador William Knox D’Arcy descubrió el petróleo y emprendió la construcción en Abadán de un complejo petrolífero y de una refinería que, en los años 1920, se convirtió en la más grande del mundo. Después de la nacionalización de la industria petrolera iraní por Mohammad Mosaddeq (1951) y su posterior recuperación gracias al apoyo de la CIA la compañía mudó su nombre a British Petroleum (BP). Hoy el grupo BP es el resultado de la fusión de varias compañías del sector entre las que destacan Arco, Amoco, Castrol y Aral. Los negocios en los que está presente abarcan la exploración petrolífera y de gas natural, refino y comercialización de lubricantes y combustibles, gases licuados de petróleo, estaciones de servicio, etc. Asimismo, BP tiene intereses en el campo de las energías renovables, principalmente a través de su filial de energía solar, que es líder en el sector solar fotovoltaico. 2

Comportamiento de la accion BP (BP British Petroleum)

En la siguiente grafica se muestra que desde enero del 2015 hasta diciembre del 2019 los precios de las acciones de BP British Petroleum ha estado oscilando desde los 28 dlls hasta los 47 dlls por acción, en 2016 los precios de las acciones de BP British Petroleum se redujeron hasta los 28dlls dado que para ese año la deuda neta de BP al cierre del año 2016 sumaba 33.177 millones de euros, frente a los 25.420 millones de un año antes, lo que elevó la ratio de deuda neta al 26,8% desde el 21,6% de 2015, dado que en ese año se atrajo un poco más de deuda esa fue una de las causas principales de que el precio bajara. Otro de los motivos que se tuvo a finales del 2015 fue el impacto de la multa de 20,800 MDD por el derrame en el norte de Estados Unidos en 2010, lo cual para la empresa significa una perdida enorme y las acciones cayeran.

En 2020 se puede observar que se tiene una caída terrible para la empresa BP British Petroleum dado por la emergencia sanitaria mundial del COVID-19 esto se le refleja en sus ventas las cuales a partir de la cuarentena que esta emergencia sanitaria trajo ya que, al ser una empresa de combustibles, su materia prima que es el petróleo bajo la demanda y esto hace la producción disminuyera por lo que las acciones cayeron a 16.11 dlls por acción.

Figura 1. Precio de Cierre de BP British Petroleum : enero 2015 - abril 2020

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Respecto a los rendimientos registrados para BP British Petroleum, se pueden observar 2 clústeres de volatilidad en la serie: el primero se presenta a finales de 2015 donde se registraron rendimientos de ±8% y finalmente, su clúster de volatilidad más acentuado es durante el primer trimestre de 2020 cuando BP British Petroleum comenzó a registrar perdidas considerables llegando a obtener rendimientos de ±20% en un solo día.

Figura 2. Rendimientos de BP British Petroleum : enero 2015 a abril 2020

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Los modelos Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (ARCH) propuestos por Engle2 sirven para modelar la volatilidad de una serie. Los modelos como los ARMA y los ARIMA se asumen lineales, por ejemplo, considera un modelo ARMA (1,0):

Ecuación 1

\[Y_t= \beta_0+ \beta_1 Y_{t-1} + u_t \]

Donde $Y_t $ representa el precio de cierre de BP British Petroleum; la acción en este ejemplo se explica por un autorregresivo de orden 1, o bien, se puede interpretar que $Y_t $ es explicada por el precio del periodo anterior (suponiendo que estamos modelando cotizaciones con frecuencia diaria, la interpretación sería que el comportamiento del precio de cierre se ve explicado por el precio del día anterior y ese peso nos lo indicaría el parámetro \(\beta\)) 3.

Asimismo, se asume que $u_t~ N (0, ^2) $, es decir, que el término de error de distribuye como una normal con media cero y varianza constante. Sin embargo, las series financieras se caracterizan por ser series no lineales4.

La varianza condicional

Uno de los supuestos que se asumen en un modelo clásico de regresión lineal es que $u_t~ N (0, ^2) $, es decir, la varianza de los errores es constante, o también se puede decir que es homocedástico. En este sentido, los modelos ARCH asumen que la varianza no es constante, además, dichos modelos permiten modelar la aglomeración o clúster de volatilidad que se presentan en los rendimientos de los activos financieros.

La varianza condicional de \(u_t\) se puede expresar como \(\sigma^2\):

\[\sigma^2_t=var(u_t|u_{t-1},u_{t-2},...,u_{t-q})= E[(u_t-E(u_t))^2|u_{t-1},u_{t-2},...,u_{t-q}]\]

Sin embargo, se asume que \(E(u_t)=0\), por lo tanto:

\[\sigma^2_t=var(u_t|u_{t-1},u_{t-2},...,u_{t-q})=E[u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},...,u_{t-q}]\]

La ecuación anterior indica que la varianza condicional de una variable aleatoria (que se distribuye normalmente y que tiene media cero) es igual a la varianza condicional del residuo al cuadrado. En los modelos ARCH,la autocorrelación en la volatilidad es modelada permitiendo que la varianza condicional del término de error, \(\sigma_t^2\), dependa del valor anterior del error al cuadrado:

\[\sigma_t^2 = \omega+ \alpha_1 u_{t-1}^2\]

El modelo anterior se conoce como ARCH(1) ya que la varianza condicional depende solo de un rezago del error al cuadrado. El modelo propuesto en la ecuación anterior se puede extender al caso general, donde la varianza del error depende de q rezagos de los errores al cuadrado. Esto se conoce como el modelo ARCH(q).

\[\sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \alpha_2 u_{t-2}^2 +...+\alpha_qu_{t-q}^2\]

En la literatura, por lo general se utiliza la letra griega Eta (\(\eta\)) para denotar la varianza condicional \(\sigma^2_t=\eta_t\). Considerando la ecuación del modelo ARMA(1,0) y la ecuación del ARCH(1), se tiene:

\[y_t =\beta_1+\beta_1y_{t-1}+u_t \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space u_t\tilde~N(0,\eta)\]

\[\eta_t =\omega+\alpha_1 u_{t-1}^2\]

Condiciones que deben satisfacer los modelos ARCH

No negatividad: Dado que \(\eta_t\) es la varianza condicional, su valor siempre debe ser estrictamente positivo (recuerde que la varianza condicional es el cuadrado de los errores). Se debe satisfacer que $≥ 0 $ y \(\alpha_1 ≥ 0\). Para el caso general ARCH(q) se debe cumplir que $ _i ≥0∀i=1,2,…,q$.

Confirmar que hay efectos ARCH en las series: En esta prueba, la hipótesis nula es que hay efectos ARCH, es decir, que los q rezagos de los errores al cuadrado son significativos (o que son distintos de 0) en la serie, de esta forma se justifica que se puede modelar con un modelo de varianza condicional.

La sumatoria de los parámetros no puede ser mayor a 1: si la suma de los valores que reportan los parámetros del modelo es mayor uno, la volatilidad de la serie explota con el tiempo, en otras palabras, el modelo es inestable.

Limitaciones de los modelos ARCH

1. No hay una forma precisa de calcular el número de rezagos óptimos (q) para el modelo ARCH.

2. El valor de (q), es decir, el número de rezagos del error al cuadrado que es requerido para capturar toda la dependencia en la varianza condicional, puede llegar a ser muy largo, esto resultaría en un modelo de varianza condicional que no es parsimonioso.

3. Lo anterior (tener muchos rezagos q) puede llegar a ocasionar que uno de los coeficientes se vuelva negativo, lo cual no tendría sentido en la interpretación.

Modelos GARCH

Los modelos Generalizados Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (GARCH) son una extensión del modelo ARCH con la diferencia de que \(\sigma_t^2\) se vuelve recursivo.

El modelo GARCH se desarrolló, en trabajos independientes, por Tim Bollerslev 5 (1986) y Stephen Taylor 6 (1986). El modelo GARCH permite que la varianza condicional sea dependiente de sus propios rezagos. La ecuación de la varianza condicional es:

\[\sigma_t^2=\omega+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{p-1}^2 \space \space \space \space \space \space (1)\]

Este es el modelo GARCH (1,1), σ2t es conocida como la varianza condicional ya que es una estimación anticipada de la varianza calculada. El uso de los modelos GARCH permite interpretar:

-la varianza ajustada (recordar que:\(η_t=σ^2_t\))

-\(\omega\) como una función ponderada de un promedio de largo plazo

-la información de la volatilidad previa representada por \(α_1u^2_{t−1}\)

-y la varianza ajustada del modelo del periodo anterior \(β_1σ^2_{p−1}\)

De hecho, el modelo GARCH se puede expresar de tal manera que representa un modelo ARMA para modelar la varianza condicional. Para demostrar esto, considera que los residuales al cuadrado \(u^2_{t−1}\) en relación a su varianza condicional \(σ^2_t\) está dado por:

\[ε_t=u^2_t−σ^2_t\]

Despejamos la varianza condicional \(σ^2_t\)

\[σ^2_t=u^2_t−ε_t\space \space \space \space \space \space (2)\]

Sustituimos ecuación (2) en (1)

\[u^2_t−ε_t=ω+α_1u^2_{t−1}+β(u^2_{t−1}−ε_{t−1})\]

Ordenamos:

\[u^2_t=ω+α_1u^2_{t−1}+βu^2_{t−1}−βε_{t−1}+ε_t\]

Sacamos factor común \[u^2_{t−1}\]

\[u^2_t=ω+(α_1+β)u^2_{t−1}−βε_{t−1}+ε_t \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (3)\]

La ecuación (3) representa un proceso ARMA (1,1) sobre los errores al cuadrado.

¿Modelos GARCH son mejores que los ARCH?

En concreto, los modelos GARCH son más parsimoniosos y evitan el sobreajuste. En consecuencia, es menos probable que el modelo quebrante las restricciones de no negatividad.

Así, el modelo GARCH (1,1), contiene solo tres parámetros en la ecuación de varianza condicional y permite incluir un número infinito de errores al cuadrado rezagados para influir en la varianza condicional actual.

El modelo GARCH (1,1) se puede extender a un modelo GARCH (p,q) donde la varianza condicional actual se parametriza para depender de q rezagos del error al cuadrado y los p rezagos de la varianza condicional:

\[σ^2_t=ω+α_1u^2_{t−1}+α_2u^2_{t−2}+...+α_qu^2_{t−q}+β_1σ^2_{t−1}+β_2σ^2_{t−2}+...+β_pσ^2_{t−p}\]

De manera general, un GARCH(q,p) se denota como:

\[σ^2_t=ω+\sum_{i=1}^q α_1u^2_{i−1}+\sum_{i=1}^pβ_1σ^2_{j−1}\]

Aunque, usualmente un modelo GARCH (1,1) será suficiente para capturar los clústeres o concentraciones de volatilidad en los datos.

Aplicación de Modelos ARCH-GARCH para BP British Petroleum

A continuación, se hace uso de los modelos ARCH-GARCH para explicar y simular los rendimientos de BP British Petroleum. Retomando la figura 2 de la primera sección, los rendimientos de BP British Petroleum presentan 2 aglomeraciones de volatilidad importantes: 1) finales de 2015 donde se disparó la volatilidad a un rango de ±8% y 2) la volatilidad de locura registrada en el primer trimestre de 2020 (y contado), con registros de hasta ±20%. Todo esto derivado de al bajo consumo del combustible que ha traído la contingencia sanitaria del COVID-19, y el poco incorpora miento de la sociedad a la nueva normalidad han sido causas de incremento y bajas en las ventas.

Pruebas de raíces unitarias sobre los rendimientos

Se aplican Dickey-Fuller, Phillips Perrón y prueba KPPS para verificar la presencia de raíces unitarias sobre los rendimientos de BP British Petroleum (y garantizar las condiciones de estacionariedad).

Tabla 1. Prueba de raíces unitarias sobre los rendimientos de BP British Petroleum

PRUEBA VALOR p \(H_0\) RESULTADO
Dickey Fuller 0.01 La serie tiene raíz unitaria Rechazo \(H_0\)
Phillips Perron 0.01 La serie tiene raíz unitaria Rechazo \(H_0\)
KPSS 0.1 La serie es estacionaria No Rechazo \(H_0\)

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Los resultados de las pruebas de la serie de BP British Petroleum en rendimientos indican que no hay presencia de raíces unitarias y confirman la estacionariedad de la variable, sin embargo, el gráfico 2 muestra que las aglomeraciones de volatilidad de BP British Petroleum, a pesar de que tienen un proceso de reversión a la media, su varianza no es constante en el tiempo, por lo que modelar los rendimientos a través de modelos ARMA podría presentar resultados débiles a comparación de modelar la varianza con un modelo no lineal que permita capturar los clústeres. Justo aquí es donde entran los modelos de volatilidad.

Autocorrelación de los rendimientos de BP British Petroleum y prueba ARCH

Lo primero que se va a analizar es la autocorrelación que existe sobre los rendimientos al cuadrado de BP British Petroleum, esto permite ver los posibles efectos de memoria que puede tener la serie de tiempo.

Figura 3. Autocorrelación de los rendimientos logarítmicos de BP British Petroleum

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Para asegurarse de que un modelo de volatilidad es pertinente, se prueba si hay efectos ARCH. La prueba de efectos ARCH se basa en multiplicadores de Lagrange para descomponer la varianza de la serie e identificar si sus rezagos son significativos. Si esto es así, entonces la aplicación de modelos de volatilidad es apropiada y justificada. El resultado de la prueba se observa en la tabla 2.

Tabla 2. Prueba de efectos ARCH

PRUEBA VALOR p \(H_0\) RESULTADO
ARCH Test 2.2e-16 La serie No tiene efectos ARCH Rechazo \(H_0\)

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Al rechazar la \(H_0\), se comprueban los efectos ARCH en los rendimientos de BP British Petroleum.

Modelos ARCH

El primer modelo a implementar es un ARCH 1

\[\sigma_t^2=\omega+\alpha_1u_{t-1}^2\]

El resultado obtenido es:

\[σ^2_t=0.0002+0.5350u^2_{t−1}\]

La volatilidad de BP British Petroleum se explica en un 53.53% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior. En el caso de \(ω\) que representa básicamente el intercepto de la ecuación de la varianza, es 0 y tiene bastante sentido ya que se están modelando los rendimientos, aunado al efecto de reversión a la media.

La caracterización o modelación de la varianza con el ARCH(1) se presenta en la figura 4:

Figura 4. ARCH(1) vs rendimientos Fuente: elaboración propia con salida de R.

El siguiente modelo a implementar es un ARCH 2

\[\sigma_t^2=\omega+\alpha_1u_{t-1}^2+\alpha_2u_{t-2}^2\]

El resultado obtenido es:

\[σ^2_t=0.0001+0.4576u^2_{t−1}+0.2224u^2_{t−2}\]

La volatilidad de BP British Petroleum se explica en un 45.76% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior y en un 22.24% por la volatilidad de hace dos días. De manera conjunta, el modelo ARCH(2) captura poco más del 68.00% de la volatilidad de TESLA

La caracterización o modelación de la varianza con el ARCH(2) se presenta en la figura 5:

Figura 5. ARCH(2) vs rendimientos Fuente: elaboración propia con salida de R.

El siguiente modelo a implementar es un ARCH 3

\[\sigma_t^2=\omega+\alpha_1u_{t-1}^2+\alpha_2u_{t-2}^2+\alpha_3u_{t-3}^2\]

El resultado obtenido es:

\[σ2t=0.0001+0.2695u^2_{t−1}+0.1789u^2_{t−2}+0.2314u^2_{t−3}\]

La volatilidad de BP British Petroleum se explica en un 26.95% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior y en un 17.89% por la volatilidad de hace dos días y en un 23.14% por la volatilidad de hace 3 días. De manera conjunta, el modelo ARCH(3) captura poco más del 67.98% de la volatilidad de BP British Petroleum.

La caracterización de la varianza con el ARCH(3) se presenta en la figura 6:

Figura 6. ARCH(3) vs rendimientos Fuente: elaboración propia con salida de R.

Hasta este punto, los modelos ARCH(1), ARCH(2) y ARCH(3) cumplen con todas las condiciones: la sumatoria de los parámetros es menor a 1, son significativos y no son negativos.

Esto está por cambiar con el ARCH(4) El modelo implementado es:

\[\sigma_t^2=\omega+\alpha_1u_{t-1}^2+\alpha_2u_{t-2}^2+\alpha_3u_{t-3}^2+\alpha_4u_{t-4}^2\]

El resultado obtenido es:

\[σ^2_t=0.0001+0.2459u^2_{t−1}+0.1575u^2_{t−2}+0.1863u^2_{t−3}+0.1149u^2_{t−4}\]

La volatilidad de BP British Petroleum se explica en un 24.59% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior, en un 15.75% por la volatilidad de hace dos días, en un 18.63% por la volatilidad de hace 3 días y en un 11.49% por la volatilidadde hace 4 días. De manera conjunta, el modelo ARCH(4) captura poco más del 70.48% de la volatilidad de BP British Petroleum.

La caracterización de la varianza con el ARCH(4) se presenta en la figura 7:

Figura 7. ARCH(4) vs rendimientos Fuente: elaboración propia con salida de R.

El problema con el ARCH(4) es que, a pesar de que la sumatoria de los parámetros sigue siendo = 1, el parámetro del ARCH 4 no es significativo, además, conforme se incluyen más rezagos en el componente ARCH, se están metiendo más varianza , el modelo se hace menos parsimonioso y esto puede llevar a problemas de sobreajuste.

Modelos GARCH

Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(1,1):

\[\sigma_t^2=\omega+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\]

El resultado obtenido es:

\[σ^2_t=0.0000+0.1085u^2_{t−1}+0.8740σ^2_{t−1}\]

La volatilidad de BP British Petroleum (aquí la vamos a nombrar como varianza condicional) se explica en un 10.85% por la volatilidad de un día anterior y en un 87.40% por la varianza ajustada de un periodo

¿Por qué varianza condicional? Porque la volatilidad o los rendimientos de BP British Petroleum dependen (están condicionados) de la varianza rezagada, es decir, depende del tiempo.

La caracterización de la varianza con el GARCH(1,1) se presenta en la figura 8:

Figura 8. GARCH(1,1) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(1,2):

\[\sigma_t^2=\omega+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2+\beta_2\sigma_{t-2}^2\]

El resultado obtenido es:

\[σ^2_t=0.0000+0.1427u^2_{t−1}+0.2808σ^2_{t−1}+0.5561σ^2_{t−2}\]

La varianza condicional se explica en un 14.27% por la volatilidad de un día anterior, en un 28.08% por la varianza ajustada de un periodo y en un 55.61% por la varianza ajustada rezagada 2 periodos.

La caracterización de la varianza con el GARCH(1,2) se presenta en la figura 9:

Figura 9. GARCH(1,2) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(2,1):

\[\sigma_t^2=\omega+\alpha_1u_{t-1}^2+\alpha_2u_{t-2}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\]

El resultado obtenido es:

\[σ^2_t=0.0000+0.1047u^2_{t−1}+0.0000u^2_{t−2}+0.8793σ^2_{t−1}\]

La varianza condicional se explica en un 10.47% por la volatilidad de un día anterior y en un 87.93% por la varianza ajustada rezagada 1 periodo. Sin embargo, el componente ARCH(2) no es significativo.

La caracterización de la varianza con el GARCH(2,1) se presenta en la figura 10:

Figura 10. GARCH(2,1) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Finalmente, se hace el ajuste con un GARCH(2,2):

\[\sigma_t^2=\omega+\alpha_1u_{t-1}^2+\alpha_2u_{t-2}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2+\beta_2\sigma_{t-2}^2\]

El resultado obtenido es:

\[σ^2_t=0.0000+0.1428u^2_{t−1}+0.0000u^2_{t−2}+0.2809σ^2_{t−1}+0.5559σ^2_{t−2}\]

La varianza condicional se explica en un 14.28% por la volatilidad de un día anterior y no es significativo la volatilidad de dos días; también se explica en un 28.09% por la varianza ajustada rezagada 1 periodo y en un 55.59% por la varianza ajustada de dos periodos.

La caracterización de la varianza con el GARCH(2,2) se presenta en la figura 11:

Figura 11. GARCH(2,2) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Selección de modelo y simulación de los rendimientos

Para elegir el mejor modelo, se presentan los resultados de los parámetros obtenidos de todas las especificaciones ARCH y GARCH, así como el criterio de información de Akaike y el criterio bayesiano de Schwarz de los mismos.

Tabla 3. Resultados de los modelos ARCH y GARCH

MODELO \(\omega\) \(\alpha_{1}\) \(\alpha_{2}\) \(\alpha_{3}\) \(\alpha_{4}\) \(\beta_{1}\) \(\beta_{2}\) AKAIKE BAYES
ARCH(1) 0.000207 0.53503 53.52% -5.2765 -5.2687
ARCH(2) 0.000136 0.457612 0.222447 45.77% -5.4427 -5.4310
ARCH(3) 0.000115 0.269578 0.178941 0.231497 26.97% -5.4996 -5.4841
ARCH(4) 0.000104 0.245917 0.157505 0.186354 0.114948 24.60% -5.5149 -5.4955
GARCH(1,1) 0.000006 0.108500 98.26% 0.874087 -5.5712 -5.5596
GARCH(1,2) 0.000008 0.142781 97.98% 0.280846 0.556127 -5.5739 -5.5584
GARCH(2,1) 0.000006 0.104756 0.000000 98.41% 0.879326 -5.5687 -5.5532
GARCH(2,2) 0.000008 0.142804 0.000001 97.97% 0.280955 0.555981 -5.5724 -5.5530

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Se elige el ARCH(1) y el GARCH(2,1) como los mejores modelos (de acuerdo a los criterios de información) de cada familia para simular los rendimientos de BP British Petroleum a partir de los parámetros obtenidos.

La figura 12 muestra los resultados de la simulación.

Figura 12. GARCH(2,2) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Para simular las series, se generan números aleatorios del tamaño de la muestra descargada (1339 datos) y se utilizan los parámetros obtenidos del ARCH(1) y el GARCH(2,1) para simular los rendimientos de BP British Petroleum. De esta manera, se logra caracterizar la volatilidad de los rendimientos de BP British Petroleum a partir de modelos ARCH-GARCH.

Conclución

Los modelos ARCH-GARCH permiten explicar la volatilidad de los activos financieros a partir de la varianza condicional, es decir, a partir de la varianza rezagada.

Por un lado, el componente ARCH indica la estructura de dependencia con los rendimientos o volatilidad pasada para explicar el activo en tanto que el componente GARCH explica la varianza ajustada del modelo.

En este caso, se utilizó como ejemplo los rendimientos de BP British Petroleum y estimando diversas especificaciones, se concluye que los modelos que mejor caracterizan la volatilidad de BP British Petroleum son el ARCH(1) y el GARCH(2,1). Este es solo el inicio del poder y bondades que ofrecen estos modelos. Gracias a estos modelos se puede tener mejores indicaciones o resultados para saber la mejor opción en rendimientos de las empresas ya que se puede admirar desde distintos puntos de vista para que sea más fáciles de manejar y así adquirí una buena opción de acciones. 

Referencias

  1. plc, B. (2019). BP. Obtenido de https://www.bp.com/en/global/corporate/who-we-are/our-history.html↩

  2. plc, B. (2019). BP. Obtenido de https://www.bp.com/en/global/corporate/who-we-are/our-history.html↩

  3. Engle, Robert (1982). Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance in the United Kingdom.Obtenido de http://www.econ.uiuc.edu/~econ536/Papers/engle82.pdf↩

  4. Engle, Robert (1982). Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance in the United Kingdom.Obtenido de http://www.econ.uiuc.edu/~econ536/Papers/engle82.pdf↩

  5. Tim, Bollerslev (1986). Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31, 307-327. Obtenido de https://public.econ.duke.edu/~boller/Published_Papers/joe_86.pdf↩

  6. Taylor, Stephen (1986). Modelling financial time series, John Wiley & Sons, Chichester. Obtenido de https://www.scirp.org/(S(czeh2tfqyw2orz553k1w0r45))/reference/ReferencesPapers.aspx?ReferenceID=1969791↩