Cronos

Cronos Group Inc.

Cronos Group Inc. opera como una compañia de cannabis diversificada e integrada verticalmente. La compañia ofrece plataformas de producción y distribución de marihuana medicinal, así como tambien cultiva aceite de caannabis. Cronos Group atiende a clientes en Canadá.

Cronos Group Inc. cotiza en el NASDAQ y en la bolsa de Toronto y cotiza bajo el ticker “CRON”. Cotiza desde el 27 de febrero de 2018, sin embargo, a finales del primer semestre de 2018 la accion de Cronos tuvo un incremento con valor de 9.8 dólares pero este comportamiento cambio yendose a la baja en su punto máximo, con un decrecimiento de casi 4 dólares que mantuvo en ritmo hasta el segudno semestre de ese año. Fue hasta el primer trimestre de 2019 que presentó un máximo histórico alcanzando un valor de 23.70 dólares, pero apartir de abril de 2019 bajo sin encontrar una recuperacionnotable que la ha llevado al precio de hoy que es de 6.23 dólares.

Fugura. 1 Precios de cierre de Cronos Group Inc.

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Respecto a los rendimientos registrados para Cronos Group Inc., se pueden observar 4 clústeres de volatilidad en la serie: el primero se presenta en febrero de 2018 con un 18%, la siguiente aglomeracion es en agosto de 2018 donde Cronos alcanzó a registrar rendimeintos de ±19%, para diciembre de 2018 se alcanzo un rendimeinto del 19%. Fue hasta el primer cuatrimestre de 2020 que llegó a su último clúster de volatilidad más alto desde 2018, siendo este de un 15%.

Figura 2. Rendimientos logarítmicos de CRONOS: enero 2015 - abril 2020

Aplicación de Modelos ARCH-GARCH para CRONOS.

A continuación, se hace uso de los modelos ARCH-GARCH para explicar y simular los rendimientos de Cronos Group Inc. Retomando la figura 2 de la primera sección, los rendimientos de Cronos presentan 4 aglomeraciones de volatilidad importantes: 1) febrero de 2018 donde se disparó la volatilidad a un rango de 18%, 2) finales de agodto de 2018 con rendimientos de ±19%, 3) a principios de diciembre de 2018 con un 19%, 4) la volatilidad registrada en el primer cuatrimestre de 2020, con registros de hasta 15%.

Pruebas de raíces unitarias sobre los rendimientos.

Se aplican Dickey-Fuller, Phillips Perrón y prueba KPPS para verificar la presencia de raíces unitarias sobre los rendimientos de CRONOS (y garantizar las condiciones de estacionariedad).

Tabla 1. Prueba de raíces unitarias sobre los rendimientos de CRONOS

Prueba Valor p H0 Resultado
Dickey Fuller 0.01 La serie tiene raíz unitaria Rechazo H0
Phillips Perron 0.01 La serie tiene raíz unitaria Rechazo H0
KPSS 0.1 La serie es estacionaria No Rechazo H0

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Los resultados de las pruebas de la serie de CRONOS en rendimientos indican que no hay presencia de raíces unitarias y confirman la estacionariedad de la variable, sin embargo, el gráfico 2 muestra que las aglomeraciones de volatilidad de CRONOS, a pesar de que tienen un proceso de reversión a la media, su varianza no es constante en el tiempo, por lo que modelar los rendimientos a través de modelos ARMA podría presentar resultados débiles a comparación de modelar la varianza con un modelo no lineal que permita capturar los clústeres. Justo aquí es donde entran los modelos de volatilidad.

Autocorrelación de los rendimientos de CRONOS y prueba ARCH.

Lo primero que se va a analizar es la autocorrelación que existe sobre los rendimientos al cuadrado de CRONOS, esto permite ver los posibles efectos de memoria que puede tener la serie de tiempo.

Figura 3. Autocorrelación de los rendimientos logarítmicos de CRONOS

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Para asegurarse de que un modelo de volatilidad es pertinente, se prueba si hay efectos ARCH. La prueba de efectos ARCH se basa en multiplicadores de Lagrange para descomponer la varianza de la serie e identificar si sus rezagos son significativos. Si esto es así, entonces la aplicación de modelos de volatilidad es apropiada y justificada. El resultado de la prueba se observa en la tabla 2.

Tabla 2. Prueba de efectos ARCH

Prueba Valor p H0 Resultado
ARCH test 1.4E-10 La serie No tiene efectos ARCH Rechazo H0

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Al rechazar la H0, se comprueban los efectos ARCH en los rendimientos de CRONOS.

Modelos ARCH.

El primer modelo a implementar es un ARCH 1

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0020+0.2543u2t−1

La volatilidad de CRONOS se explica en un 25.43% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior. En el caso de ω que representa básicamente el intercepto de la ecuación de la varianza, es 0 y tiene bastante sentido ya que se están modelando los rendimientos, aunado al efecto de reversión a la media.

La caracterización o modelación de la varianza con el ARCH(1) se presenta en la figura 4:

Figura 4. ARCH(1) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

El siguiente modelo a implementar es un ARCH 2

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0019+0.2331u2t−1+0.0604u2t−2

La volatilidad de CRONOS se explica en un 23.31% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior y en un 6.04% por la volatilidad de hace dos días. De manera conjunta, el modelo ARCH(2) captura poco más del 29% de la volatilidad de CRONOS

La caracterización o modelación de la varianza con el ARCH(2) se presenta en la figura 5:

Figura 5. ARCH(2) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

El siguiente modelo a implementar es un ARCH 3

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0014+0.1811u2t−1+0.0093u2t−2+0.2716u2t−3

La volatilidad de TESLA se explica en un 18.11% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior y en un 0.93% por la volatilidad de hace dos días y en un 27.16% por la volatilidad de hace 3 días. De manera conjunta, el modelo ARCH(3) captura poco más del 46% de la volatilidad de CRONOS.

La caracterización de la varianza con el ARCH(3) se presenta en la figura 6:

Figura 6. ARCH(3) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Hasta este punto, los modelos ARCH(1), ARCH(2) y ARCH(3) cumplen con todas las condiciones: la sumatoria de los parámetros es menor a 1, son significativos y no son negativos.

Esto está por cambiar con el ARCH(4) El modelo implementado es:

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0014+0.1784u2t−1+0.0048u2t−2+0.2780u2t−3+0.0066u2t−4

La volatilidad de CRONOS se explica en un 17.84% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior y en un 0.48% por la volatilidad de hace dos días y en un 27.80% por la volatilidad de hace 3 días y en un 0.66% por la volatilidad de hace cuatro días. De manera conjunta, el modelo ARCH(4) captura el 47% de la volatilidad de CRONOS.

La caracterización de la varianza con el ARCH(4) se presenta en la figura 7:

Figura 7. ARCH(4) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

El problema con el ARCH(4) es que, a pesar de que la sumatoria de los parámetros sigue siendo = 1, el parámetro del ARCH 4 no es significativo, además, conforme se incluyen más rezagos en el componente ARCH, se están metiendo más varianza , el modelo se hace menos parsimonioso y esto puede llevar a problemas de sobreajuste.

Modelos GARCH.

Modelos GARCH Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(1,1):

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0003+0.1552u2t−1+0.7229σ2t−1

La volatilidad de CRONOS (aquí la vamos a nombrar como varianza condicional) se explica en un 15.52% por la volatilidad de un día anterior y en un 72.29% por la varianza ajustada de un periodo

¿Por qué varianza condicional? Porque la volatilidad o los rendimientos de CRONOS dependen (están condicionados) de la varianza rezagada, es decir, depende del tiempo.

La caracterización de la varianza con el GARCH(1,1) se presenta en la figura 8:

Figura 8. GARCH(1,1) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(1,2):

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0005+0.2456u2t−1+0.0305σ2t−1+0.5367σ2t−2

La varianza condicional se explica en un 24.56% por la volatilidad de un día anterior, en un 3.05% por la varianza ajustada de un periodo y en un 53.67% por la varianza ajustada rezagada 2 periodos.

La caracterización de la varianza con el GARCH(1,2) se presenta en la figura 9:

Figura 9. GARCH(1,2) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(2,1):

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0003+0.1619u2t−1+0.0000u2t−2+0.7206σ2t−1

La varianza condicional se explica en un 16.19% por la volatilidad de un día anterior y en un 72.06% por la varianza ajustada rezagada 1 periodo. Sin embargo, el componente ARCH(2) no es significativo.

La caracterización de la varianza con el GARCH(2,1) se presenta en la figura 10:

Figura 10. GARCH(2,1) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Finalmente, se hace el ajuste con un GARCH(2,2):

El resultado obtenido es:

σ2t=0.0005+0.2456u2t−1+0.0000u2t−2+0.0305σ2t−1+0.5367σ2t−2

La varianza condicional se explica en un 24.56% por la volatilidad de un día anterior y en un 0.0% por la volatilidad de dos días (aunque en los resultados asociados al valor p, el componente ARCH(2) no es significativo); también se explica en un 3.05% por la varianza ajustada rezagada 1 periodo y en un 53.67% por la varianza ajustada de dos periodos.

La caracterización de la varianza con el GARCH(2,2) se presenta en la figura 9:

Figura 11. GARCH(2,2) vs rendimientos

Fuente: elaboración propia con salida de R.

Selección de modelo y simulación de los rendimientos.

Para elegir el mejor modelo, se presentan los resultados de los parámetros obtenidos de todas las especificaciones ARCH y GARCH, así como el criterio de información de Akaike y el criterio bayesiano de Schwarz de los mismos.

MODELO \(\omega\) \(\alpha_{1}\) \(\alpha_{2}\) \(\alpha_{3}\) \(\alpha_{4}\) \(\beta_{1}\) \(\beta_{2}\) AKAIKE BAYES
ARCH(1) 0.0020 0.2543 -3.0774 -3.0617
ARCH(2) 0.0019 0.2331 0.0604 -3.0806 -3.0570
ARCH(3) 0.0014 0.1811 0.0093 0.2716 -3.1538 -3.1223
ARCH(4) 0.0014 0.1784 0.0048 0.2780 0.0066 -3.1521 -3.1127
GARCH(1,1) 0.0003 0.1552 0.7229 -3.1272 -3.1035
GARCH(1,2) 0.0005 0.2456 0.0305 0.5367 -3.1434 -3.1119
GARCH(2,1) 0.0003 0.1619 0.0000 0.7206 -3.1283 -3.0968
GARCH(2,2) 0.0005 0.2456 0.0000 0.0305 0.5367 -3.1398 -3.1004

Se elige el ARCH(3) y el GARCH(1,1) como los mejores modelos (de acuerdo a los criterios de información) de cada familia para simular los rendimientos de CRONOS a partir de los parámetros obtenidos.

La figura 12 muestra los resultados de la simulación.

Figura 12. Simulación del ARCH(3) y GARCH (1,1) vs rendimientos

Reflexión final.

Los modelos ARCH-GARCH permiten explicar la volatilidad de los activos financieros a partir de la varianza condicional, es decir, a partir de la varianza rezagada.

Por un lado, el componente ARCH indica la estructura de dependencia con los rendimientos o volatilidad pasada para explicar el activo en tanto que el componente GARCH explica la varianza ajustada del modelo.

En este caso, se utilizó como ejemplo los rendimientos de CRONOS y estimando diversas espeficicaiones, se concluye que los modelos que mejor caracterizan la volatilidad de CRONOS son el ARCH(1) y el GARCH(2,2). Este es solo el inicio del poder y bondades que ofrecen estos modelos.

Referencias.

[1] GRUPO CRONOS (2018). Cronos Group cotiza en el NASDAQ y en la Bolsa de Toronto y cotiza bajo el símbolo CRON. Recuperado el 21 de junio de 2020, de https://ir.thecronosgroup.com/investor-faqs

[2] https://mx.investing.com/equities/cronos