BANK OF AMERICA MODELOS ARCH-GARCH
GILES PEÑA LUZ EUGENIA
21 de JUNIO de 2020
TIKER: BAC
La Corporación Bank of America es una empresa estadounidense de tipo bancario y de servicios financieros multinacional con sede central en Charlotte, Carolina del Norte[1]. Es el segundo banco más importante del mundo, en cuanto a su capitalización bursátil y ocupa el puesto número 18 en la lista de empresas más grandes del mundo[2]. La compañía atiende a clientes a través de operaciones en los Estados Unidos, sus territorios y más de 35 países[3].
Bank of america fue resultado de la adquisición del antiguo Bank of America, por el NationsBank que es el encargado de recibir información monetaria. Fue fundado en 1874, como Commercial Nation Bank, y tras adquirir American Trust, en 1957, pasó a llamarse North Carolina Nation Bank y en 1991 adoptó el nombre de Nations Bank. En 1998, el NationsBank absorbió a Bank of America de San Francisco, y tomó su nombre[1].
Las actividades de banca comercial representan el 40.1% de las actividades de la empresa, mientras que las actividades de banca de negocios e inversión representan cerca del 31.9%, la gestión de fortunas y activos representa un 15.5% y las actividades de banca de mercado representan un 12,5% de la facturación de la empresa[4].
COMPORTAMIENTO DE LAS ACCIONES DE BANK OF AMERICA.
El precio de la acción de Bank of America de 2015 a 2016 se mantuvo fluctuando entre los 18.45 y los 15.26 dólares americanos. En febrero de 2016 sufrió la mayor caída dentro de los últimos 5 años con un precio de cierre de 11.16. Tras algunos meses de duda y a partir del mes de julio de 2016, tuvo una recuperación más volátil de los precios, en dirección de los 20 dólares, que se sobrepasaron en noviembre de 2016, lo que llevó al título al nivel de los 25 dólares a partir del mes de octubre de 2017. En diciembre de 2018 hubo fuertes caídas en los mercados y los principales bancos de Estados Unidos (Bank of América, JP Morgan Chase, Goldman Sachs, Wells Fargo, Citi y Morgan Stanley) fueron afectados. A mediados de 2019 los precios fluctuaron bastante debido a los conflictos entre Estados Unidos y China pero a principios de 2020 Bank of America alcanzó los 35.64 dólares, se tenían expectativas altas en las acciones de esta empresa hasta que la emergencia sanitaria provocada por el COVID-19 desplomo las acciones cayendo hasta los 18.08 dólares. En la actualidad las acciones de Bank of America se mantienen a la alza.
Figura 1. Precio de Cierre de Bank of America: Enero 2015 - Abril 2020
RENDIMIENTOS.
Los rendimientos miden la rentabilidad de una acción, es la relación entre el beneficio económico que proporciona la acción (precio y dividendos) y el capital invertido del accionista en un periodo de tiempo; es decir, los flujos obtenidos por tener la acción y el flujo de capital invertido en la adquisición de la acción[5]. En cuanto a los rendimientos registrados de Bank of America se pueden observar 2 clústeres importantes de volatilidad en la serie: El primer clúster es el de junio de 2016 donde registro rendimientos de ±7% y el de marzo de 2020 donde se registraron incrementos considerables llegando a obtener rendimientos de ±16% . El día en que Bank of America tuvo el mayor incremento en sus rendimientos, se dio a conocer que los principales bancos de Estados Unidos (PMorgan Chase, Bank of America, Citigroup, Wells Fargo, Goldman Sachs, Morgan Stanley, Bank of New York Mellon y State Street.) se comprometieron a paralizar las recompras de acciones propias en un esfuerzo por usar dicho capital para ayudar a los consumidores y empresas a enfrentar el freno de la economía ante la pandemia del coronavirus.
Figura 2. Rendimientos logarítmicos de Bank of America: Enero 2015 - Abril 2020
Análisis de la volatilidad (rendimientos) de Bank of America.
MODELOS ARCH
Los Modelos ARCH (Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos) nos permiten moldear la volatilidad de una serie. A diferencia de los modelos clásicos de regresión lineal donde suponen que la varianza de los errores es constante, en los modelos ARCH se asume que la varianza no es constante, y en este tipo de modelos nos permiten modelar la aglomeración o clúster de volatilidad que se presentan en los rendimientos de los activos financieros[7].
Estas son las condiciones que deben satisfacer los modelos ARCH:
• El valor de la varianza condicional debe ser positivo.
• Debe confirmarse la existencia de efectos ARCH en la serie. Los rezagos de los errores al cuadrado deben ser significativos (distintos de 0) en la serie.
• La sumatoria de los parámetros no puede ser mayor a 1, si esto no se cumple el modelo será inestable.
En el modelo ARCH(1) la varianza condicional depende solo de un rezago del error al cuadrado.
Limitaciones:
• No se puede calcular de manera precisa el número de rezagos óptimos.
• El número de rezagos del error al cuadrado utilizado para capturar toda la dependencia en la varianza condicional, puede ser muy largo, y daría como resultado un modelo de varianza condicional no parsimonioso.
• Tener muchos rezagos puede llegar a ocasionar que uno de los coeficientes se vuelva negativo y esto haría que la interpretación no tenga sentido.
MODELOS GARCH
Los modelos GARCH (Generalizados Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos) son extensión de los modelos ARCH[8]. En la estructura de los modelos GARCH al igual que los modelos ARCH la varianza condicional depende del cuadrado de los errores retrasados q períodos pero también de las varianzas condicionales retrasadas p períodos. Los modelos GARCH permiten que la varianza condicional sea dependiente de sus propios rezagos.
Los modelos GARCH son más parsimoniosos y evitan el sobreajuste. Hay menos probabilidad que el modelo quebrante las restricciones de no negatividad.
El modelo GARCH (1,1) la varianza condicional es una estimación anticipada de la varianza calculada. Contiene solo tres parámetros en la ecuación de varianza condicional y permite incluir un número infinito de errores al cuadrado rezagados para influir en la varianza condicional actual. Por lo general un modelo GARCH (1,1) será suficiente para capturar los clústeres o concentraciones de volatilidad en los datos.
APLICACIÓN DE MODELOS ARCH-GARCH PARA BANK OF AMERICA.
Utilizaremos modelos ARCH-GARCH para explicar y simular los rendimientos de Bank of America. Retomando la figura 2 de la primera sección, los rendimientos de Bank of America resentan 2 aglomeraciones de volatilidad importantes: 1) En de junio de 2016 donde registro rendimientos de e±7% y 2) En marzo de 2020 donde se registraron rendimientos de ±16% . Esto es producto de algunas noticias en donde Bank of America y otros bancos estadounidenses se comprometían a paralizar las recompras de acciones propias para ayudar a los consumidores y empresas a enfrentar el freno de la economía ante la pandemia del coronavirus.
PRUEBAS DE RAÍCES UNITARIAS SOBRE LOS RENDIMIENTOS.
Se aplican pruebas Dickey-Fuller, Phillips Perrón y KPPS para verificar la presencia de raíces unitarias sobre los rendimientos de TESLA (y garantizar las condiciones de estacionariedad).
Tabla 1. Prueba de raíces unitarias sobre los rendimientos de Bank of America
| PRUEBA | VALOR P | HO | RESULTADOTADO |
|---|---|---|---|
| Dickey fuller | 0.01 | La serie tiene raíz unitaria | Rechazo H0 |
| Phillips Perron | 0.01 | La serie tiene raíz unitaria | Rechazo H0 |
| KPSS | 0.1 | La serie es estacionaria | No Rechazo H0 |
Los resultados de las pruebas de la serie Bank of America en rendimientos indican que no hay presencia de raíces unitarias y confirman la estacionalidad de la variable, pero la Figura 2 muestra dos aglomeraciones de volatilidad y a pesar de que tienen un proceso de reversión a la media, la varianza no es constante en el tiempo. Si modelamos los rendimientos con modelos ARMA los resultados serían débiles, por eso es mejor modelar la varianza con un modelo no lineal que permita capturar los clústeres.
Por lo que modelar los rendimientos a través de modelos ARMA podría presentar resultados débiles a comparación de modelar la varianza con un modelo no lineal que permita capturar los clústeres. Por esta razón utilizaremos los modelos de volatilidad.
AUTOCORRELACIÓN DE LOS RENDIMIENTOS DE BANK OF AMERICA Y PRUEBA ARCH.
Se analizara la autocorrelación existente sobre los rendimientos al cuadrado de Bank of America, para identificar en la serie de tiempo los posibles efectos de memoria.
Figura 3. Autocorrelación de los rendimientos logarítmicos de Bank of America.
Se probara si hay efectos ARCH para asegurarnos de que es pertinente utilizar un modelo de volatilidad. Para realizar estas pruebas se utilizan multiplicadores de Lagrange que descompongan la varianza de la serie e identifican si los rezagos son significativos. Si el resultado es positivo, utilizar modelos de volatilidad será apropiado.
Tabla 2. Prueba de efectos ARCH
| PRUEBA | VALOR P | Ho | RESULTADOTADO |
|---|---|---|---|
| ARCH test | 2.2e-16 | La serie No tiene efectos ARCH | Rechazo H0 |
Cuando rechazamos H0, comprobamos los efectos ARCH en los rendimientos de Bank of America
MODELOS ARCH.
ARCH 1
\(σ^2_{t}=ω+α_1u^2_{t}\)
\(σ^2_{t}=0.000216+0.422268α_1u^2_{t}\)
La volatilidad que tuvo Bank of America se explica en un 42.22% con la volatilidad de hace un día anterior. ω que representa el intercepto de la ecuación de la varianza, es igual a 0 debido a que se están modelando los rendimientos, aunado al efecto de reversión a la media.
A continuación se presenta la modelación de la varianza utilizando ARCH(1)
Figura 4. ARCH(1) vs rendimientos 
ARCH 2
\(σ^2_{t}=ω+α_1u^2_{t-1}+α_2u^2_{t-2}\)
\(σ^2_{t}=0.000172+0.246112u^2_{t-1}+0.250006u^2_{t-2}\)
La volatilidad de Bank of America se explica en un 24.61% por la volatilidad de un día anterior y en un 25% por la volatilidad de hace dos días. Es más fuerte la influencia de la volatilidad de hace 2 días. De manera conjunta, el modelo ARCH(2) captura poco más del 49% de la volatilidad de Bank of America.
A continuación se presenta la modelación de la varianza utilizando ARCH(2)
Figura 5. ARCH(2) vs rendimientos
ARCH 3
\(σ^2_{t}=ω+α_1u^2_{t-1}+α_2u^2_{t-2}+α_3u^2_{t-3}\)
\(σ^2_{t}=0.000156+0.198815u^2_{t-1}+0.206497u^2_{t-2}+0.130070u^2_{t-3}\)
La volatilidad de Bank of America se explica en un 19.88% por la volatilidad de un día anterior y en un 20.64% por la volatilidad de hace dos días y en un 13% por la volatilidad de hace 3 días. De manera conjunta, el modelo ARCH(3) captura poco más del 53% de la volatilidad de Bank of America.
A continuación se presenta la modelación de la varianza utilizando ARCH(3)
Figura 6. ARCH(3) vs rendimientos
ARCH 4
Los modelos ARCH(1), ARCH(2) y ARCH(3) cumplieron todas las condiciones ya que la sumatoria de los de los parámetros es menor a 1, son significativos y no son negativos.
\(σ^2_{t}=ω+α_1u^2_{t-1}+α_2u^2_{t-2}+α_3u^2_{t-3}+α_4u^2_{t-4}\)
\(σ^2_{t}=0.000144+0.154461u^2_{t-1}+0.193346u^2_{t-2}+0.072939u^2_{t-3}+0.133838u^2_{t-4}\)
La volatilidad de Bank of America se explica en un 15.44% por la volatilidad de un día anterior, en un 19.33% por la volatilidad de hace dos días, en un 7.29% por la volatilidad de hace 3 días y en un 13.33% la volatilidad de hace 4 días. De manera conjunta, el modelo ARCH(4) captura poco más del 55% de la volatilidad de Bank of America.
ARCH(4) presenta problemas, auque su sumatoria sigue siendo igual a 1 y sus parámetros siguen siendo significativos, el tercer día presenta menos volatilidad que el cuarto. También debemos considerar que el modelo se hace menos parsimonioso y esto puede llevar a problemas de sobreajuste.
Figura 7. ARCH(4) vs rendimientos
MODELOS GARCH.
GARCH(1,1) La ecuación para los modelos GARCH es la siguiente:
\(σ^2_{t}=ω+α_1u^2_{t-1}+β_1σ^2_{t-1}\)
\(σ^2_{t}=0.00003+0.14377u^2_{t-1}+0.76005σ^2_{t-1}\)
La volatilidad de Bank of America (en estos modelos la vamos la nombraremos varianza condicional) se explica en un 14.37% por la volatilidad de un día anterior y en un 76% por la varianza ajustada de un periodo
A continuación se presenta la modelación de la varianza utilizando GARCH(1,1) se presenta en la figura 8.
Figura 8. GARCH(1,1) vs rendimientos 
GARCH(1,2)
\(σ^2_{t}=ω+α_1u^2_{t-1}+β_1σ^2_{t-1}+β_2σ^2_{t-2}\)
\(σ^2_{t}=0.00003+0.146741u^2_{t-1}+0.722601σ^2_{t-1}+0.032975σ^2_{t-2}\)
La varianza condicional se explica en un 14.67% por la volatilidad de un día anterior, en un 72.26% por la varianza ajustada de un periodo y en un 3.29% por la varianza ajustada rezagada 2 periodos. El GARCH 2 no es significativo.
A continuación se presenta la modelación de la varianza utilizando GARCH(1,2) se presenta en la figura 9.
Figura 9. GARCH(1,2) vs rendimientos
GARCH(2,1)
\(σ^2_{t}=ω+α_1u^2_{t-1}+α_2u^2_{t-2}+β_1σ^2_{t-1}\)
\(σ^2_{t}=0.000030+0.143946u^2_{t-1}+0.000002u^2_{t-2}+0.759576σ^2_{t-1}\)
La varianza condicional se explica en un 14% por la volatilidad de un día anterior y en un 75% por la varianza ajustada rezagada 1 periodo. Sin embargo, el componente ARCH(2) no es significativo.
A continuación se presenta la modelación de la varianza utilizando GARCH(2,1)se presenta en la figura 10.
Figura 10. GARCH(2,1) vs rendimientos
GARCH(2,2)
\(σ^2_{t}=ω+α_1u^2_{t-1}+α_2u^2_{t-2}+β_1σ^2_{t-1}+β_2σ^2_{t-2}\)
\(σ^2_{t}=0.000030+0.146638u^2_{t-1}+0.000001u^2_{t-2}+0.722621σ^2_{t-1}+0.033063σ^2_{t-2}\)
La varianza condicional se explica en un 14.66% por la volatilidad de un día anterior y en un 0.0001% por la volatilidad de dos días (aunque en los resultados asociados al valor p, el componente ARCH(2) no es significativo); también se explica en un 7.22% por la varianza ajustada rezagada 1 periodo y en un 3.30% por la varianza ajustada de dos periodos.
A continuación se presenta la modelación de la varianza utilizando GARCH(2,2) se presenta en la figura 11.
Figura 11. GARCH(2,2) vs rendimientos.
SELECCIÓN DE MODELO Y SIMULACIÓN DE LOS RENDIMIENTOS.
Al elegir el mejor modelo debemos tomar en cuenta los resultados obtenidos por todos los modelos ARCH y GARCH. No debemos dejar de lado la información proporcionada por el criterio bayesiano de Schwarz y Akaike.
| MODELO | \(\omega\) | \(\alpha_{1}\) | \(\alpha_{2}\) | \(\alpha_{3}\) | \(\alpha_{4}\) | \(\beta_{1}\) | \(\beta_{2}\) | AKAIKE | BAYES |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ARCH(1) | 0.0002 | 0.4223 | -5.2516 | -5.2439 | |||||
| ARCH(2) | 0.0002 | 0.2461 | 0.250006 | -5.326 | -5.3144 | ||||
| ARCH(3) | 0.0002 | 0.19882 | 0.206497 | 0.13007 | -5.3408 | -5.3253 | |||
| ARCH(4) | 0.000144 | 0.15446 | 0.193346 | 0.072939 | 0.133838 | -5.358 | -5.3386 | ||
| GARCH(1,1) | 0.0000 | 0.1438 | 0.7601 | -5.3697 | -5.3581 | ||||
| GARCH(1,2) | 0.00003 | 0.14674 | 0.722601 | 0.032975 | -5.3681 | -5.3526 | |||
| GARCH(2,1) | 0.0000 | 0.1439 | 0.0000 | 0.7596 | -5.3681 | -5.3525 | |||
| GARCH(2,2) | 0.00003 | 0.14664 | 0.000001 | 0.722621 | 0.033063 | -5.3666 | -5.3472 |
Tomando en cuenta los datos de la tabla anterior podemos ver que de la familia ARCH en mejor modelo es ARCH(3) ya que es el segundo modelo con números más negativos en los criterios bayesiano de Schwarz y Akaike además de que todas sus variables son significativas . Y de la familia GARCH elegiremos al GARCH(1,1) debido a que cumple con todas las especificaciones y de todos los modelos realizados tiene el número más negativo de Akaike y Bayes.
La figura 12 muestra los resultados de la simulación.
Fuente: Elaboración propia salida de R </center
Para poder simular esta serie es necesario generar números aleatorios del tamaño de nuestra muestra descargada de Yahoo finance y los parámetros obtenidos de los modelos seleccionados, en nuestro caso los modelos ARCH(3) y el GARCH(1,1) para simular los rendimientos de Bank of America. Gracias a esto se logra caracterizar la volatilidad de los rendimientos de Bank of America a partir de dichos modelos.
CONCLUSIÓN.
En este trabajo analizamos la volatilidad de los activos financieros mediante los modelos ARCH-GARCH, dichos modelos explican la volatilidad a partir de la varianza condicional (Varianza rezagada). ARCH muestra la dependencia de los rendimientos con el pasado y Garch explica la varianza ajustada de los modelos.
La empresa seleccionada para este análisis fue el famoso banco estadounidense Bank of America , uno de los bancos más importantes del mundo. Analice sus rendimientos y de sometí a ocho modelos, 4 de la familia ARCH y 4 de la familia GARCH, como resultado de la modelación seleccione a los modelos ARCH(3) y el GARCH(1,1) que son los que mejor caracterizaban la volatilidad de dicho banco.
Después de comparar los rendimientos reales de Bank of America con los rendimientos simulados en de ARCH(3) y ARCH(1,1) podemos ver que si identifica algunos clusters de la volatilidad, pero en algunos casos disparan un poco más la volatilidad. También podemos analizar la volatilidad con ayuda de otros modelos como lo son: IGARCH, EARCH, TARCH, SWARCH, QS-ARCH, APARCH, FACTOR-ARCH.
La volatilidad es un factor importante que tienen que analizar los inversores en los mercados financieros para tomar decisiones comerciales y en este ejercicio aprendimos que se pueden replicar los rendimientos con los parámetros obtenidos y una forma de tratar de simular en donde se pueden venir los golpes de volatilidad.
BIBLIOGRAFIA
[1]: Colaboradores de Wikipedia. (2020, 15 mayo). Bank of America. Recuperado 19 de junio de 2020, de https://es.wikipedia.org/wiki/Bank_of_America#cite_note-4
[2]: Sevilla, A. (2020, 26 febrero). Empresas más grandes del mundo 2020. Recuperado 19 de junio de 2020, de https://economipedia.com/ranking/empresas-mas-grandes-del-mundo-2020.html
[3]: Bank of America’s History, Heritage & Timeline. (2014, 4 agosto). Recuperado 19 de junio de 2020, de https://about.bankofamerica.com/en-us/who-we-are/our-history-and-heritage.html#fbid=bS_RNRmUfsl/hashlink=our-history-heritage
[4]: Comprar acciones de Bank of America. (s. f.). Recuperado 19 de junio de 2020, de https://www.estrategia-bolsa.es/acciones-bank-of-america.html
[5]: Gestión. (s. f.). ¿Cómo se determina el rendimiento de una acción? Recuperado 19 de junio de 2020, de https://gestion.pe/blog/inversioneinfraestructura/2017/11/como-se-determina-el-rendimiento-de-una-accion.html/#:%7E:text=En%20consecuencia%2C%20la%20rentabilidad%20de,de%20capital%20invertido%20en%20la
[6]: Haro, J. L. (2020, 16 marzo). Los principales bancos de EEUU cancelan las recompras de acciones para ayudar a los consumidores. Recuperado 19 de junio de 2020, de https://www.eleconomista.es/mercados-cotizaciones/noticias/10419679/03/20/-Los-principales-bancos-de-EEUU-cancelan-las-recompras-de-acciones-para-ayudar-a-los-consumidores.html
[7]: Engle, F. R. (1982). " Autoregressive Conditional Heterocedasticity whit Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation ". Econometrica, 50(4), 987-1008.
[8]: Bollerslev T. y Melvin M. (1994). " Bid-Ask Spreads and the Volatility in the Foreing Exchange Market: An Empirical Analisys ". Journal of International Economics, 36: 355-372.