Goldman Sachs Group Inc. : Modelos ARCH y GARCH
Jazmin Rodriguez Lima
9/6/2020
Goldman Sachs Group, Inc., fundada por Marcus Goldman en 1869, es una firma líder en el área de banca de inversión y gestión de inversiones y valores, que proporciona servicios financieros a corporaciones, instituciones financieras e inversionistas. Goldman Sachs tiene operaciones en 30 países, incluyendo México. [1] La empresa, que tiene su sede en Nueva York, tiene cuatro áreas de negocios: banca de inversión, servicios institucionales para clientes, inversiones y préstamos, y gestión de inversiones. El segmento de Banca de Inversión brinda servicios de asesoría financiera y ayuda a las compañías a reunir capital. El segmento de Servicios Institucionales al Cliente atiende a clientes que vienen a comprar y vender productos financieros, recaudar fondos y administrar riesgos. El segmento de Inversión y Préstamo incluye actividades de inversión y préstamo de relaciones; y haciendo inversión. El segmento de Gestión de Inversiones involucra servicios de asesoría de inversiones y riqueza.[2]
Comportamiento del Precio de cierre de GS
Goldman Sachs Inc., con ticker GS, comenzó a cotizar en la bolsa de New York Stock Exchange a partir del año 1999. Desde entonces, gracias al incremento del volumen de las ventas de sus servicios financieros, los precios de la acción se han incrementado. Entre 2015 y 2020 el precio de la acción ha sufrido importantes fluctuaciones. Tras un considerable descenso entre febrero y junio del 2016, el precio pudo recuperarse entre 2017 y 2018, pasando de 139.51 a 273.38 dólares americanos, siendo este ultimo el precio más alto alcanzado desde el 2015. Sin embargo, al finalizar el año 2018 también se presento una caída muy drástica, pasando a los 156.35 dls. A inicios del 2020 el precio nuevamente volvió a recuperase progresivamente, sin embargo, tras el inicio de la emergencia sanitaria provocada por el COVID-19 en todo el mundo, el precio de la acción alcanzo su nivel más bajo sin embargo este se ha ido recuperando.
Los rendimientos de la acción de Goldman Sachs, desde el 2015, han oscilado entre ±2% y ±3%. Entre 2018 y 2019 los rendimientos alcanzaron casi el 10%. Para marzo del año 2020, derivado del comienzo de la emergencia sanitaria por COVID-19, se presentaron los mayores clústers de volatilidad.
Más adelante se analizaran los clústers de volatilidad por medio de los modelos Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (ARCH) y los modelos Generalizados Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (GARCH), pero antes realizaremos las pruebas de raíces unitarias sobre los rendimientos de GS para garantizar la estacionariedad.
Pruebas de raíces unitarias
Para cada de prueba se parte de las siguientes hipótesis:
Dickey Fuller aumentada (DFA)
\(^{a/}H0\): La serie tiene raíz unitaria.
\(^{a/}H1\): La serie es estacionaria.
Phillips-Perron (PP)
\(^{b/}H0\): La serie tiene raíz unitaria.
\(^{b/}H1\): La serie es estacionaria.
Prueba Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS)
\(^{c/}H0\): La serie es estacionaria.
\(^{c/}H1\): La serie no es estacionaria.
Nota:
Si valor “p” > 0.05 –> Acepto H0.
Si valor “p” < 0.05 –> Rechazo H0 y acepto H1.
| Variable | Valor p | Resultado |
|---|---|---|
| \(DFA^{a/}\) | 0.01 | Rechazo H0 |
| \(PP^{b/}\) | 0.01 | Rechazo H0 |
| \(KPSS^{c/}\) | 0.1 | No rechazo H0, acepto H1 |
De acuerdo a los resultados obtenidos, descartamos la presencia de raíces unitarias y confirmamos la existencia de estacionariedad.
Autocorrelación de los rendimientos al cuadrado
La autocorrelación de los rendimientos al cuadrado permite observar los posibles efectos de memoria que se pueden tener a través del tiempo, dicho de otra manera, permite observar si los rezagos o errores anteriores explican a los rendimientos de GS. A continuación podemos obsrvar efectivamente existe una correlación o dependencia de los rezagos anteriores, debido a que al menos la mitad de las barras rebazan los intervalos de confianza. Esto nos permite comenzar a determinar que hay existencia de efectos ARCH en la serie.
Para validar o asegurar que efectivamnte hay efectos ARCH en nuestro modelo, se procede a la realización de la siguiente prueba que se basa en la descomposición de la varianza de la serie. De esta manera podemos si los rezagos son significativos para la aplicación de los modelos de volatilidad.
| Variable | Valor p | H0 | Resultado |
|---|---|---|---|
| GS Test | 2.2e-16 | La serie no tiene efectos | Rechazo H0 |
El resultado nos lleva al rechazo de la hipótesis nula (H0), lo cual nos demuetra que los rendimientos de GS si tienen efectos de ARCH, por lo tanto procedemos a la elaboración de los modelos.
Modelos ARCH
Los modelos Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (ARCH) nos sirven para modelar la volatilidad . A diferencia de los modelos lineales, donde la varianza es constante y cero, en los modelos ARCH se asume que la varianza no es constante. Los modelos ARCH asumen que la varianza no es constante, sino que mas bien, la varianza está condicionada a una variable aleatoria. En los modelos ARCH,la autocorrelación en la volatilidad es modelada por la varianza condicional del término de error, (\(σ^2_t\)) que depende del valor anterior del error al cuadrado. Los modelos ARCH deben cumplir con:
La varianza condicional o cuadrado de los errores jamas debe tener un resultado negativo (ya que cualquier numero nuegativo elevado al cuadrado jamás puede dar un resultado negativo). Adémas, omega debe ser mayor o igual a cero (\(ω≥0\)) y alfa debe ser mayor o igual a cero (\(α_1≥0\)).
Confirmar de los efectos de ARCH en las series, lo que quiere decir que los rezagos de los errores al cuadrado son significativos o distintos a cero.
La sumatoria de los parametros jamás debe ser igual o mayor a 1
Ya que anteriormente confirmamos los requisitos de los modelos ARCH, procedemos a la modelación, partiendo del hecho que los modelos ARCH estan modelados por la varianza condicional del término de error, (\(σ^2_t\)).
ARCH (1)
Los modelos ARCH (1) se modelan mediante la ecuación:
\(\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}}\)
Los resultados obtenidos son:
\(\sigma_{t}^{2}=0.000192+0.410001u_{t-1}^{2}\)
De acuerdo con los resultados obtenidos con este primer modelo, se puede decir que la volatilidad de los rendimientos de GS se explica o depende en un 41% por los rendimientos de un día anterior.
En la figura 4 se demuestra gráficamente la representación del modelo ARCH (1):
ARCH (2)
Los modelos ARCH (2) se modelan mediante la ecuación:
\(\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} + \underset{ARCH(2)}{\underbrace{\alpha_{2}u_{t-2}^{2}}}\)
Los resultados obtenidos son:
\(\sigma_{t}^{2}=0.000152+0.185171u_{t-1}^{2}+0.270681u_{t-2}^{2}\)
Para el segundo modelo, los resultados nos indican que la volatilidad de GS se explica en un 18.51% por los rendimientos de un día anterior y en un 27.06% por los de dos días anteriores. En conjunto, el modelo ARCH (2) representa el 45.57% de la volatilidad de GS.
En la figura 5 se demuestra gráficamente la representación del modelo ARCH (2):
ARCH (3)
Los modelos ARCH (3) se modelan mediante la ecuación:
\(\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} + \underset{ARCH(2)}{\underbrace{\alpha_{2}u_{t-2}^{2}}} + \underset{ARCH(3)}{\underbrace{\alpha_{3}u_{t-3}^{2}}}\)
Los resultados obtenidos son:
\(\sigma_{t}^{2}=0.000144+0.162715u_{t-1}^{2}+0.227758u_{t-2}^{2}+0.086125u_{t-3}^{2}\)
Los resultados para el modelo ARCH (3), nos revelan que la volatilidad de GS se explica en un 16.27% por los rendimientos de un día anterior, en un 22.77% por los de dos días anteriores y en un 8.61% por los de hace tres días. En total, para este tercer modelo la volatilidad se explica en un 47.65%.
En la figura 6 se demuestra gráficamente la representación del modelo ARCH (3):
ARCH (4)
Los modelos ARCH (4) se modelan mediante la ecuación:
\(\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} + \underset{ARCH(2)}{\underbrace{\alpha_{2}u_{t-2}^{2}}} + \underset{ARCH(3)}{\underbrace{\alpha_{3}u_{t-3}^{2}}} +\underset{ARCH(4)}{\underbrace{\alpha_{4}u_{t-4}^{2}}}\)
Los resultados obtenidos son:
\(\sigma_{t}^{2}=0.000133+0.150889u_{t-1}^{2}+0.201747u_{t-2}^{2}+0.057065u_{t-3}^{2}+0.102779u_{t-4}^{2}\)
Para el cuarto modelo, ARCH (4), la volatilidad es explicada en un 15.08% por los rendimientos de un día anterior, 20.17% por los de dos días anteriores, en un 5.70% por los de tres días anteriores y en un 10.27% por los de hace cuatro días. Este ultimo modelo, en conjunto captura el 51.22% de la volatilidad de GS.
En la figura 7 se demuestra gráficamente la representación del modelo ARCH (4):
Modelos GARCH
Los modelos Generalizados Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (GARCH) son una extensión del modelo ARCH con la diferencia de que \(σ^2_t\) se vuelve recursivo. [3] Por lo tanto cada que se modele un GARCH, debe existir por lo menos un ARCH en la ecuación para su cálculo.
Los modelos GARCH se consideran mucho mejores que los modelos ARCH, ya que estos ultimos tienen sus limitaciones, además de que no hay una forma precisa de calcular los rezagos y esto conllevaría a que algún coeficiente se vuelva negativo.
Los modelos GARCH,además de que evitan sobreajustes en la serie, contienen elementos ARCH en su estructura como veremos a continuación.
GARCH (1,1)
Los modelos GARCH (1,1) se modelan mediante la ecuación:
\(\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} + \underset{GARCH(1)}{\underbrace{\beta_{1}\sigma_{t-1}^{2}}}\)
Los resultados obtenidos son:
\(\sigma_{t}^{2}=0.00002+0.12106u_{t-1}^{2}+0.80409\sigma_{t-1}^{2}\)
Los resultados obtenidos con el modelo GARCH (1,1), nos indican que la varianza condicional (\(σ^2_t\)) depende en un 12.10% de la volatilidad de un día anterior y de un 80.40% de la varianza ajustada un periodo.
En la figura 8 se demuestra gráficamente la representación del modelo GARCH (1,1):
GARCH (1,2)
Los modelos GARCH (1,2) se modelan mediante la ecuación:
\(\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} + \underset{GARCH(1)}{\underbrace{\beta_{1}\sigma_{t-1}^{2}}} +\underset{GARCH(2)}{\underbrace{\beta_{2}\sigma_{t-2}^{2}}}\)
Los resultados obtenidos son:
\(\sigma_{t}^{2}=0.000021+0.127787u_{t-1}^{2}+0.716827\sigma_{t-1}^{2}+0.077821\sigma_{t-2}^{2}\)
El modelo GARCH (1,2), nos indican que la varianza condicional depende en 12.77% de la volatilidad de un día anterior, en 71.68% de la varianza rezagada un periodo y en 80.40% de la varianza rezagada en dos periodos.
En la figura 9 se demuestra gráficamente la representación del modelo GARCH (1,2):
GARCH (2,1)
Los modelos GARCH (2,1) se modelan mediante la ecuación:
\(\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} +\underset{ARCH(2)}{\underbrace{\alpha_{2}u_{t-2}^{2}}}+\underset{GARCH(1)}{\underbrace{\beta_{1}\sigma_{t-1}^{2}}}\)
Los resultados obtenidos son:
\(\sigma_{t}^{2}=0.00002+0.12114u_{t-1}^{2}+0.00000u_{t-2}^{2}+0.80441\sigma_{t-1}^{2}\)
La varianza condicional para el modelo GARCH (2,1) depende 12.11% de la volatilidad de un día anterior y 80.44% de la varianza rezagada un periodo, sin embargo la volatilidad de dos días anteriores no tiene significancia ya que el resultado es cero.
En la figura 4 se demuestra gráficamente la representación del modelo GARCH (2,1):
GARCH (2,2)
Los modelos GARCH (2,2) se modelan mediante la ecuación:
\(\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} +\underset{ARCH(2)}{\underbrace{\alpha_{2}u_{t-2}^{2}}}+\underset{GARCH(1)}{\underbrace{\beta_{1}\sigma_{t-1}^{2}}}+\underset{GARCH(2)}{\underbrace{\beta_{2}\sigma_{t-2}^{2}}}\)
Los resultados obtenidos son:
\(\sigma_{t}^{2}=0.000021+0.127754u_{t-1}^{2}+0.000001u_{t-2}^{2}+0.716660\sigma_{t-1}^{2}+0.078024\sigma_{t-2}^{2}\)
Para el modelo GARCH (2,2) la varianza condicional depende 12.77% de la volatilidad de un día anterior, 71.66% de la varianza ajustada rezagada un periodo y 7.80% de la varianza ajustada rezagada dos periodos. En este modelo la volatilidad de dos días anteriores no tiene significancia ya que su resultado es cero.
En la figura 11 se demuestra gráficamente la representación del modelo GARCH (2,2):
¿Cuál sería el mejor modelo?
En la siguiente tabla se muestran agrupados los resultados que anteriormente se analizaron para cada modelo. Los resultados obtenidos en los parametros \(ω\), \(α\) y \(β\) cumplen con las caracteristicas de un buen modelo. Todos los resultados para cada modelo son positivos y la sumatoria de los mismos no son mayores a uno. Por lo tanto todos los modelos son considerados estables.
En la tabla, además se integran los resultados de los criterios de información AIC y BIC, de los cuales tanto para los modelos ARCH y GARCH, tomaremos los resultados más pequeños.
| Modelo | \(ω\) | \(α_1\) | \(α_2\) | \(α_3\) | \(α_4\) | \(β_1\) | \(β_2\) | AKAIKE (AIC) | BAYES (BIC) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ARCH (1) | 0.000192 | 0.410001 | -5.3829 | -5.3751 | |||||
| ARCH (2) | 0.000152 | 0.185171 | 0.270681 | -5.4835 | -5.4719 | ||||
| ARCH (3) | 0.000144 | 0.162715 | 0.227758 | 0.086125 | -5.4895 | -5.4740 | |||
| ARCH (4) | 0.000133 | 0.150889 | 0.201747 | 0.057065 | 0.102779 | -5.5010 | -5.4816 | ||
| GARCH (1,1) | 0.00002 | 0.12106 | 0.80409 | -5.5130 | -5.5013 | ||||
| GARCH (1,2) | 0.000021 | 0.127787 | 0.716827 | 0.077821 | -5.5118 | -5.4963 | |||
| GARCH (2,1) | 0.00002 | 0.12114 | 0.00000 | 0.80441 | -5.5116 | -5.4961 | |||
| GARCH (2,2) | 0.000021 | 0.127754 | 0.000001 | 0.716660 | 0.078024 | -5.5103 | -5.4909 |
Ya que todos los resultados obtenidos en los criterios AIC y BIC son negativos, se eligen los que más se alejen de cero (o minimos) de cada tipo de modelo (ARCH y GARCH), por lo tanto se eligen los modelos ARCH (4) y GARCH (1,1).
En los siguientes gráficos se muestran los rendimientos reales de GS, y los rendimienntos simulados para ARCH (4) y GARCH (1,1) respectivamente. Para estos últimos se toman números aleatorios de la muestra.
Los clusters de volatilidad simulados tanto para ARCH (4) y GARCH (1,1) coinciden con los de los rendimientos reales, principalmente con los que se encuentran después del año 2019.
Conclusiones
Los modelos ARCH y GARCH son herramientas que nos permiten explicar la volatilidad que tienen los rendimientos de los activos financieros, partiendo de la varianza condicional. La varianza condicional en estos modelos no es constante y depende de los rezagos o valores anteriores del error al cuadrado (\(σ^2_t\)). Los modelos ARCH dependen de la volatilidad que ocurre en los periodos anteriores, mientras que los modelos GARCH dependen de la varianza ajustada. Los modelos GARCH son una extensión de los modelos ARCH y se considera que son mejores modelos porque evitan sobreajustes y con ello se puede evitar más certeramente la no negatividad. Los modelos que mejor se ajustan a la volatilidad de Goldman Sachs Group Inc. son ARCH (4) y GARCH (1,1) y por lo tanto son los modelos que se eligieron para las simulaciones de los rendimientos. Los clusters de volatilidad nos permiten, como inversionistas de un activo, determinar en que momento es mejor comprar o vender dicho activo finanacier y de esta manera generar rendimientos. Si la volatilidad de GS no es muy alta o baja, no es posible obtener rendimientos muy altos, sin ambargo estos pueden ser estables en el largo plazo. Por último, los rendimientos de GS son más redituables en el mediano plazo y un poco en el corto. Por lo tanto, se recomienda realizar inversiones sobre este activo, en los plazos mencionados, ya que en el largo plazo casi no se pueden ver clusters de volatilidad que indiquen la compra-venta del activo.
Referencias
[1] Bnamericas. (2019). Goldman Sachs Group, Inc. (Goldman Sachs). Recuperado el 9 de junio de 2020 de https://www.bnamericas.com/es/perfil-empresa/goldman-sachs-group-inc
[2] A2 Finance. (2020). The Goldman Sachs Group, Inc. Recuperado el 9 de junio de 2020 de https://a2-finance.com/es/issuers/the-goldman-sachs-group-inc
[3] Rpubs by studio. (2020). TESLA Modelos ARCH-GARCH. Recuperado el 15 de junio de 2020 de https://rpubs.com/Ana_JP/TESLA_ARCHGARCH