Volatilidad de Royal Caribbean International
¿Que es Royal Caribbean International?
Royal Caribbean International, con el ticker RCL, perteneciente a Royal Caribbean Cruises Ltd. es una empresa de cruceros fundada en Noruega y con sede en la ciudad de Miami, Florida, Estados Unidos. De momento, tenía veintisiete barcos en servicio activo y tiene cinco en construcción. Cada una de las flotas de Royal Caribbean International se bautiza con la terminación “of the Seas”, práctica que se instauro desde el año de 1991. Los cofundadores son: John Debvre (1939-) Thomas Jefferson (1919-2000).
En un inicio fue fundada como Royal Caribbean Cruise Line en el año de 1968 por tres compañías navieras noruegas: Anders Wilhelmsen & Company, I.M. Skaugen & Company y Gotaas Larsen. A los dos años la nueva línea puso en servicio a su primer barco, el Song of Norway, la capacidad de la línea se duplicó al año siguiente con la adición del Nordic Prince a la flota. Continuando así con la expansión.
Comportamiento del precio de cierre de Royal Caribbean International
Las acciones de Royal Caribbean International empezaron a cotizar en febrero del año 1993, a continuación se presenta el comportamiento del precio de cierre de RCL. Como podemos ver RCL presenta su mayor crecimiento a mediados de enero del 2020 con un precio de 135.05 dólares, Sin embargo, la magia no le duro por mucho. Esto se debió ya que en julio se dio la noticia del accidente que tuvo lugar en Puerto Rico, donde una bebe de 18 meses se vio afectada al caer de los brazos de su abuelo por la ventana del piso 11. Esta fue la declaración de Royal Caribbean pero a mediados de diciembre, cuando el abuelo salió bajo fianza y regreso a su estado natal, metió una demanda contra la empresa donde su abogado presento fotos de recreación, diciendo que son evidencia de que el abuelo no podía asomarse físicamente por la ventana desde la que cayó la niña, como la compañía ha asegurado. La empresa mostro videos pero difieren con las fotografías. [1]
Esta situación puso en duda la compra de servicios de Royal Caribbean por lo que sus precios fueron bajando a en lo que faltaba de Enero, después de esto su precio tuvo una tendencia a la baja ya que empezaban a darse los primeros casos de COVID-19 en los Estados Unidos en el lapso hacia Marzo. Limitando el sector turístico solo logro que su precio llegase a 22.33 dólares, el cual ha sido el más bajo desde 1993.
Respecto a los rendimientos registrados para RCL, se pueden observar tres clústeres de volatilidad en la serie: el primero se presenta a finales de julio del 2015 donde se registraron rendimientos de ±8%; el segundo es en noviembre del 2016 donde RCL alcanzó a registrar rendimientos de ±9%, en el tercero tenemos el clúster de volatilidad más alto es durante finales de marzo del 2020 llegando a un rendimiento de ±20%.
Este último, se debió a un préstamo con el cual se pretende enfrentar la pandemia que cuenta con una línea de crédito garantizada a 364 días por 2,2 mil millones de dólares, que gracias a este la empresa podrá sostenerse hasta que esto pase. [2]
Análisis de la volatilidad (rendimientos) de Royal Caribbean International [6]
¿Por qué se pueden modelar con especificaciones ARCH-GARCH los clústeres de volatilidad de las acciones? [6]
Los modelos Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (ARCH) que fueron propuestos por Engle y Robert F. [3] tienen la función de modelar la volatilidad de una serie. Los modelos como los ARMA y los ARIMA se asumen que son lineales. Por ejemplo, se considera un modelo ARMA (1,0):Donde Yt representa el precio de cierre de Royal Caribbean International; la acción en este ejemplo se explica por un autorregresivo de orden 1 que también se puede interpretar que Yt es explicada por el precio del periodo anterior, como se supone que estamos modelando cotizaciones de frecuencia diaria, la interpretación en este caso sería que el comportamiento del precio de cierre se ve explicado por el precio del día anterior y ese peso nos lo indicaría el parámetro β. También se asume que ut∼N(0,σˆ2), este nos dice que el término de error se distribuye como una variable normal con media cero y varianza constante. Pero también es bien sabido que las series financieras se caracterizan por ser series no lineales.
La pregunta ahora es ¿cómo podemos modelar una serie de tiempo no lineal? Un modelo particularmente no lineal y que se utiliza ampliamente en las finanzas son los Modelos Autorregresivos Condicionalmente Heterocedásticos (ARCH).
La varianza condicional [6]
Nos dice uno de los supuestos que se asumen en un modelo clásico de regresión lineal es que ut∼N(0,σˆ2), este nos dice que la varianza de los errores es constante también se puede decir que es homocedástico. En este sentido, los modelos ARCH asumen que la varianza no es constante y dichos modelos permiten modelar el clúster de volatilidad que se presentan en los rendimientos de los activos financieros. La varianza condicional de ut se expresar como σtˆ2:Condiciones que deben satisfacer los modelos ARCH [6]
- No negatividad: Dado que ηt es la varianza condicional, su valor siempre debe ser estrictamente positivo, recordemos que la varianza condicional es el cuadrado de los errores. Se debe satisfacer que ω≥0ω≥0 y α1≥0α1≥0. Para el caso general ARCH(q) se debe cumplir que αi≥0∀i=1,2,…,q.
- Hay que confirmar que existen efectos ARCH en las series: En esta prueba, la hipótesis nula nos dice que hay efectos ARCH, es decir, que los q rezagos de los errores al cuadrado son significativos o que son distintos de 0 en la serie, de esta forma se justifica que se puede modelar con un modelo de varianza condicional.
- La sumatoria de los parámetros no puede ser mayor a 1: Si la suma de los valores que reportan los parámetros del modelo es mayor uno, la volatilidad de la serie explota conforme al tiempo que esto quiere decir que el modelo es inestable.
Limitaciones de los modelos ARCH [6]
- No existe una forma precisa de calcular el número de rezagos óptimos (q) para el modelo ARCH.
- El valor de (q) que nos dice que el número de rezagos del error al cuadrado que es requerido para capturar toda la dependencia en la varianza condicional puede llegar a ser muy extenso y esto resultaría en un modelo de varianza condicional que no es parsimonioso.
- Tener muchos rezagos q puede llegar a ocasionar que uno de los coeficientes se vuelva negativo, lo cual no tendría sentido en la interpretación.
Modelos GARCH [6]
Los modelos Generalizados Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (GARCH) son una extensión del modelo ARCH con la diferencia de que σtˆ2 se vuelve recursivo. El modelo GARCH se desarrolló en 1986 por Tim Bollerslev [4] y Stephen Taylor [5]. Este modelo permite que la varianza condicional sea dependiente de sus propios rezagos. La ecuación de la varianza condicional es:Este es el modelo GARCH (1,1), σt ˆ2 es conocida como la varianza condicional ya que es una estimación anticipada de la varianza calculada. El uso de los modelos GARCH permite interpretar:
- Varianza ajustada, recordemos que: ηt=σtˆ2
- ω como una función ponderada de un promedio de largo plazo
- Información de la volatilidad previa representada por α1u(t−1)ˆ2
- Varianza ajustada del modelo del periodo anterior β1σ(p−1)ˆ2
El modelo GARCH se puede expresar de tal manera que representa un modelo ARMA para modelar la varianza condicional. A continuación se demuestra esto, considerando que los residuales son al cuadrado u(t−1)ˆ2 en relación con su varianza condicional σtˆ2 está dado por:
Despejamos la varianza condicional σtˆ2
Sustituimos ecuación (2) en (1)
Ordenamos:
Sacamos factor común u(t−1)ˆ2
La ecuación (3) representa un proceso ARMA (1,1) sobre los errores al cuadrado.
¿Por qué los modelos GARCH se consideran mejores y son más utilizados que los ARCH? [6]
Los modelos GARCH son más parsimoniosos y evitan el sobreajuste, como consecuencia de esto es menos probable que el modelo quebrante las restricciones de no negatividad. Así, el modelo GARCH (1,1), contiene solo tres parámetros en la ecuación de varianza condicional y permite incluir un número infinito de errores al cuadrado rezagados para influir en la varianza condicional actual. El modelo GARCH (1,1) se puede extender a un modelo GARCH (p,q) donde la varianza condicional actual se parametriza para depender de q rezagos del error al cuadrado y los p rezagos de la varianza condicional:
Usualmente un modelo GARCH (1,1) será suficiente para capturar los clústeres o concentraciones de volatilidad en los datos.
Aplicación de Modelos ARCH-GARCH para Royal Caribbean International [6]
Se hace uso de los modelos ARCH-GARCH para explicar y simular los rendimientos de Royal Caribbean International. Retomando la figura 2 de la primera sección, los rendimientos de Royal Caribbean International presentan tres aglomeraciones de volatilidad importantes:
- Finales de julio del 2015 donde se registraron rendimientos de ±8%
- Finales de noviembre del 2016 donde RCL alcanzó a registrar rendimientos de ±9%
- Finales de marzo del 2020 llegando a un rendimiento de ±20%
Pruebas de raíces unitarias sobre los rendimientos [6]
Se aplican Dickey-Fuller, Phillips Perrón y prueba KPPS para verificar la presencia de raíces unitarias sobre los rendimientos de la RCL y así garantizar las condiciones de estacionariedad. Recordemos que:
- Si valor p > 0.05 No rechazo (acepto) H0
- Si valor p < 0.05 Rechazo H0
Los resultados de las pruebas de la serie de RCL en rendimientos indican que no hay presencia de raíces unitarias y confirman la estacionariedad de la variable, pero, el gráfico 2 muestra que las aglomeraciones de volatilidad de RCL su varianza no es constante en el tiempo y esto al modelar los rendimientos a través de modelos ARMA podría mostrar resultados débiles a comparación de modelar la varianza con un modelo no lineal que permita capturar estos clústeres. Aquí es donde entran los modelos de volatilidad.
Autocorrelación de los rendimientos de RCL y prueba ARCH [6]
Primero se va a analizar la autocorrelación que existe sobre los rendimientos al cuadrado de RCL, esto permite ver los posibles efectos de memoria que puede tener la serie de tiempo.
Vamos a asegurarnos de que el modelo de volatilidad es pertinente, se prueba si hay efectos ARCH. La prueba de efectos ARCH se basa en multiplicadores de Lagrange para descomponer la varianza de la serie e identificar si sus rezagos son significativos. Si esto es así, entonces la aplicación de modelos de volatilidad es apropiada y justificada. El resultado de la prueba se observa en la tabla 2.
Rechazamos H0 y se comprueban que existen los efectos ARCH en los rendimientos de RCL.
Modelos ARCH [6]
El primer modelo que se va a implementar es un ARCH 1:
El resultado que nos arroja es:
La volatilidad de RCL se explica en un 84.80% por la volatilidad o rendimientos de un día anterior. En el caso de ω que representa básicamente el intercepto de la ecuación de la varianza, es 0 y esto es lógico ya que se están modelando los rendimientos, aunado al efecto de reversión a la media.
La caracterización o modelación de la varianza con el ARCH(1) seria:
El resultado que nos arroja es:
La volatilidad de RCL se explica en un 31.60% por la volatilidad o rendimientos de un día anterior y en un 45.89% por la volatilidad de hace dos días. El modelo ARCH(2) captura el 77% de la volatilidad de RCL.
La caracterización o modelación de la varianza con el ARCH(2) seria:
El resultado que nos arroja es:
La volatilidad de RCL se explica en un 20.72% por la volatilidad o rendimientos de un día anterior y en un 35.48% por la volatilidad de hace dos días y en un 8.91% por la volatilidad de hace tres días. El modelo ARCH(3) captura el65 % de la volatilidad de RCL.
La caracterización o modelación de la varianza con el ARCH(3) seria:
Como podemos ver, hasta el momento los modelos ARCH(1), ARCH(2) y ARCH(3) cumplen con todas las condiciones:
- La sumatoria de los parámetros es menor a 1
- Son significativos
- No son negativos
El resultado que nos arroja es:
La volatilidad de RCL se explica en un 15.72% por la volatilidad o rendimientos de un día anterior, en un 23.46% por la volatilidad de hace dos días, en un 7.95% por la volatilidad de hace tres días y en un 17.63% por la volatilidad de cuatro días. El modelo ARCH(4) captura 64% de la volatilidad de RCL.
La caracterización o modelación de la varianza con el ARCH(4) seria:
El problema que tiene el modelo ARCH(4) es que, a pesar de que la sumatoria de los parámetros sigue siendo = 1, el parámetro del ARCH 4 no es significativo, además, conforme se incluyen más rezagos en el componente ARCH, se están metiendo más varianza , el modelo se hace menos parsimonioso y esto puede llevar a problemas de sobreajuste.
Modelos GARCH [6]
El primer modelo que se va a implementar es un GARCH(1,1):
El resultado que nos arroja es:
La volatilidad de RCL, que aquí la vamos a nombrar varianza condicional, se explica en un 11.08% por la volatilidad de un día anterior y en un 84.56% por la varianza ajustada de un periodo. ¿Por qué varianza condicional? Porque la volatilidad o los rendimientos de RCL están condicionados con la varianza rezagada, es decir, depende del tiempo.
La caracterización o modelación de la varianza con el GARCH(1,1)seria:
El resultado que nos arroja es:
La varianza condicional se explica en un 11.08% por la volatilidad de un día anterior, en un 78.90% por la varianza ajustada de un periodo y en un 5.04% por la varianza ajustada rezagada 2 periodos.
La caracterización o modelación de la varianza con el GARCH(1,2)seria:
El resultado que nos arroja es:
La varianza condicional se explica en un 10.98% por la volatilidad de un día anterior y en un 84.73% por la varianza ajustada rezagada 1 periodo. Sin embargo, el componente ARCH(2) no es significativo.
La caracterización o modelación de la varianza con el GARCH(2,1)seria:
El resultado que nos arroja es:
La varianza condicional se explica en un 11.54% por la volatilidad de un día anterior y en un 0.0007% por la volatilidad de dos días (aunque en los resultados asociados al valor p, el componente ARCH(2) no es significativo); también se explica en un 79.07% por la varianza ajustada rezagada 1 periodo y en un 4.96% por la varianza ajustada de dos periodos.
La caracterización o modelación de la varianza con el GARCH(2,2)seria:
Selección de modelo y simulación de los rendimientos [6]
Para elegir el mejor modelo, se presentan los resultados de los parámetros obtenidos de todas las especificaciones ARCH y GARCH, así como el criterio de información de Akaike y el criterio bayesiano de Schwarz de los mismos.
Se elige el ARCH(4) y el GARCH(1,2) como los mejores modelos, esto de acuerdo con los criterios de información (valor mínimo de pruebas AKAIKE y BAYES) de cada familia para simular los rendimientos de RCL a partir de los parámetros obtenidos.
Conclusión
Ahora con este trabajo explicado, basado en teoría econométrica, entendemos con una mejor claridad el comportamiento de los modelos ARCH y GARCH, ya que estos permiten explicar la volatilidad de los activos financieros a partir de la varianza condicional o varianza rezagada, que, para este caso sería la emisora estudiada Royal Caribbean International.
Vimos que el componente ARCH que nos indica la estructura de dependencia con los rendimientos o volatilidad pasada para explicar el activo y este a su vez permitió observar la dependencia (efectos de memoria) que tiene Royal Caribbean International, por el lado del componente GARCH explica la varianza ajustada del modelo para la emisora. Se propone que el mejor modelo que nos muestra de una forma más exacta cómo se comporta la volatilidad de Royal Caribbean International. Este sería ARCH(4) y GARCH(1,2), tomando en cuenta lo que se menciona en ese punto.
Tomando en cuenta la gráfica de los rendimientos vemos que Royal Caribbean International no tiene tantos casos de volatilidad, se puede decir que se mantiene en una tendencia lineal, los casos donde este fenómeno seria cuando la empresa enfrenta críticas por medio de los clientes, la cancelación o suspensión de contrato con sus fábricas de materias primas y no se diga con el tema de la pandemia que es donde más margen de afectación le dio al sector turístico, por ende la empresa se ve presionada al no tener ingresos por medio de la venta de sus paquetes de servicios. De ahí el préstamo que se le dio que ayudo a solventar e impulsar los rendimientos como mostré en la dicha grafica. Muchos especulan que comprar acciones que están en lo más bajo del precio estándar es un beneficio para el largo plazo, ya que pasando esta pandemia lo primero que hará el mundo es buscar salir después de su confinamiento en el hogar.
Referencias
[1] CNN. (2020). Judicial. Obtenido de: https://cnnespanol.cnn.com/2020/01/24/familia-de-la-bebe-que-cayo-al-mar-en-un-crucero-dice-que-royal-caribbean-propoRCLono-una-narrativa-falsa/
[2] PortalPortuario. (2020). PortalCruceros. Obtenido de: https://portalportuario.cl/royal-caribbean-cruises-obtiene-prestamo-de-usd-22-billones-para-enfrentar-efectos-del-covid-19/
[3] Engle, Robert (1982). Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance in the United Kingdom. Econométrica, 50(4), 987-1008. Disponible en: http://www.econ.uiuc.edu/~econ536/Papers/engle82.pdf
[4] Tim, Bollerslev (1986). Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31, 307-327. Disponible en: https://public.econ.duke.edu/~boller/Published_Papers/joe_86.pdf
[5] Taylor, Stephen (1986). Modelling financial time series, John Wiley & Sons, Chichester.
[6] Información por parte de la Dra. Ana Lorena Jiménez Preciado