Probabilidad es el lenguaje matematico para cuantificar la incertidumbre. Wasserman
El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de reslutados de un experimento aleatorio.
e.g. Si lanzamos una moneda dos veces entonces:
\[ \Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \] Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayúsculas.
e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila.
\[ A = \{AA, AS\} \] ## Eventos Equiprobables
La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo.
e.g. En la carrera de Ing. quimica hay 300 hombres y 700 mujeres, la proporción de hombres es:
\[ \frac{300}{700+300}=0.3 \]
Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:
\[ P(A) = \frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \]
Por lo que hace falta contar
e.g. Combinaciones
Un comite de 5 personas sera seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?
Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.
Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:
\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] y la función para calcular las combinaciones es choose(n, r)
{r} choose (6, 3) * choose(9, 2) / choose (15, 5)
Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.
{r} Lanzamientos_10 <- sample(c(“A”, “S”),10, replace = TRUE) Lanzamientos_10
Podemos calcular las secuencia de frecuencias relativas de águila:
{r} cumsum(Lanzamientos_10 == “A”) # suma acumulada de águilas
Dividiendo {r} round(cumsum(Lanzamientos_10 == “A”) / 1:10, 2 )
##Distribuciones de probabilidad
**Funciones en R
En R, cada distribución de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. Las palabras clave para las distribuciones más importantes son:
Distribución Alias Distribución normal norm Distribución binomial binom Distribución exponencial exp Distribución t de student t Distribución chi cuadrada chisq *Distribución F F
\[ \begin{array}{l|l|l|c} \text{Función} & \text{Significado} & \text{Uso}& \text{Observación}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades puntuales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end{array} \]
Distribución Exponencial
curve(dexp(x), from=0, to=10)
#representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10 Distribución binomial x <- rbinom(20, 1, 0.5) x
#Genera 20 observaciones con distribución B(1,0.5)
Contando éxitos vs fracasos
table(x)
e.g. Distribución normal
si X es una variable aletoria, con distribución normal de media 3, y du desviación típica es de 0.5, la probabilidad de que X sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:
pnorm(3.5, mean=3, sd=0.5)
qnorm(0.7)
qnorm(0.7, sd=0.5)
El valor zα que aparece en muchas de las fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:
qnorm(0.975)
Para generar una muestra de tamaño 100 de una población normal de media 10 y desviación típica 1 (y guardarla en un vector x): x <- rnorm(100, mean=10, sd=1 ) x
Para estimar el promedio de x mean(x)
Histograma de frecuencias hist(x)
Gráfico de cajas y bigote boxplot(x)
Ejercicios
Si Z es una variable con distribución normal estándar, calcula P(−2.34<Z<4.78).
Calcula el rango intercuartílico de una población normal estándar.
Genera una muestra de tamaño 10 de una población normal estándar. ¿Cuál es la diferencia entre la media muestral y la poblacional? Repite el ejercicio 3 veces y anota las 3 diferencias.
Genera 1000 números con distribución de Poisson de parámetro λ=1. Representa el gráfico de barras de los números obtenidos. Calcula la media y la varianza de los números obtenidos. ¿Se parecen a los valores teóricos?