metodos numericos

Metodos numericos:
1. Metodo del punto fijo: \[ e^{-x}-x=0\\ e^{-x}=x \]

k	x
0	1
1	0.36787
2	0.96220
3	0.50047
4	0.60624
5	0.54539
6	0.57961

\[ e^{-x}-x=0\ \simeq \ 0\\ e^{-0.57961}-0.57961\simeq 0 \\ 3*10^{-3} \]

punto_fijo=function(g,x0,tol,it){
  k=1
  repeat{
    x1=g(x0)
    dx= abs(x1-x0)
    x0=x1
    cat("x_",k,"=",x1,"\n")
    k=k+1
    if(dx<tol || k>it) break;
    
  }
  if(dx>tol){cat("No hubo convergencia")}
  else{cat("x* es aproximadamente",x1,"con error menor que",tol)}
}

g= function(x) 3/(x-2)
punto_fijo(g,4,0.01,9)

## x_ 1 = 1.5 
## x_ 2 = -6 
## x_ 3 = -0.375 
## x_ 4 = -1.263158 
## x_ 5 = -0.9193548 
## x_ 6 = -1.027624 
## x_ 7 = -0.9908759 
## x_ 8 = -1.003051 
## x_ 9 = -0.9989842 
## x* es aproximadamente -0.9989842 con error menor que 0.01

f=function(x) sqrt(exp(x)/3)
punto_fijo(f,0,0.001,12)

## x_ 1 = 0.5773503 
## x_ 2 = 0.7705652 
## x_ 3 = 0.848722 
## x_ 4 = 0.8825453 
## x_ 5 = 0.8975975 
## x_ 6 = 0.9043784 
## x_ 7 = 0.9074499 
## x_ 8 = 0.9088446 
## x_ 9 = 0.9094786 
## x* es aproximadamente 0.9094786 con error menor que 0.001

f=function(x) sin(sqrt(x))
punto_fijo(f,0.5,0.001,12)

## x_ 1 = 0.6496369 
## x_ 2 = 0.7215238 
## x_ 3 = 0.7509012 
## x_ 4 = 0.7620969 
## x_ 5 = 0.7662481 
## x_ 6 = 0.7677717 
## x_ 7 = 0.7683287 
## x* es aproximadamente 0.7683287 con error menor que 0.001

f= function(x) exp(-x)
punto_fijo(f,0,0,10)

## x_ 1 = 1 
## x_ 2 = 0.3678794 
## x_ 3 = 0.6922006 
## x_ 4 = 0.5004735 
## x_ 5 = 0.6062435 
## x_ 6 = 0.5453958 
## x_ 7 = 0.5796123 
## x_ 8 = 0.5601155 
## x_ 9 = 0.5711431 
## x_ 10 = 0.5648793 
## No hubo convergencia