“Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar incertidumbre.” -Wasserman
Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
Interpretación frecuentista de probabilidad.
Probabilidad condicional y su relación con independencia.
La regla de Bayes.
El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.
Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces entonces:
\[ \Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \] Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:
Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por letras mayúsculas.
El evento: que el primer lanzamiento resulte águila es
\[ A = \{AA, AS\} \]>
Eventos Equiprobables
La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo. Si en la carrera de química tenemos:
la proporción de hombres es:
\[ \frac{300}{700+300}=0.3\ \] Ahora, supongamos que elegimos un estudiante al azar, la probabilidad de elegir una mujer es 0.7.
En el ejemplo hay un supuesto implícito en elegir al azar (o aleatoria mente), en este caso estamos suponiendo que todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser elegidos, que nos lleva al siguiente concepto:
Eventos equiprobables. Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:
\[ P(A)= \frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \]
Por lo que hace falta contar. e.g La probabilidad de obtener AA si lanzamos una moneda 2 veces es de 1/4 que tambien es e 0.25 o 25% y la probabilidad del evento que el primer lanzamiento resulte aguila es de 2/4 = 0.5 O 50%
Si lanzamos dos dados y sumamos los numeros obtenidos Cual es la probabilidad de que la suma de los numeros sea 5? Cual es la probabilidad de que el segundo numero sea mayor que el primero? Repite las preguntas anteriores cuando lanzas 2 dados de 8 caras
Ejemplo: combinaciones
Un comité de 5 personas sera seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria. Cual es la probabilidad de que el comite este conformado or 3 hombres y 2 mujeres?
Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comites, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.
Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3}\dbinom{9}{2}\) posibles comites que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es: \[ \frac{\dbinom{6}{3}\dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] La funcion para calcular las combinaciones en R (random) es choose (n,r)
choose (6, 3) * choose(9, 2) / choose (15, 5)
Las probabilidades se entiende como una aproximacion matematica de **Frecuencia *relativas** cuando la frecuencia total tiende a infinito.
Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos:
lanzamientos_10 <- sample(c(“A”, “S”),10, replace=TRUE)
para calcular la secuencia de frecuencia relativas de aguila
cumsum(lanzamientos_10 == “A”) suma acumulada de aguilas
round(cumsum(lanzamientos_10== “A”) / 1:10, 2)
Distribucion Alias Distribucion normal norm Distribucion binomial binom Distribucion poisson pois Distribucion exponencial exp Distribucion t de student t Distribucion chi cuadrada chisq Distribucion f f
prefijos Funciones prefijos Funcion de distribucion p Funcion cuantilica q Funcion de densidad d Generacion aleatoria r
dexp= funcion de densidad de distribucion exponencial
Silanzamos dos dados y sumamos los numeros obtenidos * ¿Cual es la probabilidad de que la suma de los numeros sea 5?
\[\Omega = \{36\} \] \[\Omega = \{4\} \] \[\frac{4}{6} = 0.1111\ \]
\[\Omega = \{36\} \] \[\Omega = \{15\} \] \[\frac{36}{15} = 0.43\ \]
Repite las preguntas anteriores cuando lanzas 2 dados de 8 caras.
¿Cual es la probabilidad de que la suma de los numeros sea 5?
\[\Omega = \{64\} \] \[\Omega = \{4\} \] \[\frac{36}{15} = 0.0625\ \] * ¿Cual es la probabilidad de que el segundo numero sea mayor que el primero?
\[\Omega = \{64\} \] \[\Omega = \{28\} \] \[\frac{28}{64} = 0.4375\ \]