Variables aleatorias discretas

Descripción

Determinar distribución de la probabilidad para variables aleatorias discertas, generar tabla de distribución y visualizar gráficas de barra y acumulada, determinar estadísticos: media, variaza y desviación así como realizar cálculos de probabilidad.

Caso

En Estados Unidos 38% de los niños de cuarto grado no pueden leer un libro adecuado a su edad.

La tabla siguiente muestra, de acuerdo con las edades, el número de niños que tienen problemas de lectura. La mayoría de estos niños tienen problemas de lectura que debieron ser detectados y corregidos antes del tercer grado.

Edad Número de niños 6 37369 7 87436 8 160840 9 239719 10 286719 11 306533 12 310787 13 302604 14 289168

Si desea tomar una muestra de niños que tienen problemas de lectura para que participen en un programa que mejora las habilidades de lectura. Sea x la variable aleatoria que indica la edad de un niño tomado en forma aleatoria.

Con estos datos elabore una distribución de probabilidad para x. Especifique los valores de la variable aleatoria y los correspondientes valores de la función de probabilidad p(x)

Objetivos

Identificar los valores de x (variable aleatoria) y de probabilidad de x en la tabla de distribución mediante fecuencia relativa desde 6 hasta 14 ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra identifique a niños de 4,5 años?

Cálculo de probabilidades

#library(gtools) # Para combinations() y permutations()
library(knitr)  # Para kable()
## Warning: package 'knitr' was built under R version 3.6.3
  1. Identificar los valores de x (variable aleatoria) y de probabilidad de x en la tabla de distribución mediante fecuencia relativa desde 6 hasta 14
x <- c(6,7,8,9,10,11,12,13,14)
ninios <- c(37369, 87436, 160840, 239719, 286719, 306533, 310787, 302604, 289168)
n = sum(ninios)

prob.x <- ninios/ n

x
## [1]  6  7  8  9 10 11 12 13 14
prob.x
## [1] 0.01848875 0.04325998 0.07957747 0.11860378 0.14185758 0.15166079 0.15376551
## [8] 0.14971687 0.14306925
  1. Determinar valor esperado ∑xp(x)
v.e <- sum(x * prob.x)
v.e
## [1] 10.99913
  1. Determinar la probabilidad acumulada F(X) de x (6 a 14) El valor de la posición de un vetor en R empieza en 1 El valor de la variable aleatoria empieza en 6

Entonces será la posición 1 del vector prob.acum.x será para el valor de la variable x=6

La posición 9 del vector prob.acum.x será para el valor de la variable x=14

prob.acum.x <- c(sum(prob.x[1]), sum(prob.x[1:2]), sum(prob.x[1:3]),
                 sum(prob.x[1:4]), sum(prob.x[1:5]), sum(prob.x[1:6]),
                 sum(prob.x[1:7]), sum(prob.x[1:8]), sum(prob.x[1:9]))
prob.acum.x
## [1] 0.01848875 0.06174874 0.14132621 0.25992999 0.40178757 0.55344837 0.70721387
## [8] 0.85693075 1.00000000
  1. Determinar y visualizar la tabla de distribución de probabilidad con columnas de x, p(x), F(x) o probabilidad acumulada o función de la distribución acumulativa, xp(x), (x−μ)2, (x−μ)2p(x)

x p(x) F(x) xp(x) (x−μ)2) (x−μ)2p(x)

tabla <- data.frame(1:9, x, prob.x, prob.acum.x, x * prob.x, (x - v.e) ^ 2, (x - v.e) ^ 2 * prob.x)

colnames(tabla) <- c("pos","x", "prob.x", "prob.acum.x", "x.prob.x", "x-v.e^2", "x-v.e^2prob.x")

kable(tabla)
pos x prob.x prob.acum.x x.prob.x x-v.e^2 x-v.e^2prob.x
1 6 0.0184888 0.0184888 0.1109325 24.9912583 0.4620571
2 7 0.0432600 0.0617487 0.3028199 15.9930068 0.6918572
3 8 0.0795775 0.1413262 0.6366198 8.9947553 0.7157799
4 9 0.1186038 0.2599300 1.0674340 3.9965038 0.4740005
5 10 0.1418576 0.4017876 1.4185758 0.9982523 0.1416097
6 11 0.1516608 0.5534484 1.6682687 0.0000008 0.0000001
7 12 0.1537655 0.7072139 1.8451861 1.0017493 0.1540345
8 13 0.1497169 0.8569307 1.9463193 4.0034977 0.5993912
9 14 0.1430693 1.0000000 2.0029696 9.0052462 1.2883739
  1. Visualizar la gráfica de barra de la variable aleatoria x con respecto a su probabilidad
barplot(height = tabla$prob.x, names.arg = tabla$x)

6. Visualizar la gráfica de la probabilidad acumulada F(x)

plot(x,prob.acum.x, type = 'b')

7. Determinar varianza σ2=∑(x−μ)2p(x)

var <- sum((x - v.e) ^ 2 * prob.x)
var
## [1] 4.527104
  1. Determinar desviación std σ=√σ2
desv.std <- sqrt(var)
desv.std
## [1] 2.127699
  1. ¿Cual es la probabilidad para seleccionar un niño de siete años o menor? p(x≤7)
    entonces:

∑p(x=6),p(x=7)=p(6)+p(7)
F(x=7)

i=5 # o sea min(tabla$) - 1  
#
i = min(tabla$x) - 1 # Todas las filas y/o vectores en R empiezan en 1
i
## [1] 5
tabla$prob.acum.x[7-i]
## [1] 0.06174874
cat(tabla$prob.acum.x[7-i] * 100,"%")
## 6.174874 %
  1. ¿Cuál es la probabilidad para seleccionar un niño de más de ocho años ? p(x>8)

igual a:

1−p(x≤8)

entonces:

1−(∑p(x=6),p(x=7),p(x=8))=1−(p(6)+p(7)+p(8))
igual a:

1−F(x=8)

tabla$prob.acum.x[8-i]
## [1] 0.1413262
  1. ¿Cuál es la probabilidad para seleccionar un niño entre nueve y once años? p(9≤x≤11)
    igual:

p(x≤11)−p(x≤8)

entonces:

p(x≤11)=∑p(6),p(7)…p(11)=p(6)+p(7)+p(8)+p(9)+p(10)+p(11)

p(x≤8)=∑p(6),p(7)…p(8)=p(6)+p(7)+p(8)

de tal forma que:

F(11)−F(8)

tabla$prob.acum.x[11-i] - tabla$prob.acum.x[8-i]
## [1] 0.4121222
  1. ¿Cuál es la probabilida de seleccionar un niño menor que once años? Demostrar que es 0.4017876
tabla$prob.acum.x[10-i] 
## [1] 0.4017876
  1. ¿Cuál es la probabildiad de seleccionar un niño de exactamente la edad de nueve? Demostrar que es 0.2599300
tabla$prob.acum.x[9-i] 
## [1] 0.25993