“Probabilidad es el lenguaje matematico para cuantificar incentidumbre” -Wasserman
Terminologia de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
Interpretacion frecuancista de probabilidad
Probabilidad condicional y su relacion con independencia
La regla de Bayes.
El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.
Ejemplo: si lanzamos una moneda dos veces entonces:
\[ \Omega = \{AA, AS, SA, SS\} \] Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:
Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por letras mayusculas.
El evento: que el primer lanzamiento resulte aguila es
\[ A = \{AA, AS\} \]>
Eventos Equiprobables
La probabilidad se puede ver como una extension de la idea de produccion, o cociente de una parte con respecto a un todo. Si en la carrera de quimica tenemos:
La proporcion de hombre es:
\[ \frac{300}{700+300}=0.3 \] Ahora, supongamos que elegimos un estudiante al azar, la probabilidad de elegir una mujer es 0.7.
En el ejemplo hay un supuesto implícito en elegir al azar (o aleatoria mente), en este caso estamos suponiendo que todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser elegidos, que nos lleva al siguiente concepto:
Eventos equiprobables. Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:
\[ P(A) = \frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \]
Por lo que hace falta contar.
e.g. La probabilidad de obtener AA si lanzamos una moneda 2 veces es de 1/4 que tambien es 0.25 ó 25%, y la probabilidad del evento que la primer lanzamientos resulte aguila es de 2/4 = 0.5 ó 50%
A continuación presentamos todos los sucesos que pueden ocurrir al lanzar dos dados y el valor que para cada uno de estos sucesos tiene la variable suma:
\[\mathbf{\Omega} = \left[\begin{array} {rrr} (1,1) 2& (2,1) 3& (3,1) 4& (4,1) 5& (5,1) 6& (6,1) 7 \\ (1,2) 3& (2,2) 4& (3,2) 5& (4,2) 6& (5,2) 7& (6,2) 8 \\ (1,3) 4& (2,3) 5& (3,3) 6& (4,3) 7& (5,3) 8& (6,3) 9 \\ (1,4) 5& (2,4) 6& (3,4) 7& (4,4) 8& (5,4) 9& (6,4) 10 \\ (1,5) 6& (2,5) 7& (3,5) 8& (4,5) 9& (5,5) 10& (6,5) 11 \\ (1,6) 7& (2,6) 8& (3,6) 9& (4,6) 10& (5,6) 11& (6,6) 12 \end{array}\right]\]
\[ A = \{(1,4);(2,3);(3,2);(4,1)\} \] La probabilidad de que la suma sea 5 es: 0.11 \[ P(A)= \frac{4}{36}=0.11 \] * ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo número sea mayor que el primero?
\[ A = \{(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);(3,4);(3,5);(3,6);(4,5);(4,6);(5,6)\} \] La probabilidad de que el segundo número sea mayor que el primero es: 0.42
\[ P(A)= \frac{15}{36}=0.42 \]
¿Repetir las preguntas anteriores cuando lanzas 2 dados de 8 caras. A continuación presentamos todos los sucesos que pueden ocurrir al lanzar dos dados de 8 caras y el valor que para cada uno de estos sucesos tiene la variable suma:*
\[\mathbf{\Omega} = \left[\begin{array} {rrr} (1,1) 2& (2,1) 3& (3,1) 4& (4,1) 5& (5,1) 6& (6,1) 7& (7,1) 8& (8,1) 9\\ (1,2) 3& (2,2) 4& (3,2) 5& (4,2) 6& (5,2) 7& (6,2) 8& (7,2) 9& (8,2) 10\\ (1,3) 4& (2,3) 5& (3,3) 6& (4,3) 7& (5,3) 8& (6,3) 9& (7,3) 10& (8,3) 11\\ (1,4) 5& (2,4) 6& (3,4) 7& (4,4) 8& (5,4) 9& (6,4) 10& (7,4) 11& (8,4) 12\\ (1,5) 6& (2,5) 7& (3,5) 8& (4,5) 9& (5,5) 10& (6,5) 11& (7,5) 12& (8,5) 13\\ (1,6) 7& (2,6) 8& (3,6) 9& (4,6) 10& (5,6) 11& (6,6) 12& (7,6) 13& (8,6) 14\\ (1,7) 8& (2,7) 9& (3,7) 10& (4,7) 11& (5,7) 12& (6,7) 13& (7,7) 14& (8,7) 15\\ (1,8) 9& (2,8)10& (3,8) 11& (4,8) 12& (5,8) 13& (6,8) 14& (7,8) 15& (8,8) 16 \end{array}\right]\]
\[ A = \{(1,4);(2,3);(3,2);(4,1)\} \]
La probabilidad de que la suma sea 5 es: 0.06
\[ P(A)= \frac{4}{64}=0.06 \]
\[ A = \{(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);(1,7);(1,8);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);(2,7);(2,8);(3,4);(3,5);(3,6);(3,7);(3,8);(4,5);(4,6);(4,7);(4,8);(5,6);(5,7);(5,8);(6,7);(6,8);(7,8)\} \]
La probabilidad de que el segundo número sea mayor que el primero es: 0.44
\[ P(A)= \frac{28}{64}=0.44 \]
Ejemplo: Combinaciones
Un comite de 5 personas sera seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?
Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.
Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:
\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]
la función para calcular las combinaciones en R (random) es choose(n, r)
choose (6, 3) * choose(9, 2) / choose (15, 5)
Las probabilidades se entienden como una aproximación matemáticas de frecuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a infinito.
supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos:
Lanzamientos_10 <- sample(c(“A”, “S”), 10, replace=TRUE)
para calcular la secuencia de frecunacias relativas de águila
cumsum(Lanzamientos_10 == “A”) suma acumulada de águilas
round(cumsum(Lanzamientos_10 == “A”) / 1:10, 2 )
Distribución Alias Distribución normal norm Distribución binomial binom Distribución exponencial exp Distribución t de student t Distribución chi cuadrada chisq Distribución F F
Prefijos Funciones Prefijos Función de distribución p Función cuantílica q Función de densidad d Generación aleatoria r