O log ratio aplicado em surtos epidêmicos

O log ratio das novas mortes é calculado como o log da diferença entre as mortes no dia X e as mortes no dia (X-1).

\[log ratio = log(\frac{a_x}{a_{x-1}}) = log(a_x) - log(a_{x-1})\]

Para entender melhor, vou simular alguns dados. Vou colocar uma curva sigmoide para representar o total acumulado de mortes num surto que passou por um crescimento exponencial, e então estacionou, terminando o surto.

Vou usar a seguinte fórmula para a curva sigmoide:

\[ f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}\]

Quando computamos a diferença entre o acumulado entre o dia X e o dia X-1, obtemos a curva de mortes diárias:

Agora, quando computamos a diferença entre o log do acumulado entre o dia X e o dia X-1, obtemos o log ratio dessa relação, apresentado na figura a seguir.

O log ratio traz uma informação referente à aceleração do crescimento exponencial. Num surto comum, conforme o simulado neste exercício, essa curva apresenta uma forma sigmoide, semelhante à curva de mortes acumuladas, mas de forma espelhada, tendendo a zero.

O log_ratio informa implicitamente duas informações interessantes: o tempo de duplicação do número de mortes e o percentual de aumento no número de mortes.

\[Duplicação = \frac{log(2)}{logratio}\] \[Percentual = 100(e^{logratio}-1)\]