Minicurso de Renda Fixa
Liga do Mercado Financeiro - 2020
Prof. Dr. Julio Fernando Costa Santos
1º Semestre de 2020 (Atualizado: 2020-07-14)
Seminários Virtuais - IERI UFU - 2020
Mercado de Renda Fixa
- Mercado de Títulos Privados
- Caderneta de Poupança
- Certificado/Recibo de Depósitos Bancários (CDB, RDB)
- Letra de Crédito Imobiliário/Agronegócio (LCI, LCA)
- Certificado de Recebíveis Imobiliários/Agronegócios (CRI, CRA)
- Outros Títulos (Debêntures, commercial paper)
- Mercado de Títulos Públicos
- Títulos Públicos Nacionais
- Letra do Tesouro Nacional - LTN
- Letra Financeira do Tesouro - LFT
- Nota do Tesouro Nacional Série F - NTN-F
- Nota do Tesouro Nacional Série B - NTN-B
- Nota do Tesouro Nacional Série B Principal - NTN-B Principal
- Títulos Públicos Internacionais
Apresentando alguns Títulos/Investimentos de RF
É a forma de investimento em renda fixa mais conhecida e difundida na sociedade brasileira.
Sua criação data do período em que D.Pedro II (1861) instituiu e regulou a Caixa Econômica Federal (CEF)
- Remuneração:
- Caso 1: Se a Taxa Selic for \(\leq\) 8,5% a.a. \(\to\) TR + 70% da Taxa Selic
- Caso 2: Se a Taxa Selic for \(\geq\) 8,5% a.a. \(\to\) TR + 8,5% a.a.
Risco: Cobertura de até R$250.000,00 por CPF no FGC.
Rendimento da Caderneta de Poupança
Rendimento Nominal da Caderneta de Poupança e seus Indexadores
Acumulação em 12 meses: \([\prod_{t=1}^{t-11}(1+i_t)]-1\)
onde \(\prod\) é o produtório entre os períodos \(t=1\) e \(t-11\), \(i_t\) é o rendimento nominal mensal da aplicação.
Rendimento da Caderneta de Poupança
Rendimento Real (ex post) da Caderneta de Poupança e seus Indexadores.
Para deflacionar, utilizamos a equação de Fisher nos dados mensais: \(r_t=[(1+i_t)/(1+\pi_t)]-1\) e acumulamos em 12 meses.
Aplicações em CDB e RDB
O Certificado de Depósito Bancário (CDB) são títulos emitidos pelos bancos como forma de captação de recursos com o objetivo de financiar suas atividades. Em outras palavras, é um empréstimo do investidor ao banco.
Pode ser remunerado da seguinte forma:
Pós-Fixado. Um valor % do CDI (ex.: 110% do CDI)
Prefixado. Taxa conhecida na aplicação. (ex.: 5% a.a.)
Híbrido . Taxa pré-fixada + correção por um Índice de Preços (ex.: IGP-M, IPCA).
Garantias: Possibilidade de FGC (dependendo do Banco Emissor).
Aplicações em CDB e RDB (Continuação)
Emissor: Banco. Liquidez restrita no mercado secundário.
Tributação: - IOF regressivo nos primeiros 30 dias (indo de 100% a 0%). - IR para pessoa física no rendimento:
| 22,5% |
180d |
| 20,0% |
181d a 360d |
| 17,5% |
361 a 720d |
| 15,0% |
+721d |
\(\neq\) entre os dois: o CDB pode transferir e RDB não.
Aplicações em CDB e RDB
- Exemplos de CDBs pós-fixados disponíveis para investimento na corretora RICO (Grupo XP) no dia 29/06/2020.
Aplicações em CDB e RDB
- Exemplos de CDBs pré-fixados disponíveis para investimento na corretora RICO (Grupo XP) no dia 29/06/2020.
Aplicações em LCI e LCA
- Letra de Crédito do Agronegócio (LCA) e Imobiliário (LCI)
A Letra de Crédito do Agronegócio (LCA) é um título de crédito nominativo, de livre negociação, representativo de promessa de pagamento em dinheiro emitido com base em lastro de recebíveis originados de negócios entre produtores rurais, ou suas cooperativas, e terceiros, inclusive financiamentos ou empréstimos relacionados com a produção, comercialização, beneficiamento ou industrialização de produtos ou insumos agropecuários ou de máquinas e implementos utilizados na produção agropecuária.
A Letra de Crédito Imobiliário (LCI) é similar, só que o crédito é concedido no setor imobiliário.
Em outras palavras, a LCA (ou LCI) pode ser entendida como um empréstimo que o investidor faz a uma instituição financeira pública ou privada – que fomenta o agronegócio (ou ramo imobiliário) – e, para tanto, recebe uma remuneração, que pode ser: a) um percentual do CDI; b) uma taxa prefixada ou; c) inflação mais juros prefixados.
Emissor: Financeiras (geralmente bancos).
Riscos: Pode ser garantido pelo FGC.
IR: Isento
Aplicações em LCI e LCA
- Exemplos de LCAs disponíveis para investimento na corretora RICO (Grupo XP) no dia 29/06/2020.
Aplicações em CRI e CRA
O Certificado de Recebíveis do Agronegócio (CRA) e Imobiliários (CRI) são títulos vinculados a direitos creditórios originários de negócios realizados por produtores rurais, cooperativas (e imóveis, no caso de CRI).
Pode ser remunerado da seguinte forma: % do CDI, CDI + Spread, Índice de Preços (ex.: IGP-M, IPCA) ou prefixado.
Garantias: Possibilidade de alienação da terra/propriedade e penhora da produção; Não coberto pelo FGC.
Emissor: Companhias Securitizadoras.
Tributação: Isenção de IR e IOF para pessoa física no rendimento; ganhos de capital auferidos na alienação ou cessão dos ativos são isentos de IR para Pessoa Física (Instrução 1585); Liquidez restrita no mercado secundário; Destinado exclusivamente a investidores qualificados e profissionais;
Aplicações em CRI e CRA
- Exemplos de CRAs disponíveis para investimento na corretora RICO (Grupo XP) no dia 29/06/2020.
Indexação: Selic Over e CDI
A taxa média diária do CDI de um dia é utilizada como referencial para o custo do dinheiro (juros). A Taxa CDI mais amplamente adotada no mercado é a DI-Over, publicada pela CETIP. Ela é calculada como a média das operações transacionadas num único dia, desconsiderando as operações dentro de um mesmo grupo financeiro. Portanto, essa é a nossa referência de taxa curta no mercado de títulos privados.
A taxa Selic Over é a taxa obtida através da média ponderada de todas as transações diárias e interbancárias que são realizadas sob o lastro de títulos públicos. Ela é a taxa básica de juros utilizada no mercado interbancário para financiamento de operações com duração diária, lastreadas em títulos públicos federais. Portanto, essa é a nossa referência de taxa curta no mercado de títulos públicos.
Há diferença significativa entre elas?
Indexação: Selic Over e CDI
Indexação: Selic Over e CDI
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Dependent variable:
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CDI
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Poupanca
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Selic
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(1)
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(2)
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(3)
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Selic
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0.989***
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(0.001)
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IPCA
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0.113***
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0.303***
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(0.022)
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(0.056)
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Constant
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0.073***
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0.005***
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0.009***
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(0.017)
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(0.0001)
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(0.0004)
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Observations
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271
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246
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246
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R2
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1.000
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0.095
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0.107
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Adjusted R2
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1.000
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0.091
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0.103
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Residual Std. Error
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0.119 (df = 269)
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0.001 (df = 244)
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0.003 (df = 244)
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F Statistic
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859,433.000*** (df = 1; 269)
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25.514*** (df = 1; 244)
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29.120*** (df = 1; 244)
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Note:
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p<0.1; p<0.05; p<0.01
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Os Títulos Públicos Brasileiros
- Títulos Pré-Fixados:
- Letra do Tesouro Nacional - LTN
- Nota do Tesouro Nacional Série F - NTN-F
- Títulos Pós-Fixados (Taxa de Juros):
- Letra Financeira do Tesouro - LFT
- Títulos Híbridos (Pré e Pós Fixados em Preço):
- Nota do Tesouro Nacional Série B - NTN-B
- Nota do Tesouro Nacional Série B Principal - NTN-B Principal
Os Títulos Públicos Brasileiros
Títulos Públicos para investir em 07/07/2020.
A Letra do Tesouro Nacional - LTN
Título Pré-fixado. Na compra já se sabe o valor monetário e a taxa nominal recebidos no vencimento.
Possui um fluxo de pagamento simples, isto é, no vencimento você recebe uma quantia já determinada (Valor de Face do Título).
Através da diferença entre o valor aplicado e o valor do vencimento que se calcula a rentabilidade e a TIR do título.
Caso o título seja vendido antecipadamente (antes da sua Maturidade), o Tesouro Nacional pagará o seu valor de mercado, de modo que a rentabilidade poderá ser diferente da que fora pactuada na data da compora, dependendo do preço do título no momento da venda. Logo, há possibilidade de perdas no resgate antecipado!
A rentabilidade pactuada na compra só é “certa” se a operação for liquidada no vencimento do título.
A Letra do Tesouro Nacional - LTN
- A trajetória de Preços e YTM da LTN com vencimento em 2023, desde o seu lançamento.
Nota do Tesouro Nacional Série F (NTN-F)
Possui fluxo de pagamento em várias datas, isto é, a cada semestre você recebe um Cupom e no vencimento você recebe o Valor de Face.
Assim como na LTN, caso o título seja vendido antecipadamente para o Tesouro Nacional, esse pagará o seu valor de mercado, de modo que a rentabilidade poderá ser maior ou menor do que a contratada na data da compra, dependendo do preço do título no momento da venda. Isso possibilita inclusive perdas!
De maneira similar à LTN, a rentabilidade definida na compra só é “certa” se a operação for liquidada no vencimento do título. Cuidado com prazos longos!
Nota do Tesouro Nacional Série F (NTN-F)
Títulos com cupom são menos sensíveis a variação da taxa de juros, \(\Delta Selic\), quando comparados à títulos de iguais características (data de liquidação, vencimento, etc) sem cupom.
O cálculo da sua rentabilidade é através da TIR do título que pode ser apresentado da seguinte maneira:
\[P_t=\sum_{i=1}^n \frac{C_i}{(1+r)^{DU_i/252}}+\frac{F}{(1+r)^{DU_i/252}}\]
Onde \(P_t\) é o preço do título, \(C_i\) é o cupom pago no período \(i\), \(DU_i\) são os dias úteis no pagamento do fluxo \(i\), \(F\) é o valor de Face do título e \(r\) é a TIR.
- Para saber o valor do Cupom, \(C_i\), precisa semestralizar a taxa anual do Cupom. A taxa anual é 10%. Para semestralizar, basta: \[(1+i_{12})=(1+i_6)^2\therefore i_6=(1+i_{12})^{1/2}-1\]
Utilizando \(i_{12}=0,1\to i_6=0,0488\). Sendo o valor de Face \(1000,00\), o cupom é: \(C_i=\alpha.F=0.0488\times1000=48,80\).
A Letra Financeira do Tesouro (LFT) - Tesouro Selic
O Tesouro Selic (LFT) é um título pós‐fixado, cuja rentabilidade segue a variação da taxa SELIC. Sua remuneração é dada pela variação da taxa SELIC diária registrada entre a data de liquidação da compra e a data de vencimento do título, acrescida, se houver, de ágio ou deságio no momento da compra.
O Tesouro Selic (LFT) possui fluxo de pagamento simples, ou seja, o investidor faz a compra e recebe o rendimento apenas uma vez, na data de vencimento do título, junto com o valor do principal.
Aqui não fazemos uso do termo Valor de Face e sim (principal+ juros), porque ex-ante o VF não pode ser definido.
A Letra Financeira do Tesouro (LFT) - Tesouro Selic
Para entender como o ágio/deságio afeta a rentabilidade do Tesouro Selic (LFT), primeiro é necessário compreender como é feita a precificação do título.
Para precificar o Tesouro Selic (LFT), ou seja, calcular a quanto este título deve ser vendido, o Tesouro Nacional estabeleceu que uma unidade do Tesouro Selic (LFT), o que equivale a R$ 1.000,00 em 1° de julho de 2000, (chamada de data‐base). A partir de então, este valor é atualizado pela variação da taxa SELIC diária no dia em que a precificação do título é feita.
Ao valor encontrado, definido como Valor Nominal Atualizado (VNA), existe a possibilidade de se aplicar uma taxa de ágio ou deságio, de acordo com a demanda pelo Tesouro Selic (LFT) no momento, sendo, então, obtido o preço do título para venda.
A Letra Financeira do Tesouro (LFT) - Tesouro Selic
Cálculo da Rentabilidade:
\[Valor de Resgate=VNA na Liquidação \times Fator Selic\]
- Fator Selic é calculado entre a data de compra e a data véspera da data de vencimento do título.
A Letra Financeira do Tesouro (LFT) - Tesouro Selic
Nota do Tesouro Nacional Série B - (NTN-B)
Título Híbrido (Pré-fixado na Taxa e Pós-Fixado em Preços).
A Nota do Tesouro Nacional-Série B (NTN-B) é um título pós-fixado, cuja rentabilidade é composta por uma taxa anual pactuada no momento da compra mais a variação do IPCA, índice de inflação oficial do governo brasileiro, calculado pelo IBGE.
Possui fluxos periódicos de pagamento ao investidor (cupom semestral de juros), a uma taxa de 6% a.a., pagos semestralmente.
A rentabilidade é dada pela taxa anual de juros mais a variação do indexador até o vencimento.
Nota do Tesouro Nacional Série B - (NTN-B)
É um título escritural, nominativo e negociável. Na data de vencimento do título ocorre o resgate do principal investido, corrigido tanto pela taxa pactuada no momento da compra quanto pela variação do IPCA no período.
Sua rentabilidade é dada pela taxa anual de juros, que determina sua cotação, mais a variação do indexador até o vencimento, que altera o valor de seu VNA (Valor Nominal Atualizado). Além disso, semestralmente são pagos os cupons de juros, com ajuste no primeiro período de fluência, quando couber.
O primeiro cupom a ser pago contemplará a taxa integral definida para seis meses, independente da data de liquidação da compra.
Ainda em relação ao seu VNA, sua data-base é 15/07/2000, quando seu valor, por definição, foi estabelecido em R$ 1.000,00. Desde então, mensalmente tal valor é atualizado pela variação mensal do IPCA, divulgada entre os dias 10 e 15 de cada mês pelo IBGE.
Nota do Tesouro Nacional Série B - (NTN-B)
Metodologia de Cálculo do Preço: \[Preço=VNA^{proj}\times Cotação\]
O VNA deve ser o projetado para o dia da liquidação da compra, dado que o indexador ao qual o papel está vinculado somente é conhecido ex post, sendo necessário, desta forma, fazer sua projeção, da seguinte forma: \[VNA^{proj}=VNA\times (1+IPCA)^x \] onde: \(x\) é a razão entre o número de dias corridos entre a data de liquidação e o dia 15 do mês em questão e o número de dias corridos entre o dia 15 do mês seguinte e o dia 15 do mês em questão.
Parte-se do VNA calculado com dados até o mês anterior ao da liquidação da operação. \[VNA=R$1.000,00 \times Fator\Delta IPCA\] [15/07/00 e dia 15 do mês anterior]
** Dados em: http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/indicadores/precos/inpc_ipca/defaulttab.shtm
Nota do Tesouro Nacional Série B - (NTN-B)
Agora nos resta falar do fator cotação. Esse reflete o ágio/deságio do título. Sua fórmula de cálculo é dada por: \[Cotacao=\left[ \frac{(1+Cupom)^{0,5}-1}{(1+TIR)^{DU_1/252}}\right]+\left[ \frac{(1+Cupom)^{0,5}-1}{(1+TIR)^{DU_1/252}}\right]+...+\left[ \frac{(1+Cupom)^{0,5}-1}{(1+TIR)^{DU_n/252}}\right]+\left[ \frac{1}{(1+TIR)^{DU_n/252}}\right] \]
As informações sobre a taxa de cupom, a TIR e os DU com os fluxos de pagamento, são conhecidos no momento da compra.
O cálculo do cupom sempre é feito semestralizando a taxa anual e aplicando sobre o valor do VNA.
Nota do Tesouro Nacional Série B - (NTN-B)
Parte 2 - Instrumentos de Análise de Títulos de Renda Fixa
Observações da Curva Preço-Yield
Como podemos perceber, aumento na taxa básica de juros (Selic) gera queda no preço justo do título, enquanto quedas na taxa geram o seu aumento de valor. Ao fim, isso proporciona ganhos e perdas de capital no período entre o carregamento e o vencimento do título.
Em períodos em que se espera queda na taxa de juros futura, a compra de títulos pré-fixados faz com que período a frente você tenha ganho de capital devido ao aumento do preço.
Em períodos em que se espera aumento na taxa de juros futura, a compra de títulos pós-fixados faz com que período a frente você tenha esteja com ganhos de rentabilidade indexados ao movimento da taxa.
Além disso, para quem deseja operar taxa futura, há o chamado mercado de DI futuro via BMF, no qual pode-se operar compra, venda e proteger uma carteira de renda fixa atavés de procedimentos de imunização.
Propriedades da Curva Preço-Yield
Caso 1: Quando \(\alpha=r\) (título ao par). Nesse caso, temos que o preço do título é igual ao valor de Face, independentemente do prazo. Veja que ao utilizar (2.8) temos que:
\[\begin{array}{c}
P_{t}=\frac{r.F}{r}.\left[1-\frac{1}{(1+r)^{T}}\right]+\frac{F}{(1+r)^{T}}\\
\Downarrow\\
P_{t}=F.\left[1-\frac{1}{(1+r)^{T}}+\frac{1}{(1+r)^{T}}\right]=F
\end{array}\]
Caso 2: Se \(r\approx0\) (a taxa de juros é próxima de zero) e \(\alpha=0\), temos que o preço do título converge para o seu valor de face, veja:
\[\lim_{r\to0}P_{t}=+\frac{F}{(1+0)^{T}}=F\]
Aplicando o limite lateral com \(r\to0^+\), temos:
\[\lim_{r\to0^+}P_{t}=\frac{\alpha.F}{0^+}+\frac{F}{(1+0^+)^{T}}=+\infty\] Todavia, quando a taxa de juros se torna zero, o preço do título se torna indeterminado (caso o título possua cupom).
Propriedades da Curva Preço-Yield
Podemos resumir as seguintes relações:
• Se \(r>\alpha\), o título é vendido com desconto.
• Se \(r=\alpha\), o título é vendido ao par (preço = valor de face).
• Se \(r<\alpha\), o título é vendido com prêmio.
Essas definições são importantes para o entendimento do processo de convergência do título para a Maturidade, uma vez que lá todos os títulos valem o valor de Face.
• Se o título é negociado com desconto, ceteris paribus, a convergência para a maturidade se dará com no preço.
• Se o título é negociado ao par, ceteris paribus, a convergência para a maturidade se dará sem mudança no preço.
• Se o título é negociado hoje com prêmio, a convergência para a maturidade se dará com queda no preço.
Propriedades da Curva Preço-Yield
Duration de um Título
Duration é uma medida em unidade de tempo que define o tempo médio para o recebimento dos fluxos de pagamento do investimento realizado.
Seu cálculo é uma razão da dos fluxos multiplicados pelo tempo, sobre o preço do título.
A sua importância ganhará mais destaque quando falarmos da modified duration e da elasticidade preço-yield.
Veremos que quanto maior o duration de um título, maior é o risco de variação do seu preço devido a marcação a mercado.
\[D=\frac{\sum_{t=1}^{T}\frac{t.C}{\left(1+i\right)^{t}}+T.\frac{F}{\left(1+i\right)^{T}}}{P_t}\]
Onde \(D\) é o valor da duration, \(P_t\) é o valor do título, \(F\) é o valor de face do título, \(C\) o cupom recebido no período \(t\), \(T\) é o periodo final, \(i\) é a taxa de juros (yield to maturity).
Duration de um Título (Exemplo)
Exemplo. Considere um título com valor de Face seja R$1000,00, taxa de cupom de 7% e 3 anos para a maturidade. Assuma que a obrigação pague cupom anualmente e está a ser descontada a uma taxa (yield) de 8%. O valor da obrigação é:
\[P_{t}=\frac{70}{(1,08)^{1}}+\frac{70}{(1,08)^{2}}+\frac{1.070}{(1,08)^{3}}=64,81+60,01+849,40=974,23\]
Sabendo o preço, podemos calcular a duration:
\[D=\frac{\sum_{t=1}^{T}\frac{t.C}{\left(1+r\right)^{t}}+T.\frac{F}{\left(1+r\right)^{T}}}{P}=\frac{(64,81\times1)+(60,01\times2)+(849,40\times3)}{974,23}=2,8053\ (anos)\]
Modified Duration de um Título
O termo modified duration representa uma medida útil que nos fornece uma ideia do quanto varia o preço de um título após uma variação da taxa de juros. A sua expressão matemática é dada por:
\[MD\equiv\frac{\partial P}{\partial r}.\frac{1}{P}\equiv-\frac{1}{(1+r)}.D\]
onde \(MD\) é a modified duration, \(D\) é a duration e \(r\) é a taxa de juros no ponto inicial.
Demonstração. A equação do preço do título é dada por: \[P_{t}=\sum_{t=1}^{T}\frac{\alpha.F}{(1+r)^{t}}+\frac{F}{(1+r)^{T}}=\alpha.F.\sum_{t=1}^{T}(1+r)^{-t}+F.(1+r)^{-T}\]
Logo, sua derivada é:
\[\frac{\partial P_{t}}{\partial r}=-t.\alpha.F.\sum_{t=1}^{T}(1+r)^{-t-1}-T.F.(1+r)^{-T-1}\]
Que pode ser simplificada em:
\[\frac{\partial P_{t}}{\partial r}=-\frac{1}{1+r}\left[\underset{\equiv D.P_{t}}{\underbrace{\sum_{t=1}^{T}t.\frac{\alpha.F}{(1+r)^{t}}+T.\frac{F}{(1+r)^{T}}}}\right]\]
Que passando o \(P_t\) para o lado esquerdo, temos:
\[\frac{\partial P_{t}}{\partial r}.\frac{1}{P_{t}}=MD=-\frac{1}{1+r}.D\]
Elasticidade Preço-Yield (cálculo por aproximação linear)
Podemos expor a relação entre a modified duration e elasticidade preço-juros de um título da seguinte forma:
Necessitamos relembrar do cálculo básico a forma da expansão de Taylor de 2ª ordem:
\[f(x)=f(a)+f'(a).\left(x-a\right)+f''(a).\frac{\left(x-a\right)^{2}}{2}+O\]
onde \(f(x)\) é a função tendo \(x\) como variável explicativa; \(f(a)\) é o cálculo da função no ponto \(a\) (origem); \(f'(a)\) é a derivada calculada no ponto \(a\); \(f''(a)\) é a derivada segunda calculada no ponto \(a\); \(O\) é o erro de aproximação linear.
A ideia em apresentar a expansão de Taylor é mostrar que esse é uma ferramenta que nos permite utilizar a curva preço-yield para relacionar o efeito que há na função preço após variarmos ao redor de um determinado ponto.
Em termos intuitivos, a equação acima nos informa que uma função qualquer diferenciavel pode ser calculada no ponto x através do valor dessa mesma função no seu ponto a (origem) mais os termos a direita que calculam a variação até o ponto desejado.
Elasticidade Preço-Yield (cálculo por aproximação linear)
Dito isso, podemos então representar o nosso problema via expansão de Taylor da seguinte forma:
\[P\left(r+\Delta r\right)=P(r)+\frac{\partial P}{\partial r}.\Delta r+\frac{1}{2}.\frac{\partial^{2}P}{\partial r^{2}}.\Delta r^{2}+O\]
onde \(P\) é o preço do título, \(r\) é a taxa de juros na origem, \(\Delta r\) é a variação de juros, \(O\) é o erro de aproximação linear.
Dividindo ambos os lados de (4.4) por \(P(r)\) e suponto que o erro de aproximação, \(O\), seja próximo de zero, temos:
\[\frac{P\left(r+\Delta r\right)}{P(r)}\approx\frac{P(r)}{P(r)}+\frac{1}{P(r)}.\frac{\partial P}{\partial r}.\Delta r+\frac{1}{P(r)}.\frac{1}{2}.\frac{\partial^{2}P}{\partial r^{2}}.\Delta r^{2}\]
A equação anterior pode ser simplificada para:
\[\frac{\Delta P}{P}\approx\frac{1}{P(r)}.\frac{\partial P}{\partial r}.\Delta r+\frac{1}{2}.\frac{1}{P(r)}.\frac{\partial^{2}P}{\partial r^{2}}.\Delta r^{2}\]
Sabemos que \(MD\equiv-\frac{1}{P}.\frac{\partial P}{\partial r}\). O termo \(\frac{1}{P(r)}.\frac{\partial^{2}P}{\partial r^{2}}\) é chamado convexidade. Logo temos que:
\[\frac{\Delta P}{P}\approx-MD.\Delta r+\frac{1}{2}.Conv.\Delta r^{2}\]
O Efeito da Maturidade sobre Preço e Elasticidade-Juros
Analiticamente, qual o efeito do aumento da maturidade sobre o Preço, MD, Convexidade e Elasticidade Preço-YTM? Há um limite para os efeitos?
\[P_t=\frac{\alpha.F}{r}.\left[1-\frac{1}{(1+r)^T}\right]+\frac{F}{(1+r)^T}\]
- Aplicando o limite no Preço quando \(T\to\infty\), chegamos ao valor de uma Perpetuidade.
\[\lim_{T\to\infty}P_t=\frac{\alpha.F}{r}\]
- Aplicando o limite na MD quando \(T\to\infty\), chegamos ao seguinte valor:
\[MD=\frac{1}{P}.\left[ \frac{\alpha.F}{r^2}.\left(1-\frac{1}{(1+r)^T} \right)-\frac{T}{(1+r)^{T+1}}.\left(F-\frac{\alpha.F}{r} \right) \right] \]
\[\lim_{T\to\infty}MD=\frac{1}{(\alpha.F)/r}.\left[ \frac{\alpha.F}{r^2} \right]=\frac{1}{r}\]
- Aplicando o limite na Convexidade quando \(T\to\infty\), chegamos ao seguinte valor:
\[Conv=\frac{1}{P}.\left\{ \frac{1}{\left(1+r\right)^{2}}.\left[\frac{\left(T+1\right).T}{\left(1+r\right)^{T}}.\left(F-\frac{\alpha.F}{r}\right)-2.\alpha.\frac{F}{\left(1+r\right)^{(T-2)}}.\left(\frac{1}{r^{3}}+\frac{T}{\left(1+r\right).r^{2}}\right)\right]+\frac{2.\alpha.F}{r^{3}}\right\}\]
\[\lim_{T\to\infty}Conv=\frac{1}{P}.\left[\frac{1}{\left(1+r\right)^{2}}+\frac{2.\alpha.F}{r^{3}}\right]=\frac{1}{\alpha.F.\left(\frac{1}{r}+2+r\right)}+\frac{2}{r^{2}}\]
Variação do Preço ao Longo do Tempo
A variação no preço de um título de renda fixa pode ser separado nos distintos componentes que dão a sua dinâmica. De modo intuitivo, temos que:
\[r^{T\acute{\imath}tulo}=\frac{\Delta P(\Delta r)}{P(r)}+r_{c}+\frac{\Delta P(\Delta t)}{P(t)}\]
O retorno no título é dado pela soma dos efeitos - variação no preço, dada a variação na taxa de juros; - o efeito pagamento de cupons durante o tempo e; - o efeito da passagem ao longo do tempo.
Variação do Preço ao Longo do Tempo
Para o primeiro elemento, sabemos que podemos obter através de: \[\frac{\Delta P(\Delta r)}{P(r)}=-MD.\Delta r+0.5.Conv.\Delta r^{2}\], conforme apresentado na equação 5.7.
Para o segundo elemento, sabemos que o retorno oriundo do recebimento de Cupons é dado por \(C/P\). Como a cada ano, haverá o pagamento de um único cupom, temos que o retorno desse efeito é dado por:
\[r_{c}=\frac{\alpha.F}{P}.\Delta t\]
Para o terceiro elemento, temos que:
\[\small \frac{P_{t+1}-P_{t}}{P_{t}}=\frac{1}{P_{t}}.\left\{ \frac{\alpha.F}{r}.\left[1-\frac{1}{(1+r)^{T-1}}\right]+\frac{F}{(1+r)^{T-1}}-\frac{\alpha.F}{r}.\left[1-\frac{1}{(1+r)^{T}}\right]-\frac{F}{(1+r)^{T}}\right\} \]
\[\small =\frac{1}{P_{t}}.\left\{ \frac{\alpha.F}{r}.\left[\frac{1}{(1+r)^{T}}-\frac{\left(1+r\right)}{(1+r)^{T}}\right]+\frac{F.(1+r)}{(1+r)^{T}}-\frac{F}{(1+r)^{T}}\right\} \]
\[\small =\frac{F}{P_{t}}.\left[\frac{r-\alpha}{(1+r)^{T}}\right]\]
Estrutura a Termo da Taxa de Juros
Referências Bibliográficas
FABOZZI, F. J. The Handbook of Fixed Income Securities. 8th Edition. The McGraw-Hill Companies. 2012.
NETO, J.M.V.; SANTOS, J.C.S.; MELLO, E.M. O Mercado de Renda Fixa no Brasil. Conceitos, Precificação e Risco. Editora Saint Paul. 2019.
NYHOLM, K.; Strategic Asset Allocation in Fixed-Income Markets. A MATLAB-based User’s Guide. John Wiley & Sons. 2008.
VERONESI, P. Handbook of Fixed-Income Securities. Wiley Handbooks in Financial Engineering and Econometrics. John Wiley & Sons. 2016.
