Parte I

1. Para un modelo con 2 regresores, la matriz de correlación es [1,0.96;0.96,1], el VIF es de:

Mat_R<- matrix(data= c(1,0.96,
                     0.96,1),
                     nrow = 2,
                    ncol=2)
print(Mat_R)
##      [,1] [,2]
## [1,] 1.00 0.96
## [2,] 0.96 1.00
VIF1 <- diag(solve(Mat_R))
print(VIF1)
## [1] 12.7551 12.7551

R/ El VIF es de 12.7551.

2. Prueba robusta para evaluar la normalidad de los residuos independientemente del tamaño muestral:

R/ Prueba de Jarque-Bera.

3. En una prueba FG, para un modelo con 5 regresores y 60 observaciones conun alfa de 4.3% el estadístico de prueba dio 40, el valor del determinante de la matriz de correlación es:

options(scipen = 999999)
FG<-40
m<-5
n<-60
determinante_R<- exp(FG/-((n-1)-((2*m+5)/6)))
print(determinante_R)
## [1] 0.4926459

R/ el valor del determinante de la matriz de correlación es 0.4926459

4. Si el VIF para una variable es de 2.5 y el coeficiente de correlación entre la variable y el resto de los regresores es de:

VIF2<-2.5
coeficiente_correlacion<- 1-(1/VIF2)
print(coeficiente_correlacion)
## [1] 0.6

R/ El coeficiente de correlación entre la variable y el resto de los regresores es de 0.6.

5. Sean 10,15,-10,-15,4,-4, los residuos de un modelo. El estadístico de prueba para el contraste de normalidad KS es:

KSresiduals_mat<-matrix(data = c(10,15, -10,
                              -15, 4, -4),
                             nrow = 6,
                             ncol= 1)
print(KSresiduals_mat)
##      [,1]
## [1,]   10
## [2,]   15
## [3,]  -10
## [4,]  -15
## [5,]    4
## [6,]   -4
# Prueba KS-lilliefore
library(nortest)
lillie.test(KSresiduals_mat)
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  KSresiduals_mat
## D = 0.1374, p-value = 0.9763

R/ El estadístico de prueba para el contraste de normalidad KS es 0.1374.

6. En una prueba FG, para un modelo con 5 regresores y un alfa de 4.3% el Valor Crítico es de:

m_<-5
gl_<-m_*(m_-1)/2
# Valor crítico
VC_<-qchisq(0.043,gl_,lower.tail = FALSE)
print(VC_)
## [1] 18.79093

R/ El Valor Crítico es de: 18.79093.

7. Sean 10,15,-10,-15,4,-4, los residuos de un modelo. El estadístico de prueba para el contraste de normalidad JB es:

JBresiduals_mat<-matrix(data = c(10, 15, -10,
                                 -15, 4, -4),
                                nrow = 6,
                                ncol= 1)
print(JBresiduals_mat)
##      [,1]
## [1,]   10
## [2,]   15
## [3,]  -10
## [4,]  -15
## [5,]    4
## [6,]   -4
# Prueba de JB
library(normtest)
jb.norm.test(JBresiduals_mat)
## 
##  Jarque-Bera test for normality
## 
## data:  JBresiduals_mat
## JB = 0.51072, p-value = 0.5765

R/ El estadístico de prueba para el contraste de normalidad JB es 0.51072.

8. Para una tolerancia de 0.05 el VIF es de:

Tolerancia<-0.05
VIF3<-1/Tolerancia
print(VIF3)
## [1] 20

R/ El VIF es de 20.

9 Sean 10,15,-10,-15,4,-4, los residuos de un modelo. El estadístico de prueba para el contraste de normalidad de Shapiro Wilk es:

SWresiduals_mat<-matrix(data = c(10, 15, -10,
                                 -15, 4, -4),
                                nrow = 6,
                                ncol= 1)
print(SWresiduals_mat)
##      [,1]
## [1,]   10
## [2,]   15
## [3,]  -10
## [4,]  -15
## [5,]    4
## [6,]   -4
# Prueba de SW
shapiro.test(SWresiduals_mat)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  SWresiduals_mat
## W = 0.96164, p-value = 0.8323

R/ El estadístico de prueba para el contraste de normalidad de SW es: 0.96164.

10. Para un VIF=2.5, la tolerancia es de:

VIF4<-2.5
toleranciaVIF4<- 1/VIF4
print(toleranciaVIF4)
## [1] 0.4

R/ La toleracia es de 0.4.

Parte II

Modelo Ventas

Sea el conjunto de datos, indicados en el enlace de abajo, tomados en 24 meses correspondientes a los gastos de comercialización (C) de una empresa, el nivel de ventas (V), su coste de personal (P) y los costes de materias primas (M); se trata de estimar el nivel de ventas a partir de las restantes variables.

  1. Estime el modelo de regresión lineal, correspondiente y verifique el supuesto de normalidad, usando todas las pruebas vistas en clase. Comente sus resultados.

  2. Utilizando todas las herramientas vistas en clase, evalué la situación de colinealidad de los regresores del modelo. Comente sus resultados.

Carga de datos y estimación del modelo

# Carga de datos
library(readxl)
ventas_empresa <- read_excel("C:/Users/Microsoft/Downloads/ventas_empresa.xlsx")
# Estimación del Modelo
library(stargazer)
modelo_ventas<- lm(formula = V~C+P+M, data = ventas_empresa)
stargazer(modelo_ventas, tittle= "Modelo de Ventas", type = "html")
Dependent variable:
V
C 0.923***
(0.223)
P 0.950***
(0.156)
M 1.298***
(0.431)
Constant 107.444***
(18.057)
Observations 24
R2 0.980
Adjusted R2 0.977
Residual Std. Error 9.506 (df = 20)
F Statistic 323.641*** (df = 3; 20)
Note: p<0.1; p<0.05; p<0.01
Modelo de Ventas

1. Pruebas de normalidad

#Ajuste de normalidad
library(fitdistrplus)
## Loading required package: MASS
## Loading required package: survival
ajuste1<-fitdist(data = modelo_ventas$residuals, distr = "norm")
plot(ajuste1)

Comentario: El histograma de los residuos refleja que se sigue una distribución normal, nos da una idea sobre los resultados de las pruebas de hipótesis. Con el gráfico PP representamos los datos empíricos observados, frente a los datos que se obtendrían en una distribución normal teórica.

α=0.05

H0: Los residuos siguen una distribución normal.

H1: Los residios no siguen una distribución normal.

# Prueba Jarque Bera
library(normtest)
jb.norm.test(modelo_ventas$residuals)
## 
##  Jarque-Bera test for normality
## 
## data:  modelo_ventas$residuals
## JB = 1.4004, p-value = 0.2795
Se rechaza Ho si: JB > VC
          
Se tiene: 1.4004 < 5.9915 (VC que corresponde a un 5% de significancia)
          
Se rechaza Ho si: p-value < α 
          
Se tiene: 0.282 > 0.05

Comentario: Con la prueba JB no se rechaza la hipótesis nula, es decir los residuos siguen una distribución normal.

# Prueba Kolmogorov Smirnov-Lilliefors
library(nortest)
lillie.test(modelo_ventas$residuals)
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  modelo_ventas$residuals
## D = 0.13659, p-value = 0.2935
         Se rechaza Ho si: p-value < α  
         
         Se tiene tiene: 0.2939 > 0.05

Comentario: La Ho no se rechaza ya que se evidencia través de la prueba KS que los residuos siguen una distribución normal.

# Prueba Shapiro Wilk
shapiro.test(modelo_ventas$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  modelo_ventas$residuals
## W = 0.95315, p-value = 0.3166
#Shapiro Wilk normalizado
w1<-0.95315
#Obteniendo miu
miu1<- 0.0038915*(log(24))^3-0.083751*(log(24))^2-0.31082*(log(24))-1.5861
#Obteniendo la desviación
des1<- exp(0.0030302*(log(24))^2-0.082676*(log(24))-0.4803)
#Obteniendo wn
Wn1<- (log(1-w1)-miu1)/des1
print(Wn1)
## [1] 0.4772707
Se rechaza Ho si:  Wn > VC  
         
Se tiene:  0.4772707 < 1.644854 (VC que corresponde a un 5% de significancia)
         
Se rechaza Ho si: p-value < α  
         
Se tiene: 0.3166 > 0.05

Comentario: La Ho no se rechaza ya que se evidencia a través de la prueba de Shapiro Wilk que los residuos siguen una distribución normal.

2. Pruebas de multicolinealidad

# Matriz X
library(stargazer)
X1_mat<- model.matrix(modelo_ventas)

# índice de condición con Mctest
library(mctest)
source(file = "C:/Users/Microsoft/Downloads/correccion_eigprop.R")
my_eigprop(mod = modelo_ventas)
## 
## Call:
## my_eigprop(mod = modelo_ventas)
## 
##   Eigenvalues      CI (Intercept)      C      P      M
## 1      3.9869  1.0000      0.0007 0.0001 0.0003 0.0001
## 2      0.0095 20.4852      0.8776 0.0049 0.0877 0.0075
## 3      0.0028 37.8141      0.1183 0.1594 0.8478 0.0636
## 4      0.0008 71.1635      0.0034 0.8356 0.0642 0.9288
## 
## ===============================
## Row 4==> C, proportion 0.835554 >= 0.50 
## Row 3==> P, proportion 0.847805 >= 0.50 
## Row 4==> M, proportion 0.928751 >= 0.50

Comentario: Con un índice de condición de 71.1635 al ser mayor a 30, se presenta un caso de multicolinealidad severa.

# Prueba de Farrar-Glaubar
library(fastGraph)
m <- ncol(X1_mat[,-1]) #Cantidad de variables explicativas K-1
n <- nrow (X1_mat) #Número de obseraciones.
determinante_R1<-det(cor(X1_mat[,-1])) #Determinante de la mat. de correlación.
chi_FG1 <- -(n-1-(2*m+5)/6)*log(determinante_R1)
print(chi_FG1)
## [1] 71.20805
#Valor Crítico
gl1<- m*(m-1)/2
vc1<- qchisq(0.05,gl1,lower.tail = FALSE)
print(vc1)
## [1] 7.814728
shadeDist(xshade = chi_FG1, ddist = "dchisq", parm1 = gl1, lower.tail = FALSE, sub=paste("VC:",
vc1, "FG:",chi_FG1))

Comentario: Con un FG de 71.20805 al ser mayor que el VC que es de 7.814728, se rechaza Ho, por tanto hay evidencia de multicolinealidad en los regresores del modelo.

# Factores inflacionarios de la varianza (VIFs)
library(car) # VIF con libreria Car
VIF_car1 <- vif(modelo_ventas)
print(VIF_car1)
##        C        P        M 
## 7.631451 3.838911 9.449210
library(mctest) # VIF con libreria Mctest
mc.plot(modelo_ventas,vif =2)

En el modelo de ventas, los gastos de comercialización (C), el coste de personal (P) y los costes de materias primas (M) superan el VIF de 2. Las tres variables están inflando la varianza pero al no superar el valor de 5, se considera aceptable.

Modelo de Escolaridad

Se tienen los datos para trabajadores hombres,en el archivo adjunto, con ellos estime un modelo donde educ es años de escolaridad, como variable dependiente, y como regresores sibs (número de hermanos), meduc (años de escolaridad de la madre) y feduc (años de escolaridad del padre)

  1. Estime el modelo de regresión lineal, correspondiente y verifique el supuesto de normalidad, usando todas las pruebas vistas en clase. Comente sus resultados.

  2. Utilizando todas las herramientas vistas en clase, evalue la situación de colinealidad del modelo. Comente sus resultados

Carga de datos y estimación del modelo

# Carga de datos
load("C:/Users/Microsoft/Downloads/wage2.RData")
# Estimación del Modelo
library(stargazer)
modelo_escolaridad<-lm(formula = educ~sibs+meduc+feduc,data = wage2)
stargazer(modelo_escolaridad, tittle= "Modelo de Escolaridad", type = "html")
Dependent variable:
educ
sibs -0.094***
(0.034)
meduc 0.131***
(0.033)
feduc 0.210***
(0.027)
Constant 10.364***
(0.359)
Observations 722
R2 0.214
Adjusted R2 0.211
Residual Std. Error 1.987 (df = 718)
F Statistic 65.198*** (df = 3; 718)
Note: p<0.1; p<0.05; p<0.01
Modelo de Escolaridad

1. Pruebas de normalidad

#Ajuste de normalidad
library(fitdistrplus)
ajuste2<-fitdist(data = modelo_escolaridad$residuals, distr = "norm")
plot(ajuste2)

Comentario: Con el histograma evaluamos la forma y dispersión de los datos, según lo mostrado es importante realizar otras pruebas de normalidad para concluir.

α=0.05

H0: Los residuos siguen una distribución normal.

H1: Los residios no siguen una distribución normal.

options(scipen = 9)
# Prueba Jarque Bera
library(normtest)
jb.norm.test(modelo_escolaridad$residuals)
## 
##  Jarque-Bera test for normality
## 
## data:  modelo_escolaridad$residuals
## JB = 35.655, p-value = 0.0005
          Se rechaza Ho si: JB > VC    
          
          Se tiene: 35.655 > 5.9915 (VC que corresponde a un 5% de significancia)
          
          Se rechaza Ho si: p-value < α
          
          Se tiene:0.0005 < 0.05

Comentario: Con la prueba JB se rechaza la hipótesis nula, es decir los residuos no siguen una distribución normal.

options(scipen = 999)
# Prueba Kolmogorov Smirnov-Lilliefors
library(nortest)
lillie.test(modelo_escolaridad$residuals)
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  modelo_escolaridad$residuals
## D = 0.089992, p-value = 0.000000000000003394
          Se rechaza Ho si: p-value < α
          
          Se tiene: 0.000000000000003394 < 0.05

Comentario: Ho se rechaza ya que se evidencia a través de la prueba KS que los residuos no siguen una distribución normal.

# Prueba Shapiro Wilk
shapiro.test(modelo_escolaridad$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  modelo_escolaridad$residuals
## W = 0.96692, p-value = 0.00000000001058
#Shapiro Wilk normalizado
w2<-0.96692
#Obteniendo miu
miu2<- 0.0038915*(log(935))^3-0.083751*(log(935))^2-0.31082*(log(935))-1.5861
#Obteniendo la desviación
des2<- exp(0.0030302*(log(935))^2-0.082676*(log(935))-0.4803)
#Obteniendo wn
Wn2<- (log(1-w2)-miu2)/des2
print(Wn2)
## [1] 7.351479
  Se rechaza Ho si: Wn > VC 
         
  Se tiene:  7.351479 > 1.644854 (VC que corresponde a un 5% de significancia)
         
  Se rechaza Ho si: p-value < α  
         
  Se tiene: 0.00000000001058 < 0.05

Comentario: La Ho se rechaza ya que se evidencia a través de la prueba Shapiro Wilk que los residuos no siguen una distribución normal.

2. Pruebas de multicolinealidad

options(scipen = 9)
# Matriz X
library(stargazer)
X2_mat<- model.matrix(modelo_escolaridad)


# índice de condición con Mctest
library(mctest)
source(file = "C:/Users/Microsoft/Downloads/correccion_eigprop.R")
my_eigprop(mod = modelo_escolaridad)
## 
## Call:
## my_eigprop(mod = modelo_escolaridad)
## 
##   Eigenvalues      CI (Intercept)   sibs  meduc  feduc
## 1      3.5576  1.0000      0.0033 0.0194 0.0031 0.0046
## 2      0.3756  3.0778      0.0015 0.7200 0.0107 0.0184
## 3      0.0417  9.2337      0.3235 0.1056 0.0813 0.8786
## 4      0.0251 11.9094      0.6717 0.1549 0.9049 0.0984
## 
## ===============================
## Row 2==> sibs, proportion 0.720032 >= 0.50 
## Row 4==> meduc, proportion 0.904919 >= 0.50 
## Row 3==> feduc, proportion 0.878599 >= 0.50
# Prueba de Farrar-Glaubar
library(psych) #FG con librería Psych
library(fastGraph)
FG_test2<-cortest.bartlett(X2_mat[,-1]) #Estadístico FG
print(FG_test2)
## $chisq
## [1] 358.3897
## 
## $p.value
## [1] 2.27501e-77
## 
## $df
## [1] 3
vc2 <- qchisq(0.05,FG_test2$df, lower.tail =FALSE) # Valor Crítico
print(vc2)
## [1] 7.814728
shadeDist(xshade = FG_test2$chisq, ddist = "dchisq",
parm1 = FG_test2$df, lower.tail = FALSE,
sub=paste("VC:",vc2,"FG:",FG_test2$chisq))

Comentario: Con un FG de 358.3897 y considerablemente mayor al VC que es de 7.814728, se rechaza Ho, por tanto hay evidencia de multicolinealidad en los regresores del modelo.

# Factores inflacionarios de la varianza (VIFs)
library(car) # VIF con libreria Car
VIF_car2 <- vif(modelo_escolaridad)
print(VIF_car2)
##     sibs    meduc    feduc 
## 1.098950 1.561254 1.506359
library(mctest) # VIF con libreria Mctest
mc.plot(modelo_escolaridad,vif =2)

Comentario: Las variables sibs (número de hermanos), meduc (años de escolaridad de la madre) y feduc (años de escolaridad del padre) no superan el lumbral de correlación que se ha establecido como páramentro, se trata de una colinealidad leve probablemente resultado de la escala de las variables.

Modelo Salarios

El sueldo inicial medio (salary) para los recién graduados de la Facultad de Economía se determina mediante una función lineal: log(salary)=f(SAT,GPA ,log(libvol),log(cost),rank) Donde LSAT es la media del puntaje LSAT del grupo de graduados, GPA es la media del GPA (promedio general) del grupo, libvol es el número de volúmenes en la biblioteca de la Facultad de Economía, cost es el costo anual por asistir a dicha facultad y rank es una clasificación de las escuelas de Economía (siendo rank 1 la mejor)

  1. Estime el modelo de regresión lineal, correspondiente y verifique el supuesto de normalidad, usando todas las pruebas vistas en clase. Comente sus resultados.

  2. Utilizando todas las herramientas vistas en clase, evalue la situación de colinealidad del modelo. Comente sus resultados

Carga de datos y estimación del modelo

# Carga de datos
load("C:/Users/Microsoft/Downloads/LAWSCH85.RData")

# Estimación del Modelo
options(scipen = 9)
library(stargazer)
modelo_salario <- lm(lsalary~LSAT+GPA+llibvol+lcost+rank, data = LAWSCH85)
stargazer(modelo_salario, tittle= "Modelo de Salarios", type = "html")
Dependent variable:
lsalary
LSAT 0.005
(0.004)
GPA 0.248***
(0.090)
llibvol 0.095***
(0.033)
lcost 0.038
(0.032)
rank -0.003***
(0.0003)
Constant 8.343***
(0.533)
Observations 136
R2 0.842
Adjusted R2 0.836
Residual Std. Error 0.112 (df = 130)
F Statistic 138.230*** (df = 5; 130)
Note: p<0.1; p<0.05; p<0.01
Modelo de Salarios

1. Pruebas de normalidad

#Ajuste de normalidad
library(fitdistrplus)
ajuste3<-fitdist(data = modelo_salario$residuals, distr = "norm")
plot(ajuste3)

α=0.05

H0: Los residuos siguen una distribución normal.

H1: Los residios no siguen una distribución normal.

# Prueba Jarque Bera
library(normtest)
jb.norm.test(modelo_salario$residuals)
## 
##  Jarque-Bera test for normality
## 
## data:  modelo_salario$residuals
## JB = 0.36511, p-value = 0.826
Se echazar Ho si: JB > VC    
         
Se tiene: 0.36511 < 5.9915 (VC que corresponde a un 5% de significacia)
         
Se echazar Ho si: p-value < α
         
Se tiene: 0.8205 > 0.05

Comentario: Con la prueba JB no se rechaza la hipótesis nula, es decir los residuos siguen una distribución normal.

# Prueba Kolmogorov Smirnov-Lilliefors
library(nortest)
lillie.test(modelo_salario$residuals)
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  modelo_salario$residuals
## D = 0.054571, p-value = 0.4123
         Se rechaza Ho si: p-value < α       
         
         Se tiene: 0.4123 > 0.05

Comentario: La Ho no se rechaza ya que se evidencia a través de la prueba KS que los residuos siguen una distribución normal.

# Prueba Shapiro Wilk
shapiro.test(modelo_salario$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  modelo_salario$residuals
## W = 0.99282, p-value = 0.7235
#Shapiro Wilk normalizado
w3<-0.99282
#Obteniendo miu
miu3<- 0.0038915*(log(156))^3-0.083751*(log(156))^2-0.31082*(log(156))-1.5861
#Obteniendo la desviación
des3<- exp(0.0030302*(log(156))^2-0.082676*(log(156))-0.4803)
#Obteniendo wn
Wn3<- (log(1-w3)-miu3)/des3
print(Wn3)
## [1] -0.3320221
  Se rechaza Ho si:  Wn > VC   
          
  Se tiene:  -0.3320221 < 1.644854 (VC que corresponde a un 5% de significancia)
          
  Se rechaza Ho si: p-value < α  
          
  Se tiene :  0.7235 > 0.05

Comentario: La Ho no se rechaza ya que se evidencia través de la prueba Shapiro Wilk que los residuos siguen una distribución normal.

2. Pruebas de multicolinealidad

options(scipen = 9)
# Matriz X
library(stargazer)
X3_mat<- model.matrix(modelo_salario)


# índice de condición con Mctest
library(mctest)
source(file = "C:/Users/Microsoft/Downloads/correccion_eigprop.R")
my_eigprop(mod = modelo_salario)
## 
## Call:
## my_eigprop(mod = modelo_salario)
## 
##   Eigenvalues       CI (Intercept)   LSAT    GPA llibvol  lcost   rank
## 1      5.7351   1.0000      0.0000 0.0000 0.0000  0.0001 0.0000 0.0021
## 2      0.2604   4.6930      0.0000 0.0000 0.0002  0.0004 0.0001 0.2884
## 3      0.0021  52.4800      0.0058 0.0030 0.0007  0.8411 0.1155 0.1357
## 4      0.0018  55.7648      0.0002 0.0010 0.3355  0.1095 0.1756 0.0161
## 5      0.0004 123.2068      0.4254 0.0588 0.4407  0.0423 0.6610 0.4700
## 6      0.0002 186.7153      0.5686 0.9371 0.2229  0.0066 0.0478 0.0877
## 
## ===============================
## Row 6==> LSAT, proportion 0.937119 >= 0.50 
## Row 3==> llibvol, proportion 0.841136 >= 0.50 
## Row 5==> lcost, proportion 0.661004 >= 0.50

Comentario: Con un índice de condicion de 186.7153 significativamente mayor que 30, el modelo presenta multicolinealidad severa.

# Prueba de Farrar-Glaubar
library(psych) #FG con libreria Psych
library(fastGraph)
FG_test3<-cortest.bartlett(X3_mat[,-1])
print(FG_test3)
## $chisq
## [1] 391.509
## 
## $p.value
## [1] 6.031929e-78
## 
## $df
## [1] 10
vc3 <- qchisq(0.05,FG_test3$df, lower.tail =FALSE) 
print(vc3)
## [1] 18.30704
shadeDist(xshade = FG_test3$chisq, ddist = "dchisq",
parm1 = FG_test3$df, lower.tail = FALSE,
sub=paste("vc:",vc3,"FG:",FG_test3$chisq))

Comentario: Con un FG de 391.5089 ya que es mayor al VC de 18.307 se rechaza la hipótesis nula y por tanto hay evidencia de multicolinealidad alta en los regresores.

# Factores inflacionarios de la varianza (VIFs)
library(car) # VIF con libreria Car
VIF_car3 <- vif(modelo_salario)
print(VIF_car3)
##     LSAT      GPA  llibvol    lcost     rank 
## 3.635214 3.369004 2.110802 1.573583 3.124106
library(mctest) # VIF con libreria Mctest
mc.plot(modelo_salario,vif =2)

Comentario: Son LSTA, GPA y rank las variables que estan inflando la varianza, en cuanto a la multicolinealidad si se considera un lumbral de tolerancia de 2 a 5 las variables ya mencionadas junto a llibvol se encuentran en valores aceptables, por otra parte lcost al ser menor a 2 presenta un nivel de colinealidad leve.