INTRODUCCION DE LA PROBABILIDAD

“Probabilidad es el lenguaje matematico para cuantificar la incertidumbre”

  1. Terminologia de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de rpobabilidad, etc.

  2. Interpretacion frecuentista de probabilidad

  3. Proabilidad condicional y su relacion con independencia

  4. Regal de Bayes

ESPACIO DE RESULTADOS Y EVENTOS

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo 1: si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[\Omega = \{AA, AS, SA, SS\} \]

El evento : que el primer lanziento resulte aguila es

\[ A = \{AA, AS\} \]

MONEDAS

EVENTOS EQUIPROBABLES

La probabilidad se puede ver como una extension de la idea de proporcion o cociente de una parte con respecto a un todo. si en la carrera de quimica tenemos:

Poporcion de hombres es:

\[\frac{300}{700+300}=0.3\ \]

Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:

El número de lanzamientos de un dado hasta que obtienes un 6.

\[\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \] la posibilidad de obtener un 6 :

\[ \frac{1}{6}=0.166\ \]

DADOS

Tu calificación final en el curso.

\[\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \] La posibilidad de sacar 10 en el curso es de:

\[ \frac{1}{10}=0.1\ \] Esta calificacion dependerá de la entrega de tareas y cual sea tu calificacion en los examenes que se presenten.

CALIFICACIONES A OBTENER

El tiempo en minutos hasta tu próximo estornudo.

\[\Omega = \{1, 2, 3\} \] La posibilidad de volver a estornudar a los 3 minutos es de:

\[ \frac{1}{3}=0.333\ \]

La probabilidad de volver a estornudar varia mucho, regularmente no tardo mas de 3 minutos en volver a estornudar. Todo depende del tipo de clima que este haciendo, si tienes alergias o si tienes una basurita en la nariz.

FACTORES A ESTORNUDAR

El peso en gramos de una lata de Coca-Cola (incluyendo el líquido).

\[\Omega = \{350, 360, 370, 380\} \] El peso de la lata con coca-cola varia, con respecto a la densidad de este liquido, puede ir desde 350 gramos hasta 380 gramos.

Datos del peso de la lata de cocac-cola Datos del peso de la lata de refresco

Lata de coca-cola

CONCLUSION.

Gracias a estos ejemplos podemos darnos cuenta que la probabilidad esta en nuestra vida contidiana. Ademas que se puede utilizar en la toma de desiciones importantes como lo seria en el caso de nuestra calificacion final, por que para sacar 10, debemos decidir entre entregar todos nuestros trabajos y sacar 10 o no entregar ningun trabajo y sacar 5. Y como en los juegos de azar es muy comun el uso de la probabilidad, ya que estos no es que siempre te va a salir el valor que escojas. Por eso se dice que la “Probabilidad es el lenguaje matematico para cuantificar la incertidumbre”.

Eventos equiprobables. si todos los elementos en el espacio de los resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el numero de resultados en A dividido entre el numero total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \]

Por lo que solo hace falta contar.

e.g. La probabilidad de obtener AA si lanzamos una moneda 2 veces es de 1/4 que tiene es 0.25 0 25%, y la probabilidad del evento que el primer lanzamiento resulte aguila es de 2/4 = 0.5 o 50%

Ejemplo: combinaciones

un comite de 5 personas sera seleccionados de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la seleccion es aleatoria, ¿cual es la probabilidad de que el comite esté conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comites, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionados

por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comites que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto , la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}} {\dbinom{15}{5}} \]

la funcion para calcular las combinaciones en R (random) es choose(n, r)

choose (6, 3) * choose (9, 2) / choose (15, 5)

EJERCICIOS.

Caso 1:

*si lanzamos 2 dados y sumamos los numeros obtenidos ¿Cual es la probabilidad de que la suma de los numeros sea 5? \[\Omega = \{36\} \] El 36 es el total de eventos posibles

\[\Omega = \{1,4/2,3/3,2/4,1\} = 4 \] 4 son el numero total de eventos favorables

\[ \frac{4}{36}=0.1111\ \] \[(.1111) (100)= 11.11 \% \]

0.11 es la posibilidad que se tiene de obtener al sumar los 2 dados sea igual a 5, puesto que se tienen nadamas 4 eventos favorables y el total de eventos es 36, y al sacar porcentaje es igual a 11.11%

¿Cual es la probabilidad de que el segundo sea mayor que el primero? \[\Omega = \{36\} \] El 36 es el total de eventos posibles

\[\Omega = \{1,2/1,3/1,4/1,5/1,6/2,3/2,4/2,5/2,6/3,4/3,5/3,6/4,5/4,6/5,6\} = 15 \]

15 son el numero total de combinaciones del evento que son favorables, donde el segundo numero es mayor al primero.

\[ \frac{15}{36}=0.41\ \] \[(.41) (100)= 41 \% \] Podemos determinar que la posibilidad que se tiene de obtener una combinacion donde el segundo numero sea mayor al primero es de .41 y al representarlo de forma porcentual es de 41%.

Dados

Caso 2:

Repite las preguntas anteriores al lanzar 2 dados de 8 caras

¿Cual es la probabilidad de que la suma de los numeros sea 5? \[\Omega = \{64\} \]

El 64 es el total de eventos posibles

\[\Omega = \{1,4/2,3/3,2/4,1\} = 4 \] 4 son el numero total de eventos favorables

\[ \frac{4}{64}=0.0625\ \] \[(.0625) (100)= 6.25 \% \] La posibilidad que se tiene de obtener la suma de los 2 dados y que esta sea igual a 5, es de .0625 puesto que se tienen nadamas 4 eventos favorables y el total de eventos es de 64, y al sacar esta posibilidad de forma porcentual es igual a 6.25%

¿Cual es la probabilidad de que el segundo sea mayor que el primero? \[\Omega = \{64\} \] El 64 es el total de eventos posibles

\[\Omega = \{1,2/1,3/1,4/1,5/1,6/1,7/1,8/2,3/2,4/2,5/2,6/2,7/2,8/3,4/3,5/3,6/3,7/3,8/4,5/4,6/4,7/4,8/5,6/5,7/5,8/6,7/6,8/7,8\} = 28 \]

28 son el numero total de combinaciones del evento que son favorables, donde el segundo numero es mayor al primero.

\[ \frac{28}{64}=0.4375\ \]

\[(.4375) (100)= 43.75 \% \] Se pudo definir que la posibilidad que se tiene de obtener una combinacion donde el segundo numero sea mayor al primero sea de .4375 ya que se tienen 28 eventos favorables y el total de eventos a ocurrir es de 64, al momento de representarlo de forma porcentual esto es igual a 43.75%.

Dado de 8 caras

CONCLUSION:

Se pudo determinar que para el primer caso donde se tienen 4 eventos posibles para obtener combinaciones iguales a 5, hay una probabilidad de de 11.11% y otra de 6.25%, donde el menor porcentaje es del evento que tiene mayor numero de eventos posibles que es de 64. En el caso numero 2 fue al reves puesto que en este hay un porcentaje de 41% y 43.75%, en el cual el menor porcentaje es donde hay 36 numero de eventos totales posibles, al ser menor tiene menos numero de combinaciones posibles como el que tendria al tener 64 eventos totales.

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Interpretacion frecuentista de probabilidad

Las probabilidades se entienden como una aproximacion matematica de frecuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a infinito.

supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos:

lanzamientos_10 <- sample(c(“A”, “S”),10, replace=TRUE)

para calcular la secuencia de frecuencias relativas de aguila

cumsum(lanzamientos_10 == “A”) suma acumulada de aguilas

round(cumsum(lanzamientos_10 == “A”) / 1:10, 2 )

Distribuciones de probabilidad

Distribucion Alias Distribucion normal norm Distribucion binomial binom Distribucion Poisson polis Distribucion exponencial exp Distribucion t de estudent t Distribucion chi cuadrada chisq Distribucion F f

Prefijos Funciones Prefijos
Funcion de distribucion p Funcion cuantilica q Funcion de densidad d Generacion aleatoria r