“Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar incertidumbre.” -Wasserman
Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
Interpretación frecuentista de probabilidad.
Probabilidad condicional y su relación con independencia.
La regla de Bayes.
El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.
Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces entonces:
\[ \Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \] Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:
Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por letras mayúsculas.
El evento: que el primer lanzamiento resulte águila es
\[ A = \{AA, AS\} \]>
Eventos Equiprobables
La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo. Si en la carrera de química tenemos:
la proporción de hombres es:
\[ \frac{300}{700+300}=0.3\ \]
Ahora, supongamos que elegimos un estudiante al azar, la probabilidad de elegir una mujer es 0.7.
En el ejemplo hay un supuesto implícito en elegir al azar (o aleatoria mente), en este caso estamos suponiendo que todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser elegidos, que nos lleva al siguiente concepto:
Eventos equiprobables. Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:
\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \]
Por lo que solo hace falta contar.
e.g. La probabilidad de obtener AA si lanzamos una moneda 2 veces es de 1/4 que también es 0.25 ó 25%, y la probabilidad del evento que el primer lanzamiento resulte águila es de 2/4 = 0.5 ó 50%
Ejemplo: combinaciones
Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?
Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.
Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:
\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]
la función para calcular las combinaciones en R (random) es choose(n, r)
choose (6, 3) * choose(9, 2) / choose (15, 5)
Las probabilidades se entienden como una aproximación matemática de frecuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a infinito.
supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos:
lanzamientos_10 <- sample(c(“A”, “S”),10, replace=TRUE)
para calcular la secuencia de frecuencias relativas de águila
cumsum(lanzamientos_10 == “A”) suma acumulada de águilas
round(cumsum(lanzamientos_10 == “A”) / 1:10, 2 )