\(y = e^x\)の導関数

指数関数\(y = e^x\)の導関数

指数関数\(y = e^x\)の導関数は以下のように表される．

\[ (e^x)' = e^x \]

つまり\(y = e^x\)のどの点で微分しても微係数は\(e^x\)である．このことを理解しやすくするために図を描いてみた．

図で理解

curve(exp, from = -2, to = 3, lwd = 5)

y_dash <- function(x){exp(2)*x - exp(2)}
plot(y_dash, from = -2, to = 3, lwd = 5, col = "red", add = TRUE)

y_smaller <- function(x){(exp(2)/2)*x}
plot(y_smaller, from = -2, to = 3, col = "red", add = TRUE)

y_larger <- function(x){2*exp(2)*x - exp(2)*3}
plot(y_larger, from = -2, to = 3, col = "red", add = TRUE)

abline(h = exp(2))
abline(v = 2)

図中に黒い太線で示したのが\(y = e^x\)のグラフで，\(x = 2\)のとき\(y = e^2\)(約7.38)となる．この点\((2, e^2)\)を通る1次関数を3本ほど赤線で示してある．

このうち，太線で表したものが点\((2, e^2)\)の接線となっていることがわかる．これは傾きを\(e^2\)に設定した\(y = e^2x - e^2\)のグラフである．

やはり\(y = e^x\)の導関数の傾きは\(e^x\)であった．

ちなみに上の図からもわかるように\(y = e^2x - e^2\)は点\((1, 0)\)を通るので，点\((2, e^2)\)と比べると\(x\)が\(1\)だけ増加する間に\(y\)が\(e^2\)だけ増加する，すなわち傾きが\(e^2\)であることは理解しやすい．