19041231

Distribución Hipergeométrica. Caso Fusibles Defectuosos

Objetivo

Determinar la probabilidad de una variable discreta bajo la distribución y hipergeométrica.
  • Se utilizará la función dhyper() para encontrar proabildiades de p(x=0,1….n)
  • Se utilizará la función phyper() para encontrar probabilidades acumuldas de f(x=0,1….n)
CASO: Una empresa fabrica fusibles que empaca en cajas de doce unidades cada una.
  • Asuma que un inspector selecciona al azar tres de los doce fusibles de una caja para inspeccionarlos.
  • Si la caja contiene exactamente cinco fusibles defectuosos,
  • ¿cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que uno defectuoso de los tres fusibles?

La fórmula:

Las librerías necesarias

library(gtools)

A realizar

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que uno defectuoso de los tres fusibles?. Determinar la probabilidad bajo la distribución hipergeométrica cuando x=1
    • Primero: Conforme la fórmula
    • Segundo: conforme a la función dhyper()
    1. Construir la tabla de distribución Resolver preguntas
    1. ¿Cuál es la probabilidad de hallar por lo menos un fusible defectuoso? Determinar estádisticos al igual que en otras distribuciones de probabilidad
    1. Determinar la esperanza o media dada por: μ=kp
    1. Determinar la varianza dada por var(x)=kp(1−p)∗(m+n−k)(m+n−1)
    1. Determinar la desviación std dada por σ=var(x)−−−−−√

PARTE 1

1. Determinar la probabilidad bajo la distribución hipergeométrica cuando x=1

  • Primero: Determinar probabilida conforme a la fórmula
    • N equivale a total de población N=12
    • n equivale a la muestra o número de ensayos n=3
    • r equivale a total de casos exitosos de toda la población r=5
    • N-r equivale a número de elementos que son fracaso N−r=7
N <- 12 ; n <- 3; r <- 5; x <- 1
round(nrow(combinations(r,x)) * nrow(combinations(N-r, n - x)) / nrow(combinations(N,n)),4)
## [1] 0.4773
  • Segundo: Determinar probabilidad conforme a la función dhyper(). Ver la ayuda ? dhyper() en consola
  • x, representa la variable discreta {0,1,2,3,,,n}
  • m, representa el número de casos de éxito o sea a 5
  • n, representa el número de casos de fracaso 12-5
  • k, representa la muestra
x<-1     # Variable a determinar su probabilidad
m <- r   # Casos exitosos
k <- n   # La muestra
n <- N-m # Casos no Exitosos 12-5
dhyper(x = x,m = m, k = k, n = n)
## [1] 0.4772727

PARTE 2

2. Construir la tabla de distribución

  • Primero: realizar las probabilidads para cada valor de la variable discreta mediante dhyper()
prob.x <- round(dhyper(x = 0:k,m = m, k = k, n = n),4)
prob.x
## [1] 0.1591 0.4773 0.3182 0.0455
  • Segundo: Realizar las probabilidades acumuladas de cada valor de la variable discreta desde 0 hasta k mediante phyper()
prob.acum.x <- round(phyper(q = 0:k,m = m, k = k, n = n),4)
prob.acum.x
## [1] 0.1591 0.6364 0.9545 1.0000
  • Tercero. Determinar la tabla de probabildia desde x=0 hasta x=1,2…k
tabla <- data.frame(1:(k+1), 0:k, prob.x, prob.acum.x)
colnames(tabla) <- c("pos","x", "prob.x", "prob.acum.x")
tabla
##   pos x prob.x prob.acum.x
## 1   1 0 0.1591      0.1591
## 2   2 1 0.4773      0.6364
## 3   3 2 0.3182      0.9545
## 4   4 3 0.0455      1.0000

PARTE 3

3. ¿Cuál es la probabilidad de hallar por lo menos un fusible defectuoso?

  • Determinar mediante uno menos la probabiidad de p(0) o sea
x<-0     # Variable a determinar su probabilidad

1 - dhyper(x = x,m = m, k = k, n = n)
## [1] 0.8409091
  • O mediante la tabla de distribución previamente generada
1 - tabla$prob.acum.x[1]
## [1] 0.8409

PARTE 4

4. Determinar la esperanza o media dada por: μ=kp

N <- 12
M <- 5
n <- 3
e.m <- n * (M/N)
e.m
## [1] 1.25

PARTE 5

5. Determinar la varianza

N <- 12
M <- 5
n <- 3
vari <- n * (M/N) * ((N-M)/N) * ((N-M)/(N-1))
vari
## [1] 0.4640152

PARTE 6

6. Determinar la desviación standar

dsv <- sqrt(vari)
dsv
## [1] 0.6811866

CONCLUSION

CONCLUSION

En este problema usamos la distribucion Hipergeometrica dada la situacion que tenemos una determinada poblacion con cierta condicion en especial, a la cual le extraeremos una muestra sin cambio y sin importar la posicion, por lo que en este caso de un numero determinado de fusibles tomaremos un par y lo interesante es saber si alguno de estos sera defectuoso o no en la muestra, util para darnos un aproximado de la situacion, por ejemplo en una loteria en donde son muchas combinaciones siendo solo unas cuantas las ganadoras