Distribución Hipergeométrica. Caso Fusibles Defectuosos

Objetivo

Determinar la probabilidad de una variable discreta bajo la distribución hipergeométrica * Se utilizará la función dhyper() para encontrar probabilidades de \[p(x=0,1....n)\] * Se utilizará la función phyper() para encontrar probabilidades acumuladas de \[f(x=0,1....n)\]

CASO: Una empresa fabrica fusibles que empaca en cajas de doce unidades cada una.

Asuma que un inspector selecciona al azar tres de los doce fusibles de una caja para inspeccionarlos. Si la caja contiene exactamente cinco fusibles defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que uno defectuosos de los tres fusiobles?

La Formula: \[p(x) = \binom rx \binom {N-r}{n-x} / {\binom Nn}\]

Librerias Necesarias:

library(gtools)

A Realizar

• 1.¿Cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre uno defectuoso de los tres fusibles? Determinar la probabilidad bajo la distibucion hipergeométrica cuando \[X = 1\]
• Primero: Conforme a la formula
• Segundo: conforme a la funcion dhyper()
• 2.Construir la tabla de distribucion Resolver preguntas
• 3.¿Cuál es la probabilidad de hallar por lo menos un dusible defectuoso? Determinar estádisticos al igual que en otras distribuciones de probabilidad.
• 4.Determinar la esperanza o media dada por:\[\mu = kp\]
• 5.Determinar la varianza dada por: \[var(x) = \frac{kp(1-p) * (m+n-k)}{(m+n-1)}\]
• 6.Determinar la desviacion std dada por:\[\sigma=\sqrt{var(x)}\]

1.Determinar la probabilidad bajo la distribucion hipergeometrica cuando \[X=1\]

• Primero: Determinar la probabilidad deacuerdo con la formula
  • N equivale a el total de la poblacion \[N = 12\]
  • n equivale a la muestra o numeros de ensayos \[n = 3\]
  • r equivale a el total de casos exitosos de toda la poblacion \[r=5\]
  • N-r equivale a un numero de elementos que son fracaso \[N-r = 7 \]

N <- 12 ; n <- 3; r <- 5; x <- 1
round(nrow(combinations(r,x)) * nrow(combinations(N-r, n - x)) / nrow(combinations(N,n)),4)

## [1] 0.4773

• Segundo: Determinar probabilidad conforme a la función dhyper(). Ver la ayuda ? dhyper() en consola
• x, representa la variable discreta {0,1,2,3,,,n}
• m, representa el número de casos de éxito o sea a 5
• n, representa el número de casos de fracaso 12-5
• k, representa la muestra

x<-1     # Variable a determinar su probabilidad
m <- r   # Casos exitosos
k <- n   # La muestra
n <- N-m # Casos no Exitosos 12-5
dhyper(x = x,m = m, k = k, n = n)

## [1] 0.4772727

2. Construir la tabla de distribución

• Primero: realizar las probabilidads para cada valor de la variable discreta mediante dhyper()

prob.x <- round(dhyper(x = 0:k,m = m, k = k, n = n),4)
prob.x

## [1] 0.1591 0.4773 0.3182 0.0455

• Segundo: Realizar las probabilidades acumuladas de cada valor de la variable discreta desde 0 hasta k mediante phyper()

prob.acum.x <- round(phyper(q = 0:k,m = m, k = k, n = n),4)
prob.acum.x

## [1] 0.1591 0.6364 0.9545 1.0000

• Tercero. Determinar la tabla de probabildia desde x=0 hasta x=1,2…k

tabla <- data.frame(1:(k+1), 0:k, prob.x, prob.acum.x)
colnames(tabla) <- c("pos","x", "prob.x", "prob.acum.x")
tabla

##   pos x prob.x prob.acum.x
## 1   1 0 0.1591      0.1591
## 2   2 1 0.4773      0.6364
## 3   3 2 0.3182      0.9545
## 4   4 3 0.0455      1.0000

3. ¿Cuál es la probabilidad de hallar por lo menos un fusible defectuoso?

Determinar mediante uno menos la probabiidad de p(0) o sea \[1−F(x=0)\]

x<-0     # Variable a determinar su probabilidad

1 - dhyper(x = x,m = m, k = k, n = n)

## [1] 0.8409091

1 - tabla$prob.acum.x[1]

## [1] 0.8409

4. Determinar la esperanza o media dada por: \[\mu = kp\]

esp <- k*prob.acum.x[3]
esp

## [1] 2.8635

5. Determinar la varianza dada por \[var(x) = \frac{kp(1-p) * (m+n-k)}{(m+n-1)}\]

var <- k*prob.acum.x[3]*(1-prob.acum.x[3])*(m+n-k)*(m+n-1)
var

## [1] 12.89864

6. Determinar la desviación std dada por \[\sigma=\sqrt{var(x)}\]

desv.std <- sqrt(var)
desv.std

## [1] 3.591467