Objetivo

Determinar la probabilidad de una variable discreta bajo la distribución y hipergeométrica.

CASO: Una empresa fabrica fusibles que empaca en cajas de doce unidades cada una. Asuma que un inspector selecciona al azar tres de los doce fusibles de una caja para inspeccionarlos.

Si la caja contiene exactamente cinco fusibles defectuosos,

¿cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que uno defectuoso de los tres fusibles?

La fórmula: \[p(x)=(r/ x)(N−rn−x)/(Nn)\]

Las librerías necesarias:

library(gtools)

A realizar

  • 1.- ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que uno defectuoso de los tres fusibles?. Determinar la probabilidad bajo la distribución hipergeométrica cuando x=1.

  • Primero: Conforme la fórmula.

  • Segundo: conforme a la función dhyper().

  • 2.- Construir la tabla de distribución Resolver preguntas.

  • 3.-¿Cuál es la probabilidad de hallar por lo menos un fusible defectuoso? Determinar estádisticos al igual que en otras distribuciones de probabilidad.

  • 4.- Determinar la esperanza o media dada por: μ=kp.

  • 5.- Determinar la varianza dada por var(x)=kp(1−p)∗(m+n−k)(m+n−1).

  • 6.-Determinar la desviación std dada por σ=var(x)−−−−−√var(x).

1. Determinar la probabilidad bajo la distribución hipergeométrica cuando x=1

  • Primero: Determinar probabilida conforme a la fórmula

  • N equivale a total de población N=12

  • n equivale a la muestra o número de ensayos n=3

  • r equivale a total de casos exitosos de toda la población r=5

  • N-r equivale a número de elementos que son fracaso N−r=7

N <- 12 ; n <- 3; r <- 5; x <- 1
round(nrow(combinations(r,x)) * nrow(combinations(N-r, n - x)) / nrow(combinations(N,n)),4)
## [1] 0.4773
Segundo: Determinar probabilidad conforme a la función dhyper(). Ver la ayuda ? dhyper() en consola
  • x, representa la variable discreta {0,1,2,3,,,n}
  • m, representa el número de casos de éxito o sea a 5
  • n, representa el número de casos de fracaso 12-5
  • k, representa la muestra
x<-1     # Variable a determinar su probabilidad
m <- r   # Casos exitosos
k <- n   # La muestra
n <- N-m # Casos no Exitosos 12-5
dhyper(x = x,m = m, k = k, n = n)
## [1] 0.4772727
2. Construir la tabla de distribución.
  • Primero: realizar las probabilidads para cada valor de la variable discreta mediante dhyper()
prob.x <- round(dhyper(x = 0:k,m = m, k = k, n = n),4)
prob.x
## [1] 0.1591 0.4773 0.3182 0.0455
  • Segundo: Realizar las probabilidades acumuladas de cada valor de la variable discreta desde 0 hasta k mediante phyper()
prob.acum.x <- round(phyper(q = 0:k,m = m, k = k, n = n),4)
prob.acum.x
## [1] 0.1591 0.6364 0.9545 1.0000
  • Tercero. Determinar la tabla de probabilidad desde x=0 hasta x=1,2…k
tabla <- data.frame(1:(k+1), 0:k, prob.x, prob.acum.x)
colnames(tabla) <- c("pos","x", "prob.x", "prob.acum.x")
tabla
##   pos x prob.x prob.acum.x
## 1   1 0 0.1591      0.1591
## 2   2 1 0.4773      0.6364
## 3   3 2 0.3182      0.9545
## 4   4 3 0.0455      1.0000
3. ¿Cuál es la probabilidad de hallar por lo menos un fusible defectuoso?
  • Determinar mediante uno menos la probabiidad de p(0) o sea \[ 1−F(x=0) \]
x<-0     # Variable a determinar su probabilidad

1 - dhyper(x = x,m = m, k = k, n = n)
## [1] 0.8409091
  • O mediante la tabla de distribución previamente generada
1 - tabla$prob.acum.x[1]
## [1] 0.8409
4. Determinar la esperanza o media dada por: μ=kp
arithmetic.mean <- function(x) {sum(x)/length(x)}
datos<-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)
arithmetic.mean(datos)
## [1] 6.5
5. Determinar la varianza dada por var(x)=kp(1−p)∗(m+n−k)(m+n−1)
variance <- function (x)   sum((x-mean(1:12))^2)/(length(1:12)-1) #escrita como una funcion
variance(x)
## [1] 3.840909
6. Determinar la desviación std dada por σ=√var(x)
f <- 1:12
f
##  [1]  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
(sum(f^2) - 12 * mean(f)^2) / 11
## [1] 13
sd(f)
## [1] 3.605551