Juegos de azar

Con R podemos jugar juegos de azar: digamos, tirar un dado o lanzar una moneda, y mucho más rápido que nosotros. Y con eso vamos establecer algunos elementos esenciales de la probabilidad

El comando principal es “sample” Tenemos que decir a R de dónde elegimos y cuántos elegir. R puede muestrear con y sin reemplazo:

  • Con reemplazo significa que elegimos un elemento de nuestro universo y lo devolvemos.
  • Sin reemplazo significa qn elemento de nuestro universo y no lo devolvemos.

Un dado

Entonces, digamos que queremos que R lance un dado de seis caras una vez. Vamos a usar un nuevo formato para escribir una secuencia de números, como ya los habíamos aprendido.

1:6
## [1] 1 2 3 4 5 6
dado<-1:6

Si quisiéramos tirar ese dado una vez, es decir con “sample”, tomaríamos una muestra de tamaño 1 de ese universo:

sample(1:6, 1)
## [1] 5
sample(dado, 1)
## [1] 6

Si quisiéramos lanzar muchas veces más ese dado:

sample(1:6, 10, replace = T)
##  [1] 1 3 2 1 4 3 6 1 2 5
sample(dado, 10, replace = T)
##  [1] 4 3 3 6 4 2 6 6 4 3

Retomando lo último que vimos en la práctica pasada, podemos hacer una función

tirar_dado <- function(n) {
  sample(1:6, n, rep = T)
}
tirar_dado(10)
##  [1] 5 2 1 2 1 6 3 5 3 5

Tirar una moneda

moneda<-c("Aguila", "Sol")
sample(c("Aguila", "Sol"), 1)
## [1] "Sol"
sample(moneda, 1)
## [1] "Aguila"

También podemos hacer una función

tirar_moneda <- function(n) {
  sample(c("Aguila", "Sol"), n, rep = T)
}
tirar_moneda(10)
##  [1] "Sol"    "Aguila" "Sol"    "Sol"    "Aguila" "Aguila" "Aguila"
##  [8] "Aguila" "Aguila" "Sol"

Podemos hacer una función más general que use nuestros objetos moneda y dado

tirar<-function(data,n) {
    sample(data, n, rep = T)
}
tirar(dado,1)
## [1] 6
tirar(moneda,2)
## [1] "Aguila" "Aguila"

Aleatorio, pero regular

Con estas funciones ya podemos ver qué pasa con nuestras probabilidades cuando repetimos

Veamos con el dado

dado_millon<-tirar_dado(1000000)
table(dado_millon)
## dado_millon
##      1      2      3      4      5      6 
## 166305 166749 166546 166798 167004 166598

Veamos con la moneda

moneda1000<- tirar_moneda(1000)
table(moneda1000)
## moneda1000
## Aguila    Sol 
##    517    483
prop.table(table(moneda1000))
## moneda1000
## Aguila    Sol 
##  0.517  0.483

Que tal si tiramos un millón

moneda_millon<- tirar_moneda(1000000)
table(moneda_millon)
## moneda_millon
## Aguila    Sol 
## 499364 500636
prop.table(table(moneda_millon))
## moneda_millon
##   Aguila      Sol 
## 0.499364 0.500636

Ahora, por ejemplo pensemos que tiramos la moneda un numero de veces y lo queremos registar:

moneda_veces<-NULL

for (i in 1:10000) {
    moneda_veces[i] <- tirar_moneda(1)
}
table(moneda_veces)
## moneda_veces
## Aguila    Sol 
##   4994   5006

Distribuciones

Las distribuciones nos permiten describir el comportamiento de variables aleatorias.

Pensemos en nuestro ejemplo de la moneda, si tenemos que podemos tener un resultado como éxito y otro como fracaso, podemos tener reescrito nuestro dado

bernoulli<-c(0,1)

Hagamos nuestro experimento

tirar(bernoulli,1)
## [1] 0

Si hacemos un experimento Bernoulli más de una vez, tenemos ya una distribución binomial

tirar(bernoulli,2)
## [1] 0 1

Distribuciones precargadas

En realidad hemos estado jugando ya con parámetros de las distribuciones. Cuando tiramos una moneda una probabilidad ímplicita, al hacer nuestras funciones de tirar basadas en “sample” es que todas tienen las misma probabilidad (o juego limpio). Pero no siempre es así.

Daremos un paseo por las distribuciones más famosas y para qué sirven:

help(Distributions)

Para cada distribución de probabilidad, R dispone de cuatro sub-funciones, que sirven como prefijos:

  • d: función de densidad o de probabilidad.
  • p: función de distribución
  • q: función para el cálculo de cuantiles.
  • r: función para simular datos con dicha distribución.

    • Binomial

  • P(X=k) =dbinom(k,n,p)
  • P(X≤k) =pbinom(k,n,p)
  • qa=min{x:P(X≤x)≥a} =qbinom(a,n,p)
  • rbinom(m,n,p) genera m valores aleatorios con esta distribución

    • Si X≈B(25,0.6) tenemos:

    P(X=10)

    dbinom(10,25,0.6)
    ## [1] 0.02122244

    P(X≤10)

    pbinom(10,25,0.6)
    ## [1] 0.03439152

    o también:

    sum(dbinom(0:10,25,0.6))
    ## [1] 0.03439152

    q0.95=min{x:P(X≤x)≥0.95}

    qbinom(0.95,25,0.6)
    ## [1] 19

    Simulamos 30 valores de esta distribución:

    rbinom(30,25,0.6)
    ##  [1] 17 18 13 13 17 12 16 15 14 15 18 19 13 18 11 10 15 14 17 20 12 13 17
## [24] 15 15 14 16 15 19 14

    Podemos representar fácilmente la función de probabilidad de la distribución binomial:

    plot(dbinom(0:30,30,0.6),type="h",xlab="k",ylab="P(X=k)",main="Función de Probabilidad B(30,0.6)")

    El efecto de “p” en la distribución

    plot(dbinom(0:30,30,0.3),type="h",xlab="k",ylab="P(X=k)",main="Función de Probabilidad B(30,0.3)")

    plot(dbinom(0:30,30,0.5),type="h",xlab="k",ylab="P(X=k)",main="Función de Probabilidad B(30,0.5)")

    plot(dbinom(0:30,30,0.9),type="h",xlab="k",ylab="P(X=k)",main="Función de Probabilidad B(30,0.9)")

    Distribución Normal

    Si X sigue una distribución normal N(μ,σ), entonces:
  • f(x) = dnorm(x,mu,sigma)
  • P(X≤k) = pnorm(x,mu,sigma)
  • qa=min{x:P(X≤x)≥a} = qnorm(a,mu,sigma)
  • rnorm(n,mu,sigma) genera n valores aleatorios N(μ,σ)

    • Supongamos que X≈N(200,50). Entonces: Calculamos f(150)

    dnorm(150,200,50)
    ## [1] 0.004839414

    Podemos hacer varios valores posibles

    x<-seq(0,400,by=0.5)
dnorm(x,200,50)
    ##   [1] 2.676605e-06 2.785700e-06 2.898951e-06 3.016505e-06 3.138513e-06
##   [6] 3.265128e-06 3.396512e-06 3.532829e-06 3.674250e-06 3.820950e-06
##  [11] 3.973109e-06 4.130915e-06 4.294560e-06 4.464240e-06 4.640161e-06
##  [16] 4.822532e-06 5.011569e-06 5.207495e-06 5.410541e-06 5.620941e-06
##  [21] 5.838939e-06 6.064785e-06 6.298736e-06 6.541059e-06 6.792024e-06
##  [26] 7.051914e-06 7.321015e-06 7.599626e-06 7.888050e-06 8.186603e-06
##  [31] 8.495605e-06 8.815390e-06 9.146296e-06 9.488675e-06 9.842887e-06
##  [36] 1.020930e-05 1.058829e-05 1.098026e-05 1.138560e-05 1.180471e-05
##  [41] 1.223804e-05 1.268600e-05 1.314904e-05 1.362763e-05 1.412221e-05
##  [46] 1.463329e-05 1.516134e-05 1.570688e-05 1.627042e-05 1.685250e-05
##  [51] 1.745365e-05 1.807444e-05 1.871544e-05 1.937724e-05 2.006043e-05
##  [56] 2.076563e-05 2.149347e-05 2.224459e-05 2.301967e-05 2.381937e-05
##  [61] 2.464438e-05 2.549542e-05 2.637322e-05 2.727850e-05 2.821205e-05
##  [66] 2.917462e-05 3.016701e-05 3.119005e-05 3.224455e-05 3.333137e-05
##  [71] 3.445138e-05 3.560546e-05 3.679452e-05 3.801949e-05 3.928132e-05
##  [76] 4.058096e-05 4.191941e-05 4.329768e-05 4.471679e-05 4.617779e-05
##  [81] 4.768176e-05 4.922979e-05 5.082300e-05 5.246252e-05 5.414952e-05
##  [86] 5.588517e-05 5.767069e-05 5.950730e-05 6.139627e-05 6.333886e-05
##  [91] 6.533638e-05 6.739016e-05 6.950155e-05 7.167192e-05 7.390267e-05
##  [96] 7.619524e-05 7.855107e-05 8.097164e-05 8.345846e-05 8.601305e-05
## [101] 8.863697e-05 9.133180e-05 9.409915e-05 9.694066e-05 9.985798e-05
## [106] 1.028528e-04 1.059269e-04 1.090819e-04 1.123197e-04 1.156420e-04
## [111] 1.190506e-04 1.225475e-04 1.261345e-04 1.298135e-04 1.335865e-04
## [116] 1.374553e-04 1.414221e-04 1.454888e-04 1.496575e-04 1.539302e-04
## [121] 1.583090e-04 1.627962e-04 1.673938e-04 1.721040e-04 1.769291e-04
## [126] 1.818713e-04 1.869328e-04 1.921159e-04 1.974231e-04 2.028565e-04
## [131] 2.084187e-04 2.141120e-04 2.199387e-04 2.259015e-04 2.320027e-04
## [136] 2.382449e-04 2.446305e-04 2.511622e-04 2.578425e-04 2.646740e-04
## [141] 2.716594e-04 2.788012e-04 2.861022e-04 2.935650e-04 3.011923e-04
## [146] 3.089869e-04 3.169516e-04 3.250890e-04 3.334020e-04 3.418934e-04
## [151] 3.505660e-04 3.594227e-04 3.684662e-04 3.776995e-04 3.871255e-04
## [156] 3.967471e-04 4.065671e-04 4.165885e-04 4.268143e-04 4.372473e-04
## [161] 4.478906e-04 4.587471e-04 4.698197e-04 4.811115e-04 4.926254e-04
## [166] 5.043644e-04 5.163315e-04 5.285297e-04 5.409620e-04 5.536313e-04
## [171] 5.665408e-04 5.796932e-04 5.930917e-04 6.067392e-04 6.206386e-04
## [176] 6.347930e-04 6.492053e-04 6.638784e-04 6.788153e-04 6.940188e-04
## [181] 7.094919e-04 7.252374e-04 7.412582e-04 7.575572e-04 7.741371e-04
## [186] 7.910008e-04 8.081511e-04 8.255906e-04 8.433221e-04 8.613484e-04
## [191] 8.796719e-04 8.982954e-04 9.172215e-04 9.364527e-04 9.559915e-04
## [196] 9.758404e-04 9.960018e-04 1.016478e-03 1.037272e-03 1.058385e-03
## [201] 1.079819e-03 1.101578e-03 1.123663e-03 1.146076e-03 1.168819e-03
## [206] 1.191894e-03 1.215303e-03 1.239048e-03 1.263131e-03 1.287553e-03
## [211] 1.312316e-03 1.337422e-03 1.362871e-03 1.388666e-03 1.414808e-03
## [216] 1.441297e-03 1.468136e-03 1.495325e-03 1.522865e-03 1.550758e-03
## [221] 1.579003e-03 1.607602e-03 1.636556e-03 1.665864e-03 1.695527e-03
## [226] 1.725546e-03 1.755921e-03 1.786652e-03 1.817740e-03 1.849183e-03
## [231] 1.880982e-03 1.913136e-03 1.945645e-03 1.978509e-03 2.011727e-03
## [236] 2.045298e-03 2.079222e-03 2.113497e-03 2.148122e-03 2.183095e-03
## [241] 2.218417e-03 2.254084e-03 2.290096e-03 2.326451e-03 2.363146e-03
## [246] 2.400180e-03 2.437551e-03 2.475256e-03 2.513293e-03 2.551659e-03
## [251] 2.590352e-03 2.629369e-03 2.668706e-03 2.708361e-03 2.748331e-03
## [256] 2.788611e-03 2.829199e-03 2.870091e-03 2.911283e-03 2.952770e-03
## [261] 2.994549e-03 3.036616e-03 3.078966e-03 3.121594e-03 3.164496e-03
## [266] 3.207667e-03 3.251101e-03 3.294794e-03 3.338741e-03 3.382935e-03
## [271] 3.427372e-03 3.472045e-03 3.516949e-03 3.562077e-03 3.607423e-03
## [276] 3.652982e-03 3.698746e-03 3.744708e-03 3.790863e-03 3.837203e-03
## [281] 3.883721e-03 3.930410e-03 3.977262e-03 4.024271e-03 4.071428e-03
## [286] 4.118725e-03 4.166156e-03 4.213711e-03 4.261383e-03 4.309163e-03
## [291] 4.357044e-03 4.405015e-03 4.453070e-03 4.501199e-03 4.549393e-03
## [296] 4.597643e-03 4.645940e-03 4.694275e-03 4.742639e-03 4.791022e-03
## [301] 4.839414e-03 4.887807e-03 4.936190e-03 4.984553e-03 5.032887e-03
## [306] 5.081181e-03 5.129426e-03 5.177611e-03 5.225726e-03 5.273761e-03
## [311] 5.321705e-03 5.369548e-03 5.417279e-03 5.464889e-03 5.512365e-03
## [316] 5.559698e-03 5.606876e-03 5.653890e-03 5.700727e-03 5.747378e-03
## [321] 5.793831e-03 5.840076e-03 5.886101e-03 5.931895e-03 5.977448e-03
## [326] 6.022749e-03 6.067786e-03 6.112548e-03 6.157025e-03 6.201206e-03
## [331] 6.245079e-03 6.288633e-03 6.331858e-03 6.374743e-03 6.417276e-03
## [336] 6.459447e-03 6.501245e-03 6.542660e-03 6.583679e-03 6.624294e-03
## [341] 6.664492e-03 6.704264e-03 6.743599e-03 6.782486e-03 6.820916e-03
## [346] 6.858877e-03 6.896360e-03 6.933354e-03 6.969850e-03 7.005838e-03
## [351] 7.041307e-03 7.076247e-03 7.110651e-03 7.144507e-03 7.177806e-03
## [356] 7.210539e-03 7.242698e-03 7.274272e-03 7.305253e-03 7.335633e-03
## [361] 7.365403e-03 7.394554e-03 7.423078e-03 7.450966e-03 7.478212e-03
## [366] 7.504807e-03 7.530743e-03 7.556014e-03 7.580611e-03 7.604527e-03
## [371] 7.627756e-03 7.650291e-03 7.672126e-03 7.693253e-03 7.713667e-03
## [376] 7.733362e-03 7.752332e-03 7.770572e-03 7.788075e-03 7.804838e-03
## [381] 7.820854e-03 7.836119e-03 7.850630e-03 7.864380e-03 7.877367e-03
## [386] 7.889587e-03 7.901035e-03 7.911708e-03 7.921604e-03 7.930719e-03
## [391] 7.939051e-03 7.946597e-03 7.953354e-03 7.959321e-03 7.964497e-03
## [396] 7.968878e-03 7.972465e-03 7.975256e-03 7.977250e-03 7.978447e-03
## [401] 7.978846e-03 7.978447e-03 7.977250e-03 7.975256e-03 7.972465e-03
## [406] 7.968878e-03 7.964497e-03 7.959321e-03 7.953354e-03 7.946597e-03
## [411] 7.939051e-03 7.930719e-03 7.921604e-03 7.911708e-03 7.901035e-03
## [416] 7.889587e-03 7.877367e-03 7.864380e-03 7.850630e-03 7.836119e-03
## [421] 7.820854e-03 7.804838e-03 7.788075e-03 7.770572e-03 7.752332e-03
## [426] 7.733362e-03 7.713667e-03 7.693253e-03 7.672126e-03 7.650291e-03
## [431] 7.627756e-03 7.604527e-03 7.580611e-03 7.556014e-03 7.530743e-03
## [436] 7.504807e-03 7.478212e-03 7.450966e-03 7.423078e-03 7.394554e-03
## [441] 7.365403e-03 7.335633e-03 7.305253e-03 7.274272e-03 7.242698e-03
## [446] 7.210539e-03 7.177806e-03 7.144507e-03 7.110651e-03 7.076247e-03
## [451] 7.041307e-03 7.005838e-03 6.969850e-03 6.933354e-03 6.896360e-03
## [456] 6.858877e-03 6.820916e-03 6.782486e-03 6.743599e-03 6.704264e-03
## [461] 6.664492e-03 6.624294e-03 6.583679e-03 6.542660e-03 6.501245e-03
## [466] 6.459447e-03 6.417276e-03 6.374743e-03 6.331858e-03 6.288633e-03
## [471] 6.245079e-03 6.201206e-03 6.157025e-03 6.112548e-03 6.067786e-03
## [476] 6.022749e-03 5.977448e-03 5.931895e-03 5.886101e-03 5.840076e-03
## [481] 5.793831e-03 5.747378e-03 5.700727e-03 5.653890e-03 5.606876e-03
## [486] 5.559698e-03 5.512365e-03 5.464889e-03 5.417279e-03 5.369548e-03
## [491] 5.321705e-03 5.273761e-03 5.225726e-03 5.177611e-03 5.129426e-03
## [496] 5.081181e-03 5.032887e-03 4.984553e-03 4.936190e-03 4.887807e-03
## [501] 4.839414e-03 4.791022e-03 4.742639e-03 4.694275e-03 4.645940e-03
## [506] 4.597643e-03 4.549393e-03 4.501199e-03 4.453070e-03 4.405015e-03
## [511] 4.357044e-03 4.309163e-03 4.261383e-03 4.213711e-03 4.166156e-03
## [516] 4.118725e-03 4.071428e-03 4.024271e-03 3.977262e-03 3.930410e-03
## [521] 3.883721e-03 3.837203e-03 3.790863e-03 3.744708e-03 3.698746e-03
## [526] 3.652982e-03 3.607423e-03 3.562077e-03 3.516949e-03 3.472045e-03
## [531] 3.427372e-03 3.382935e-03 3.338741e-03 3.294794e-03 3.251101e-03
## [536] 3.207667e-03 3.164496e-03 3.121594e-03 3.078966e-03 3.036616e-03
## [541] 2.994549e-03 2.952770e-03 2.911283e-03 2.870091e-03 2.829199e-03
## [546] 2.788611e-03 2.748331e-03 2.708361e-03 2.668706e-03 2.629369e-03
## [551] 2.590352e-03 2.551659e-03 2.513293e-03 2.475256e-03 2.437551e-03
## [556] 2.400180e-03 2.363146e-03 2.326451e-03 2.290096e-03 2.254084e-03
## [561] 2.218417e-03 2.183095e-03 2.148122e-03 2.113497e-03 2.079222e-03
## [566] 2.045298e-03 2.011727e-03 1.978509e-03 1.945645e-03 1.913136e-03
## [571] 1.880982e-03 1.849183e-03 1.817740e-03 1.786652e-03 1.755921e-03
## [576] 1.725546e-03 1.695527e-03 1.665864e-03 1.636556e-03 1.607602e-03
## [581] 1.579003e-03 1.550758e-03 1.522865e-03 1.495325e-03 1.468136e-03
## [586] 1.441297e-03 1.414808e-03 1.388666e-03 1.362871e-03 1.337422e-03
## [591] 1.312316e-03 1.287553e-03 1.263131e-03 1.239048e-03 1.215303e-03
## [596] 1.191894e-03 1.168819e-03 1.146076e-03 1.123663e-03 1.101578e-03
## [601] 1.079819e-03 1.058385e-03 1.037272e-03 1.016478e-03 9.960018e-04
## [606] 9.758404e-04 9.559915e-04 9.364527e-04 9.172215e-04 8.982954e-04
## [611] 8.796719e-04 8.613484e-04 8.433221e-04 8.255906e-04 8.081511e-04
## [616] 7.910008e-04 7.741371e-04 7.575572e-04 7.412582e-04 7.252374e-04
## [621] 7.094919e-04 6.940188e-04 6.788153e-04 6.638784e-04 6.492053e-04
## [626] 6.347930e-04 6.206386e-04 6.067392e-04 5.930917e-04 5.796932e-04
## [631] 5.665408e-04 5.536313e-04 5.409620e-04 5.285297e-04 5.163315e-04
## [636] 5.043644e-04 4.926254e-04 4.811115e-04 4.698197e-04 4.587471e-04
## [641] 4.478906e-04 4.372473e-04 4.268143e-04 4.165885e-04 4.065671e-04
## [646] 3.967471e-04 3.871255e-04 3.776995e-04 3.684662e-04 3.594227e-04
## [651] 3.505660e-04 3.418934e-04 3.334020e-04 3.250890e-04 3.169516e-04
## [656] 3.089869e-04 3.011923e-04 2.935650e-04 2.861022e-04 2.788012e-04
## [661] 2.716594e-04 2.646740e-04 2.578425e-04 2.511622e-04 2.446305e-04
## [666] 2.382449e-04 2.320027e-04 2.259015e-04 2.199387e-04 2.141120e-04
## [671] 2.084187e-04 2.028565e-04 1.974231e-04 1.921159e-04 1.869328e-04
## [676] 1.818713e-04 1.769291e-04 1.721040e-04 1.673938e-04 1.627962e-04
## [681] 1.583090e-04 1.539302e-04 1.496575e-04 1.454888e-04 1.414221e-04
## [686] 1.374553e-04 1.335865e-04 1.298135e-04 1.261345e-04 1.225475e-04
## [691] 1.190506e-04 1.156420e-04 1.123197e-04 1.090819e-04 1.059269e-04
## [696] 1.028528e-04 9.985798e-05 9.694066e-05 9.409915e-05 9.133180e-05
## [701] 8.863697e-05 8.601305e-05 8.345846e-05 8.097164e-05 7.855107e-05
## [706] 7.619524e-05 7.390267e-05 7.167192e-05 6.950155e-05 6.739016e-05
## [711] 6.533638e-05 6.333886e-05 6.139627e-05 5.950730e-05 5.767069e-05
## [716] 5.588517e-05 5.414952e-05 5.246252e-05 5.082300e-05 4.922979e-05
## [721] 4.768176e-05 4.617779e-05 4.471679e-05 4.329768e-05 4.191941e-05
## [726] 4.058096e-05 3.928132e-05 3.801949e-05 3.679452e-05 3.560546e-05
## [731] 3.445138e-05 3.333137e-05 3.224455e-05 3.119005e-05 3.016701e-05
## [736] 2.917462e-05 2.821205e-05 2.727850e-05 2.637322e-05 2.549542e-05
## [741] 2.464438e-05 2.381937e-05 2.301967e-05 2.224459e-05 2.149347e-05
## [746] 2.076563e-05 2.006043e-05 1.937724e-05 1.871544e-05 1.807444e-05
## [751] 1.745365e-05 1.685250e-05 1.627042e-05 1.570688e-05 1.516134e-05
## [756] 1.463329e-05 1.412221e-05 1.362763e-05 1.314904e-05 1.268600e-05
## [761] 1.223804e-05 1.180471e-05 1.138560e-05 1.098026e-05 1.058829e-05
## [766] 1.020930e-05 9.842887e-06 9.488675e-06 9.146296e-06 8.815390e-06
## [771] 8.495605e-06 8.186603e-06 7.888050e-06 7.599626e-06 7.321015e-06
## [776] 7.051914e-06 6.792024e-06 6.541059e-06 6.298736e-06 6.064785e-06
## [781] 5.838939e-06 5.620941e-06 5.410541e-06 5.207495e-06 5.011569e-06
## [786] 4.822532e-06 4.640161e-06 4.464240e-06 4.294560e-06 4.130915e-06
## [791] 3.973109e-06 3.820950e-06 3.674250e-06 3.532829e-06 3.396512e-06
## [796] 3.265128e-06 3.138513e-06 3.016505e-06 2.898951e-06 2.785700e-06
## [801] 2.676605e-06

    Con esto también podemos graficar

    curve(dnorm(x,200,50),xlim=c(0,400),col="blue",lwd=2,
      xlab="x",ylab="f(x)",main="Función de Densidad N(200,50)")

    Calculamos la probabilidad P(X≤180)

    pnorm(180,200,50)
    ## [1] 0.3445783

    P(X>168)

    1-pnorm(168,200,50)
    ## [1] 0.7389137
    pnorm(168,200,50, lower.tail=FALSE)
    ## [1] 0.7389137

    P(150≤X≤168)

    pnorm(168,200,50)-pnorm(150,200,50)
    ## [1] 0.102431