Distribución hipergeométrica

Una empresa fabrica fusibles que empaca en cajas de doce unidades cada una.

Asuma que un inspector selecciona al azar tres de los doce fusibles de una caja para inspeccionarlos.

Si la caja contiene exactamente cinco fusibles defectuosos,

¿cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que uno defectuoso de los tres fusibles?

library(gtools)

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1. Determinar la probabilidad bajo la distribución hipergeométrica cuando

\(x=1\)

N <- 12 ; n <- 3; r <- 5; x <- 1
round(nrow(combinations(r,x)) * nrow(combinations(N-r, n - x)) / nrow(combinations(N,n)),4)

## [1] 0.4773

x<-1     
m <- r  
k <- n   
n <- N-m 
dhyper(x = x,m = m, k = k, n = n)

## [1] 0.4772727

2. Construir la tabla de distribución

• Punto uno: se realiza las probabilidades para cada valor de la variable discreta mediante dhyper()

prob.x <- round(dhyper(x = 0:k,m = m, k = k, n = n),4)
prob.x

## [1] 0.1591 0.4773 0.3182 0.0455

• Punto dos: Se generan las probabilidades acumuladas de cada valor de la variable discreta desde 0 hasta k mediante phyper()

prob.acum.x <- round(phyper(q = 0:k,m = m, k = k, n = n),4)
prob.acum.x

## [1] 0.1591 0.6364 0.9545 1.0000

• Punto tres: Se determina la tabla de probabilidad desde x=0 hasta x=1,2…k

tabla <- data.frame(1:(k+1), 0:k, prob.x, prob.acum.x)
colnames(tabla) <- c("pos","x", "prob.x", "prob.acum.x")
tabla

##   pos x prob.x prob.acum.x
## 1   1 0 0.1591      0.1591
## 2   2 1 0.4773      0.6364
## 3   3 2 0.3182      0.9545
## 4   4 3 0.0455      1.0000

3. ¿Cuál es la probabilidad de hallar por lo menos un fusible defectuoso?

• Se determina mediante uno menos la probabilidad de p(0) o sea \(1−F(x=0)\)

x<-0     

1 - dhyper(x = x,m = m, k = k, n = n)

## [1] 0.8409091

• O por medio de la tabla de distribución generada previamente

1 - tabla$prob.acum.x[1]

## [1] 0.8409

4. Determinar la esperanza o media dada por:

\(\mu=kp\)

u<- n*(r/N)
u

## [1] 2.916667

5. Determinar la varianza dada por

\[var(x)=kp(1−p)∗(m+n−k)/(m+n−1)\]

var<- (n*(r/N))*(1-r/N)*(m+n-n)/(m+n-1)
var

## [1] 0.7733586

6. Determinar la desviación std dada por

\(σ=√var(x)\)

desv.std <- sqrt(var)
desv.std

## [1] 0.8794081