TESLA Modelos ARCH-GARCH
Ana Lorena Jiménez Preciado
02 de mayo de 2020
TESLA es una compañía que se dedica al diseño y fabricación de autos. A diferencia de otras empresas, TESLA produce autos eléctricos que contienen baterías de energía renovable con una alta capacidad de almacenamiento.
TESLA tiene su matriz principal en Silicon Valley, California, sin embargo, al 2020 cuenta fabricas alrededor del mundo y sus acciones cotizan en diferentes bolsas como en el NASDAQ de Estados Unidos, en Bolsa Mexicana y BIVA para México, en la bolsa de Frankfurt y XETRA de Alemania, en la bolsa de Milán, la de Viena y la de Argentina.
TESLA es liderada por Elon Musk y el nombre de la compañía se le atribuye en honor al ingeniero Nikola Tesla, quien es fuertemente reconocido por sus hallazgos en el campo del electromagnetismo.
Comportamiento de la acción de TESLA
La acción de TESLA comenzó a cotizar en Estados Unidos desde mediados de 2010, sin embargo, de 2015 a 2019 el precio se mantuvo fluctuando entre los 150 y 370 dólares americanos. A finales de 2019, el boom en el precio de TESLA llamó la atención de muchos inversionistas ya que la acción rebasó los 500 dlls y en el primer trimestre de 2020, a pesar de la emergencia sanitaria provocada por el COVID-19, la acción alcanzó su máximo histórico superando los 900dlls.
Previo a la contingencia, el aumento tan abrupto de la acción de TESLA fue atribuida a su expansión en China y la fabricación de carros americanos más asequibles para los chinos, además, sus reportes trimestrales de 2019 denotaban fortaleza de TESLA en liquidez y suficiente capital para endeudarse en su expansión, aunada a una mayor demanda de carros eléctricos[1].
Figura 1. Precio de Cierre de TESLA: enero 2015 - abril 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Respecto a los rendimientos registrados para TESLA, se pueden observar 3 clústeres de volatilidad en la serie: el primero se presenta a finales de 2015 donde se registraron rendimientos de ±10%; la siguiente aglomeración es en octubre de 2018 donde TESLA alcanzó a registrar rendimientos de ±15% y finalmente, su clúster de volatilidad más acentuado es durante el primer trimestre de 2020 cuando TESLA comenzó a registrar incrementos considerables llegando a obtener rendimientos de ±20% en un solo día.
Figura 2. Rendimientos logarítmicos de TESLA: enero 2015 - abril 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Análisis de la volatilidad (rendimientos) de TESLA
¿Por qué los clústeres de volatilidad de las acciones se pueden modelar con especificaciones ARCH-GARCH?
Los modelos Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (ARCH) propuestos por Engle2 sirven para modelar la volatilidad de una serie. Los modelos como los ARMA y los ARIMA se asumen lineales, por ejemplo, considera un modelo ARMA (1,0):
\[y_t=\beta_0+\beta_1y_{t-1}+u_t\] Donde \(y_t\) representa el precio de cierre de TESLA; la acción en este ejemplo se explica por un autorregresivo de orden 1, o bien, se puede interpretar que \(y_t\) es explicada por el precio del periodo anterior (suponiendo que estamos modelando cotizaciones con frecuencia diaria, la interpretación sería que el comportamiento del precio de cierre se ve explicado por el precio del día anterior y ese peso nos lo indicaría el parámetro \(\beta\)).
Asimismo, se asume que \(u_t \sim N(0,\sigma ^{2})\), es decir, que el término de error de distribuye como una normal con media cero y varianza constante. Sin embargo, las series financieras se caracterizan por ser series no lineales.
Entonces ¿cómo podemos modelar una serie de tiempo no lineal? Un modelo particularmente no lineal y que se utiliza ampliamente en las finanzas son los Modelos Autorregresivos Condicionalmente Heterocedásticos (ARCH).
La varianza condicional
Uno de los supuestos que se asumen en un modelo clásico de regresión lineal es que \(u_t \sim N(0,\sigma ^{2})\), es decir, la varianza de los errores es constante, o también se puede decir que es homocedástico. En este sentido, los modelos ARCH asumen que la varianza no es constante, además, dichos modelos permiten modelar la aglomeración o clúster de volatilidad que se presentan en los rendimientos de los activos financieros.
La varianza condicional de \(u_t\) se puede expresar como \(\sigma _{t}^{2}\):
\[ \sigma_{t}^{2}=var(u_t|u_{t-1},u_{t-2},...,u_{t-q}) = E[(u_t-E(u_t))^{2}|u_{t-1},u_{t-2},...,u_{t-q}]\]
Sin embargo, se asume que \(E(u_t)=0\), por lo tanto:
\[ \sigma_{t}^{2}=var(u_t|u_{t-1},u_{t-2},...,u_{t-q}) = E[u_{t}^{2}|u_{t-1},u_{t-2},...,u_{t-q}]\] La ecuación anterior indica que la varianza condicional de una variable aleatoria (que se distribuye normalmente y que tiene media cero) es igual a la varianza condicional del residuo al cuadrado. En los modelos ARCH,la autocorrelación en la volatilidad es modelada permitiendo que la varianza condicional del término de error, \(\sigma_{t}^{2}\), dependa del valor anterior del error al cuadrado:
\[\sigma_{t}^{2}= \omega + \alpha _1u_{t-1}^{2}\]
El modelo anterior se conoce como ARCH(1) ya que la varianza condicional depende solo de un rezago del error al cuadrado. El modelo propuesto en la ecuación anterior se puede extender al caso general, donde la varianza del error depende de \(q\) rezagos de los errores al cuadrado. Esto se conoce como el modelo ARCH\((q)\).
\[ \sigma_{t}^{2}= \omega+ \alpha _1u_{t-1}^{2}+\alpha _2u_{t-2}^{2}+...+\alpha _qu_{t-q}^{2}\]
En la literatura, por lo general se utiliza la letra griega Eta \((\eta )\) para denotar la varianza condicional \(\sigma_{t}^{2}=\eta_t\). Considerando la ecuación del modelo ARMA(1,0) y la ecuación del ARCH(1), se tiene:
\[y_t=\beta_1+\beta_1y_{t-1}+u_t \qquad u_t \sim N(0,\eta)\]
\[ \eta_t = \omega + \alpha _1u_{t-1}^{2}\]
Condiciones que deben satisfacer los modelos ARCH
No negatividad: Dado que \(\eta_t\) es la varianza condicional, su valor siempre debe ser estrictamente positivo (recuerde que la varianza condicional es el cuadrado de los errores). Se debe satisfacer que \(\omega \geq 0\) y \(\alpha_1 \geq 0\). Para el caso general ARCH\((q)\) se debe cumplir que \(\alpha_i \geq 0 \forall i=1,2,...,q\).
Confirmar que hay efectos ARCH en las series: En esta prueba, la hipótesis nula es que hay efectos ARCH, es decir, que los \(q\) rezagos de los errores al cuadrado son significativos (o que son distintos de 0) en la serie, de esta forma se justifica que se puede modelar con un modelo de varianza condicional.
La sumatoria de los parámetros no puede ser mayor a 1: si la suma de los valores que reportan los parámetros del modelo es mayor uno, la volatilidad de la serie explota con el tiempo, en otras palabras, el modelo es inestable.
Limitaciones de los modelos ARCH
1. No hay una forma precisa de calcular el número de rezagos óptimos \((q)\) para el modelo ARCH.
2. El valor de \((q)\), es decir, el número de rezagos del error al cuadrado que es requerido para capturar toda la dependencia en la varianza condicional, puede llegar a ser muy largo, esto resultaría en un modelo de varianza condicional que no es parsimonioso.
3. Lo anterior (tener muchos rezagos \(q\)) puede llegar a ocasionar que uno de los coeficientes se vuelva negativo, lo cual no tendría sentido en la interpretación.
Modelos GARCH
Los modelos Generalizados Autorregresivos Condicionales Heterocedásticos (GARCH) son una extensión del modelo ARCH con la diferencia de que \(\sigma_{t}^{2}\) se vuelve recursivo.
El modelo GARCH se desarrolló, en trabajos independientes, por Tim Bollerslev[3] (1986) y Stephen Taylor[4] (1986). El modelo GARCH permite que la varianza condicional sea dependiente de sus propios rezagos. La ecuación de la varianza condicional es:
\[\sigma_{t}^{2}=\omega+\alpha_{1}u_{t-1}^{2}+\beta_{1}{\sigma_{p-1}^{2}} \qquad (1)\]
Este es el modelo GARCH (1,1), \(\sigma_{t}^{2}\) es conocida como la varianza condicional ya que es una estimación anticipada de la varianza calculada. El uso de los modelos GARCH permite interpretar:
- la varianza ajustada (recordar que:\(\eta_{t} = \sigma_{t}^{2}\))
- \(\omega\) como una función ponderada de un promedio de largo plazo
- la información de la volatilidad previa representada por \(\alpha_{1}u_{t-1}^{2}\)
- y la varianza ajustada del modelo del periodo anterior \(\beta_{1}{\sigma_{p-1}^{2}}\)
De hecho, el modelo GARCH se puede expresar de tal manera que representa un modelo ARMA para modelar la varianza condicional. Para demostrar esto, considera que los residuales al cuadrado \(u_{t-1}^{2}\) en relación a su varianza condicional \(\sigma_{t}^{2}\) está dado por:
\[\varepsilon_{t} = u_{t}^{2}-\sigma_{t}^{2}\]
Despejamos la varianza condicional \(\sigma_{t}^{2}\)
\[\sigma_{t}^{2}= u_{t}^{2}-\varepsilon_{t} \qquad (2)\]
Sustituimos ecuación (2) en (1)
\[u_{t}^{2}-\varepsilon_{t} = \omega + \alpha_{1}u_{t-1}^{2} + \beta (u_{t-1}^{2}-\varepsilon_{t-1})\]
Ordenamos:
\[u_{t}^{2} = \omega + \alpha_{1}u_{t-1}^{2} + \beta u_{t-1}^{2}-\beta\varepsilon_{t-1} +\varepsilon_{t}\]
Sacamos factor común \(u_{t-1}^{2}\)
\[u_{t}^{2} = \omega + (\alpha_{1} + \beta)u_{t-1}^{2} -\beta\varepsilon_{t-1} +\varepsilon_{t} \qquad (3)\]
La ecuación (3) representa un proceso ARMA (1,1) sobre los errores al cuadrado.
¿Por qué los modelos GARCH se consideran mejores y son más utilizados que los ARCH?
En concreto, los modelos GARCH son más parsimoniosos y evitan el sobreajuste. En consecuencia, es menos probable que el modelo quebrante las restricciones de no negatividad.
Así, el modelo GARCH (1,1), contiene solo tres parámetros en la ecuación de varianza condicional y permite incluir un número infinito de errores al cuadrado rezagados para influir en la varianza condicional actual.
El modelo GARCH (1,1) se puede extender a un modelo GARCH \((p,q)\) donde la varianza condicional actual se parametriza para depender de \(q\) rezagos del error al cuadrado y los \(p\) rezagos de la varianza condicional:
\[\sigma_{t}^{2}=\omega+\alpha_{1}u_{t-1}^{2}+\alpha_{2}u_{t-2}^{2}+...+\alpha_{q}u_{t-q}^{2}+\beta_{1}\sigma_{t-1}^{2} +\beta_{2}\sigma_{t-2}^{2}+...+\beta_{p}\sigma_{t-p}^{2}\]
De manera general, un GARCH(q,p) se denota como:
\[\sigma_{t}^{2}=\omega+\sum_{i=1}^{q}\alpha_{1}u_{i-1}^{2}+ \sum_{i=1}^{p}\beta_{1}{\sigma_{j-1}^{2}}\]
Aunque, usualmente un modelo GARCH (1,1) será suficiente para capturar los clústeres o concentraciones de volatilidad en los datos.
Aplicación de Modelos ARCH-GARCH para TESLA
A continuación, se hace uso de los modelos ARCH-GARCH para explicar y simular los rendimientos de Tesla. Retomando la figura 2 de la primera sección, los rendimientos de TESLA presentan 3 aglomeraciones de volatilidad importantes: 1) finales de 2015 donde se disparó la volatilidad a un rango de ±10%, 2) último trimestre de 2018 con rendimientos de ±17%, y 3), la volatilidad de locura registrada en el primer trimestre de 2020 (y contado), con registros de hasta ±20%. Todo esto derivado de la expansión de TESLA hacia China desde 2018, su dominio de mercado sobre autos eléctricos sustentables y la fuerte inversión en desarrollo tecnológico que ha hecho a TESLA una empresa sólida.
Pruebas de raíces unitarias sobre los rendimientos
Se aplican Dickey-Fuller, Phillips Perrón y prueba KPPS para verificar la presencia de raíces unitarias sobre los rendimientos de TESLA (y garantizar las condiciones de estacionariedad).
Tabla 1. Prueba de raíces unitarias sobre los rendimientos de TESLA
| Prueba | Valor p | H0 | Resultado |
|---|---|---|---|
| Dickey Fuller | 0.01 | La serie tiene raíz unitaria | Rechazo H0 |
| Phillips Perron | 0.01 | La serie tiene raíz unitaria | Rechazo H0 |
| KPSS | 0.1 | La serie es estacionaria | No Rechazo H0 |
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Los resultados de las pruebas de la serie de TESLA en rendimientos indican que no hay presencia de raíces unitarias y confirman la estacionariedad de la variable, sin embargo, el gráfico 2 muestra que las aglomeraciones de volatilidad de TESLA, a pesar de que tienen un proceso de reversión a la media, su varianza no es constante en el tiempo, por lo que modelar los rendimientos a través de modelos ARMA podría presentar resultados débiles a comparación de modelar la varianza con un modelo no lineal que permita capturar los clústeres. Justo aquí es donde entran los modelos de volatilidad.
Autocorrelación de los rendimientos de TESLA y prueba ARCH
Lo primero que se va a analizar es la autocorrelación que existe sobre los rendimientos al cuadrado de TESLA, esto permite ver los posibles efectos de memoria que puede tener la serie de tiempo.
Figura 3. Autocorrelación de los rendimientos logarítmicos de TESLA
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Para asegurarse de que un modelo de volatilidad es pertinente, se prueba si hay efectos ARCH. La prueba de efectos ARCH se basa en multiplicadores de Lagrange para descomponer la varianza de la serie e identificar si sus rezagos son significativos. Si esto es así, entonces la aplicación de modelos de volatilidad es apropiada y justificada. El resultado de la prueba se observa en la tabla 2.
Tabla 2. Prueba de efectos ARCH
| Prueba | Valor p | H0 | Resultado |
|---|---|---|---|
| ARCH test | 2.20E-16 | La serie No tiene efectos ARCH | Rechazo H0 |
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Al rechazar la H0, se comprueban los efectos ARCH en los rendimientos de TESLA.
Modelos ARCH
El primer modelo a implementar es un ARCH 1
\[\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}}\]
El resultado obtenido es:
\[\sigma_{t}^{2}=0.0009+0.1362u_{t-1}^{2}\]
La volatilidad de TESLA se explica en un 13.63% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior. En el caso de \(\omega\) que representa básicamente el intercepto de la ecuación de la varianza, es 0 y tiene bastante sentido ya que se están modelando los rendimientos, aunado al efecto de reversión a la media.
La caracterización o modelación de la varianza con el ARCH(1) se presenta en la figura 4:
Figura 4. ARCH(1) vs rendimientos
Fuente: elaboración propia con salida de R.
El siguiente modelo a implementar es un ARCH 2
\[\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} + \underset{ARCH(2)}{\underbrace{\alpha_{2}u_{t-2}^{2}}}\]
El resultado obtenido es:
\[\sigma_{t}^{2}=0.0007+0.1037u_{t-1}^{2}+0.1718u_{t-2}^{2}\]
La volatilidad de TESLA se explica en un 10.37% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior y en un 17.18% por la volatilidad de hace dos días. De manera conjunta, el modelo ARCH(2) captura poco más del 27% de la volatilidad de TESLA
La caracterización o modelación de la varianza con el ARCH(2) se presenta en la figura 5:
Figura 5. ARCH(2) vs rendimientos
Fuente: elaboración propia con salida de R.
El siguiente modelo a implementar es un ARCH 3
\[\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} + \underset{ARCH(2)}{\underbrace{\alpha_{2}u_{t-2}^{2}}} + \underset{ARCH(3)}{\underbrace{\alpha_{3}u_{t-3}^{2}}}\]
El resultado obtenido es:
\[\sigma_{t}^{2}=0.0006+0.0722u_{t-1}^{2}+0.1699u_{t-2}^{2}+0.1860u_{t-3}^{2}\]
La volatilidad de TESLA se explica en un 7.22% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior y en un 16.99% por la volatilidad de hace dos días y en un 18.60% por la volatilidad de hace 3 días. De manera conjunta, el modelo ARCH(3) captura poco más del 43% de la volatilidad de TESLA
La caracterización de la varianza con el ARCH(3) se presenta en la figura 6:
Figura 6. ARCH(3) vs rendimientos
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Hasta este punto, los modelos ARCH(1), ARCH(2) y ARCH(3) cumplen con todas las condiciones: la sumatoria de los parámetros es menor a 1, son significativos y no son negativos.
Esto está por cambiar con el ARCH(4) El modelo implementado es:
\[\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} + \underset{ARCH(2)}{\underbrace{\alpha_{2}u_{t-2}^{2}}} + \underset{ARCH(3)}{\underbrace{\alpha_{3}u_{t-3}^{2}}} + \underset{ARCH(4)}{\underbrace{\alpha_{4}u_{t-4}^{2}}} \]
El resultado obtenido es:
\[\sigma_{t}^{2}=0.0006+0.0722u_{t-1}^{2}+0.1699u_{t-2}^{2}+0.1860u_{t-3}^{2}+0.0000u_{t-3}^{2}\]
La volatilidad de TESLA se explica en un 7.22% por la volatilidad (o rendimientos) de un día anterior y en un 16.99% por la volatilidad de hace dos días y en un 18.60% por la volatilidad de hace 3 días. De manera conjunta, el modelo ARCH(3) captura poco más del 43% de la volatilidad de TESLA
La caracterización de la varianza con el ARCH(4) se presenta en la figura 7:
Figura 7. ARCH(4) vs rendimientos
Fuente: elaboración propia con salida de R.
El problema con el ARCH(4) es que, a pesar de que la sumatoria de los parámetros sigue siendo = 1, el parámetro del ARCH 4 no es significativo, además, conforme se incluyen más rezagos en el componente ARCH, se están metiendo más varianza , el modelo se hace menos parsimonioso y esto puede llevar a problemas de sobreajuste.
Modelos GARCH
Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(1,1):
\[\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} + \underset{GARCH(1)}{\underbrace{\beta_{1}\sigma_{t-1}^{2}}} \]
El resultado obtenido es:
\[\sigma_{t}^{2}=0.0006+0.0306u_{t-1}^{2}+0.9683\sigma_{t-1}^{2}\]
La volatilidad de TESLA (aquí la vamos a nombrar como varianza condicional) se explica en un 3.06% por la volatilidad de un día anterior y en un 96.83% por la varianza ajustada de un periodo
¿Por qué varianza condicional? Porque la volatilidad o los rendimientos de TESLA dependen (están condicionados) de la varianza rezagada, es decir, depende del tiempo.
La caracterización de la varianza con el GARCH(1,1) se presenta en la figura 8:
Figura 8. GARCH(1,1) vs rendimientos
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(1,2):
\[\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} + \underset{GARCH(1)}{\underbrace{\beta_{1}\sigma_{t-1}^{2}}} + \underset{GARCH(2)}{\underbrace{\beta_{2}\sigma_{t-2}^{2}}}\]
El resultado obtenido es:
\[\sigma_{t}^{2}=0.0000+0.0417u_{t-1}^{2}+0.5533\sigma_{t-1}^{2}+0.4038\sigma_{t-2}^{2}\]
La varianza condicional se explica en un 4.17% por la volatilidad de un día anterior, en un 55.33% por la varianza ajustada de un periodo y en un 40.38% por la varianza ajustada rezagada 2 periodos.
La caracterización de la varianza con el GARCH(1,2) se presenta en la figura 9:
Figura 9. GARCH(1,2) vs rendimientos
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Ahora, se hace el ajuste con un GARCH(2,1):
\[\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} + \underset{ARCH(2)}{\underbrace{\alpha_{2}u_{t-2}^{2}}}+ \underset{GARCH(1)}{\underbrace{\beta_{1}\sigma_{t-1}^{2}}}\]
El resultado obtenido es:
\[\sigma_{t}^{2}=0.0000+0.0306u_{t-1}^{2}+0.0000u_{t-2}^{2}+0.9683\sigma_{t-1}^{2}\]
La varianza condicional se explica en un 3.06% por la volatilidad de un día anterior y en un 96.83% por la varianza ajustada rezagada 1 periodo. Sin embargo, el componente ARCH(2) no es significativo.
La caracterización de la varianza con el GARCH(2,1) se presenta en la figura 10:
Figura 10. GARCH(2,1) vs rendimientos
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Finalmente, se hace el ajuste con un GARCH(2,2):
\[\sigma_{t}^{2}=\omega+\underset{ARCH(1)}{\underbrace{\alpha_{1}u_{t-1}^{2}}} + \underset{ARCH(2)}{\underbrace{\alpha_{2}u_{t-2}^{2}}}+ \underset{GARCH(1)}{\underbrace{\beta_{1}\sigma_{t-1}^{2}}}+ \underset{GARCH(2)}{\underbrace{\beta_{2}\sigma_{t-2}^{2}}}\]
El resultado obtenido es:
\[\sigma_{t}^{2}=0.0000+0.0428u_{t-1}^{2}+0.0131u_{t-2}^{2}+0.0802\sigma_{t-1}^{2}+0.8627\sigma_{t-2}^{2}\]
La varianza condicional se explica en un 4.28% por la volatilidad de un día anterior y en un 1.31% por la volatilidad de dos días (aunque en los resultados asociados al valor p, el componente ARCH(2) no es significativo); también se explica en un 8.02% por la varianza ajustada rezagada 1 periodo y en un 86.27% por la varianza ajustada de dos periodos.
La caracterización de la varianza con el GARCH(2,2) se presenta en la figura 9:
Figura 11. GARCH(2,2) vs rendimientos
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Selección de modelo y simulación de los rendimientos
Para elegir el mejor modelo, se presentan los resultados de los parámetros obtenidos de todas LAS especificaciones ARCH y GARCH, así como el criterio de información de Akaike y el criterio bayesiano de Schwarz de los mismos.
| MODELO | \(\omega\) | \(\alpha_{1}\) | \(\alpha_{2}\) | \(\alpha_{3}\) | \(\alpha_{4}\) | \(\beta_{1}\) | \(\beta_{2}\) | AKAIKE | BAYES |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ARCH(1) | 0.0009 | 0.1362 | -4.0576 | -4.0498 | |||||
| ARCH(2) | 0.0007 | 0.1037 | 0.1718 | -4.1169 | -4.1052 | ||||
| ARCH(3) | 0.0006 | 0.0722 | 0.1699 | 0.1861 | -4.1594 | -4.1439 | |||
| ARCH(4) | 0.0006 | 0.0720 | 0.1697 | 0.1877 | 0.0000 | -4.1578 | -4.1384 | ||
| GARCH(1,1) | 0.0000 | 0.0306 | 0.9684 | -4.2014 | -4.1898 | ||||
| GARCH(1,2) | 0.0000 | 0.0417 | 0.5534 | 0.4039 | -4.2012 | -4.1856 | |||
| GARCH(2,1) | 0.0000 | 0.0307 | 0.0000 | 0.9683 | -4.2002 | -4.1847 | |||
| GARCH(2,2) | 0.0000 | 0.0428 | 0.0131 | 0.0803 | 0.8628 | -4.1999 | -4.1805 |
Se elige el ARCH(3) y el GARCH(1,1) como los mejores modelos (de acuerdo a los criterios de información) de cada familia para simular los rendimientos de TESLA a partir de los parámetros obtenidos.
La figura 12 muestra los resultados de la simulación.
Figura 12. Simulación del ARCH(3) y GARCH (1,1) vs rendimientos
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Para simular las series, se generan números aleatorios del tamaño de la muestra descargada (1339 datos) y se utilizan los parámetros obtenidos del ARCH(3) y el GARCH(1,1) para simular los rendimientos de TESLA. De esta manera, se logra caracterizar la volatilidad de los rendimientos de TESLA a partir de modelos ARCH-GARCH.
Reflexión final
Los modelos ARCH-GARCH permiten explicar la volatilidad de los activos financieros a partir de la varianza condicional, es decir, a partir de la varianza rezagada.
Por un lado, el componente ARCH indica la estructura de dependencia con los rendimientos o volatilidad pasada para explicar el activo en tanto que el componente GARCH explica la varianza ajustada del modelo.
En este caso, se utilizó como ejemplo los rendimientos de TESLA y estimando diversas espeficicaiones, se concluye que los modelos que mejor caracterizan la volatilidad de TESLA son el ARCH(3) y el GARCH(1,1). Este es solo el inicio del poder y bondades que ofrecen estos modelos.
Referencias
[1] Fast Company. (2020). Tesla’s stock keeps going up—here’s why. Recuperado el 21 de marzo de 2020, de https://www.fastcompany.com/90451473/teslas-stock-keeps-going-up-heres-why
[2] Engle, Robert (1982). Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance in the United Kingdom. Econométrica, 50(4), 987-1008. Disponible en: http://www.econ.uiuc.edu/~econ536/Papers/engle82.pdf
[3] Tim, Bollerslev (1986). Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31, 307-327. Disponible en: https://public.econ.duke.edu/~boller/Published_Papers/joe_86.pdf
[4] Taylor, Stephen (1986). Modelling financial time series, John Wiley & Sons, Chichester.