Determinar probabilidades para la distribución binomial

CASO

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Hallar la probabilidad de que en un grupo de cuatro amigos que son aficionados a la lectura, dos hayan leido la novela.

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/distribucion-binomial/funcion-de-probabilidad-de-la-distribucion-binomial.html

Objetivo

  • Identificar las variables, probabilidad y n para caso Binomial
    1. La probabilidad de que no sea leía la novela del grupo de cuatro amigos \(p(x=0)\).
    1. La probabilidad de que exactamente 2 personas del grupo de 4 amigos hayan leido la novela se representa por \(p(x=2)\).
    1. La probabilidad de que a lo más dos personas del grupo de 4 amigos hayan leido la novela se representa por \(p(x≤2)=p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)\).,
    1. La probabilidad de que al menos dos personas del grupo de cuatro amigos hayan leido la novela se representa por \(p(x≥2)=p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)\)
    1. La probabilidad de que sea leido de entre dos y tres personas que está dada por \(p(x≤3)−p(x≤1)\)
    1. Genera tabla de distribución con x, prob y prob acumulada
    1. Gráfica de barra para variables discretas 0:3
    1. Gráfica acumulada
    1. Valor esperado o media
    1. Varianza
    1. Desviación std

Identificar las variables, probabilidad y n para caso Binomial

La probabilidad de que una persona haya leido el libro es de \(p=0.8\), por lo que la probabilidad de que no lo haya leido es de \(q=0.2\)

n <- 4
prob <- 0.80

La fórmula de la Distribución Binomial

\(p(x;n;p) = \binom nxp^xq^(n-x); x=0,1,2...n\)

Fórmula de Combinaciones

\(\binom nx=\frac{n!}{x!(n-x)!}\)

1. La probabilidad de que no sea leía l anovela del grupo de cuatro amigos \(p(x=0)\)

Para cuando \(x=0\) Se determina la función o probabilidad para cuando \(x=0\) confome a la fórmula y luego conforme a la funcion de R: dbinom(). El resultado es el mismo

x <- 0
n <- 4
p <- prob
q = 1 - p
(factorial(n) / (factorial(x) * factorial(n-x))) * p^x * (1-p)^(n-x)
## [1] 0.0016
#o bien
dbinom(x = 0, size = n, prob = prob)
## [1] 0.0016

2. La probabilidad de que exactamente 2 personas del grupo de 4 amigos hayan leido la novela se representa por \(p(x=2)\)

x <- 2
dbinom(x,n,prob)
## [1] 0.1536

3. La probabilidad de que a lo más dos personas del grupo de 4 amigos hayan leido la novela se representa por \(p(x≤2)=p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)\)

x<-2
pbinom(x,n,prob)
## [1] 0.1808

4. La probabilidad de que al menos dos personas del grupo de cuatro amigos hayan leido la novela se representa por \(p(x≥2)=p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)\)

x<-1
1 - pbinom(x,n,prob)
## [1] 0.9728

5. La probabilidad de que sea leido de entre dos y tres personas que está dada por \(p(x≤3)−p(x≤1)\)

pbinom(3,n,prob) - pbinom(1,n,prob)
## [1] 0.5632

6. Genera tabla de distribución con x, prob y prob acumulada

tabla <- data.frame(c(0:4),dbinom(0:4,n,prob), pbinom(0:4,n,prob))

colnames(tabla) <- c("x", "prob.x", "prob.acum.x")
tabla
##   x prob.x prob.acum.x
## 1 0 0.0016      0.0016
## 2 1 0.0256      0.0272
## 3 2 0.1536      0.1808
## 4 3 0.4096      0.5904
## 5 4 0.4096      1.0000

7.Gráfica de barra para variables discretas 0:3

barplot(height = tabla$prob.x, names.arg = tabla$x,
        xlab = "Valores de x",
        ylab = "Probabilidades")

8. Gráfica acumulada

plot(tabla$x, tabla$prob.acum.x, type = "b",
     xlab = "Valores de x",
        ylab = "Probabilidad acumulada")

Estadísticos

9. Valor esperado o media en distribución binomial

\(\mu = np\)

v.e <- n * prob
v.e
## [1] 3.2

10. Varianza en distribución binomial

\(\sigma^2 = npq\)

vari <- n * p * q
vari
## [1] 0.64

11. Desviación std en distribución binomial

\(\sqrt{\sigma^2}\)

desv.std <- sqrt(vari)
desv.std
## [1] 0.8