Motivácia

Miestnosť je reprezentovaná skalárnym poľom T(izotermická plocha v tepelnom poli), takže v každom bode (x,y,z) je teplota zastupovaná T(x,y,z). Predpokladáme, že sa teplota v priebehu času nemení. Gradient zo skalárneho poľa T bude ukazovať smer, v ktorom sa teplota najrýchlejšie zvyšuje. Veľkosť gradientu určí, ako rýchlo bude teplota v tomto smere stúpať.

Gradient nám hovorí, v ktorom smere sa mám pohnúť v poli T aby sme sa dostali do oblasti s najvyššou teplotou.

Gradient je skalárna funkcia, ktorá každému bodu trojrozmernej oblasti priradí reálne číslo\(\implies\) vektor. Tejto funcii vieme priradit gradient funkcie. Zapisuje sa aj ako \(\nabla f\) = (\(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\)). Pokiaľ by sme chceli zistiť hodnotu gradientu v konkretnom bode, tak si tam dosadíme jeho súradnice .

Vlastnosťi gradientu:

Úloha gradientu ako normálového vektora.

Vezmene funkciu dvoch premenných z = f(x,y) ,pričom body funkcie berieme z otvorenej množiny O, graf tento funkcie bude plocha v 3D, body (x,y,f(x,y)). Definujeme f’(x,y,z)= f(x,y)-z Gradient je vektor pozostávajúci z parciálnych derivácii.\(\bigtriangledown(f)\)=(\(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\),-1 ) = \(\vec{n}\) (normálový vektor).

Gradient je kolmý na vrstevnice

Vrstevnica vo výške V_h je množina bodov (x,y) z definecinej oblasti O pre ktoré platí, že funkčná hodnota f(x,y) sa rovná presne výške h. Vrstevnica je krivka na nejakej ploche a má parametrické vyjadrenie: x= u(t), y = v(t) , pričom t je z určeného intervalu(môžme ho interpretovať aj ako čas). . Zoberieme fixný bod X₀ = (x₀,y₀) a do bodu sa dosadí konkretný čas t₀, čiže po úprave to bude vyzerať takto X₀=(u(t₀),v(t₀)). Dotykový vektor ku tejto Vrstevnici V_h v bode X₀: Pozostáva z derivácii \(\vec{w}\)_x = (u’(t),v’(t)) pričom do t sa potom dosadí konkrétny čas t₀. Gradient je kolmý na vrstevnice \(\Leftrightarrow\) Gradient je kolmý na dotykový vektor ku vrstevniciam. Vrstevnica vyjadrená explicitne V_h : f(u(t),v(t))=h , t \(\in\)I / \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\) 0 = \(\frac{\partial f}{\partial x}\)_x u’(t) + \(\frac{\partial f}{\partial y}\)_x v’(t) = (\(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}) \bullet\) ( u’(t), v’(t)) = \(\nabla f \bullet\vec{w}\)
Skalarny súčin gradientu s dotykovým vektorom je rovný nule \(\implies\) vektor gradientu je kolmý na vrstevnice.

Gradient je vektor v smere “najstrmšieho rastu” funkcie f.

Dôvod: ak \(\vec{v}\) je vektor v ľubovoľnom smere s \(\|v\|\)=1 (dlžkou 1) . Tak potom (derivácia v smere \(\vec{v}\) vo funkci f) D_\(\vec{v}\)f = \(\nabla f\) \(\bullet\) \(\vec{v}\) = \(\|\nabla f \| \cdot \|v\| \cdot\) \(\cos (\nabla,\vec{v})\) \(\implies\) D_\(\vec{v}\)f je maximálna \(\Leftrightarrow\) \(\nabla f \parallel \vec{v} \implies \vec{v}\) = \(\frac{1}{\|\nabla f \|} \cdot \nabla f\)

Príklad

Máme zadanú funkciu f(x,y) = x² -xy

Aká je smerová derivácia f v bode (2,-3) v smere vektora \(\vec{v}\) = (0.6,0.8) ?

Smerovú deriváciu môžme vyjadriť ako vážený súčet parcialných derivácii: \(\nabla\)_\(\vec{v}\)f = 0.6\(\frac{\partial f}{\partial x}\) + 0.8\(\frac{\partial f}{\partial y}\)

alebo ju môžme zapísať ako skalárny súčin s gradientom:

\(\nabla\)_\(\vec{v}\)f = \(\nabla f \bullet \vec {v}\)

\[\nabla f=\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial (x^2-xy)}{\partial x} \\ \frac{\partial (x^2-xy)}{\partial y} \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \ 2x-y \\ \ -x \\ \end{bmatrix}\] Dosadíme daný bod (x,y) = (2,-3).

\[\nabla f(2,-3) = \begin{bmatrix} \ 2(2)-(3) \\ \ -(2) \\ \end{bmatrix} = \nabla f(2,-3) = \begin{bmatrix} \ 7 \\ \ -2 \\ \end{bmatrix} \]

library("numDeriv")
# definícia funkcie
myfunc <- function(lst) {lst[1]^2 - lst[1]*lst[2]}

# výpočet gradientu
grad(myfunc, c(2,-3))

## [1]  7 -2

Aby sme získali požadovanú smerovú deriváciu spravíme skalárny súčin medzi gradientom a vektorom v.

\[ \nabla~\vec{v}~f(2,-3) = \nabla f (2,-3) \bullet (0.6i +0.5j) = \begin{bmatrix} \ 7 \\ \ -2 \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} \ 0.6 \\ \ 0.8 \\ \end{bmatrix} = 7(0.6)+(-2)(0.8)=2.6\]

# požadovaný smerový derivát
vect1 <- c(7,-2)
vect2 <- c(0.6,0.8)
vect1 %*% vect2

##      [,1]
## [1,]  2.6

Záver:

Gradient naznačuje smer rastu funkcie v skalárnom poli z jednej hodnoty na druhú.
Na zistenie najrýchlejšieho smeru rastu funkcie sa do grafu vyberú dva body. Určujú začiatok a koniec vektora.
Miera rastu hodnoty z jedného bodu do druhého je veľkosť gradientu.
zápis pre gradient v smere vektora v vo funkcii f je \(\nabla~\vec{v}~f\) a počíta sa ako skalárny súčin medzi gradientom funkcie f a vektorom \(\vec{v}\) to je \(\nabla f \bullet \vec{v}\).

Gradient

Simona Mikovčíková