Estas notas se presentan con la finalidad de apoyar lo estudiado en las materias de Finanzas Corporativas y Mercados Financieros (en la perte de valuación de valores de mercado de dinero, renta fija o acciones)1. El objetivo de las presentes es revisar los conceptos de valor futuro y valor presente. Estos conceptos se revisaron ampliamente en la materia de matemáticas financieras y nos serán de utilidad como base para calcular el valor presente de una empresa o un proyecto de inversión, cuyas características es que pagan flujos (dinero) en el futuro.
Como se ha dicho en la introducción a la materia, estos flujos futuros son los que determinan el precio o valor “justo” que esta empresa o proyecto debe tener. Las notas tienen la siguiente estructura para facilitar la comprensión del tema:
Lo revisado en estas notas parte de los capítulos 5 a 8 (parte 3) de la novena edición del libro de Ross, Westerfield y Jordan (2010). El mismo le podrá ser de mucha utilidad para profundizar en los temas y conceptos presentados en estas notas.
El valor actual y el valor futuro son dos conceptos clave y los fundamentos de las matemáticas financieras. Existe extensa literatura introductoria al respecto. Sin embargo, aquí solo haremos revisión de las principales fórmulas. Esto, será así por que la fórmula del valor actual será el fundamento o “caballo de batalla” para poder valuar una empresa o proyecto.
Lo anterior es así debido a que un proyecto de inversión o empresa en los que destinemos recursos financieros son dos vehículos que nos pagarán flujos de efectivo a futuro. Sin embargo, el hecho de que, hoy por hoy, no estén pagando flujos o dinero en el valor presente, no significa que estos proyectos o empresas valgan cero. Al contrario, estos valen precisamente por esos flujos que una o un inversionista espera tener. Dicho esto, es importante, una vez comnocida la cuantía de dichos flujos, determinar cuál es su valor al día de hoy.
En términos simples, el valor de una empresa o proyecto se da por la suma del valor presente de los flujos de efectivo futuros que se espera tener.
\[\begin{equation} \text{Valor empresa/proyecto}=\sum[\text{Flujo futuro en periodo t}] \tag{2.1} \end{equation}\]
Comenzemos primero con el valor futuro, a efecto de comprender la naturaleza del valor actual y su uso para fines de valuación de pagos futuros.
El valor futuro (\(VF\)) de una inversión resulta de agregar los intereses ganados (\(I\)) al monto invertido el día de hoy (o en la fecha actual), también conocido como valor actual (\(VA\)). Otro nombre que recibe el Valor Actual es el de Valor presente (\(VP\)). Sin embargo, para fines de exposición, utilizaremos \(VA\), en el entendido de que \(VA\) y \(VP\) son sinónimos. Esto nos lleva a la siguiente fórmula de cálculo del valor futuro:
\[\begin{equation} VF=VA+I \tag{2.2} \end{equation}\]
Los intereses (\(I\)) ganados en el periodo de inversión se logran de multiplicar la tasa de interés recibida en el periodo. Para comprender el concepto tasa de interés recibida en el periodo, hagamos un paréntesis para conocer el concepto y calcularla.
Por convención en los bancos, mercados financieros, noticias, decisiones empresariales o gubernamentales, se utiliza que las tasas pactadas o cotizadas para una operación sean anuales. Por ejemplo, si el Gobierno Federal acuerda pagar un préstamo de \(\$100.00\) a 28 días con una tasa de interés del \(5.0000\%\), no quiere decir que el gobierno nos va a pagar \(\$5.00=\$100.00 \times 5\%\) de intereses en 28 días. Lo que está pactando es una tasa de \(5.0000\%\) en términos anualizados. Por lo tanto, el Gobierno Federal nos pagará la parte proporcional o fraccionaria de 28 días de ese \(5.0000\%\).
Para hacer el cálculo de tasa de interés equivalente del periodo (\(i\)) que nos pagará en realidad, simplemente dividimos la tasa cotizada en términos anuales (\(r\)), entre el número de periodos de interés (en este caso entre 365 días) y la multiplicamos por el número de periodos que equivalen al periodo de inversión. En este caso 28 días:
\[\begin{equation} r=\left( \frac{5\%}{360} \right)\cdot 28=\left( \frac{0.05}{360} \right)\cdot 28=0.00383562=0.383562\% \tag{2.3} \end{equation}\]
El cálculo anterior nos lleva a la siguiente fórmula general de la tasa equivalente:
\[\begin{equation} r=\left( \frac{r}{npereq} \right)\cdot nperinv \tag{2.4} \end{equation}\]
En la expresión previa, \(npereq\) es el número de periodos a los que se va a convertir la tasa anual. Para fines del ejemplo, si la tasa es equivalente a periodos diarios, \(npereq=365\). Si la tasa va a ser equivalente a periodos mensuales será \(npereq=12\). Para el caso semanal puede ser \(npereq=52\) y así sucesivamente (en breve veremos convenciones de conversión).
Siguiendo con el ejemplo planteado en la fórmula (2.2). Con la fórmula del cálculo de la tasa equivalente (2.4) retomamos los cálculos planteados en la fórmula (2.5):
\[\begin{equation} r=\left( \frac{5\%}{360} \right)\cdot 28=\left( \frac{0.05}{360} \right)\cdot 28=0.00383562=0.383562\% \tag{2.5} \end{equation}\]
Si sustituimos el valor de la tasa equivalente \(r\) en la fórmula (2.2) tenemos el siguiente resultado:
\[\begin{equation} \begin{array}{rl} VF & =VA+I \\ & =100.00+I \\ & =100.00+(100.00 \cdot r) \\ & = 100.00 + (100.00\cdot \left[ \left( \frac{5\%}{360} \right)\cdot 28 \right]) \\ & =100.00+(100.00\cdot 0.383562\%) \\ & =100.00+0.3835 \\ & =100.3835 \end{array} \tag{2.6} \end{equation}\]
Por lo tanto, la ecuación (eq:VFsimple0) puede ser mejorada como sigue:
\[\begin{equation} VF=VA+I=VA+(VA\cdot r),\text{ }r=\left( \frac{r}{npereq} \right)\cdot nperinv \tag{2.7} \end{equation}\]
Para pulirla un poco y tener la fórmula o ecuación del valor futuro \(VF\) con el método de interés simple, podemos hacer un poco de álgebra básica, aplicando una factorización a \(VA\) y teniendo la ecuación de \(VF\) con interés simple (siendo \(r\) definida en la fórmula (2.4)):
\[\begin{equation} VF=VA+(VA\cdot r)=VA\cdot (1+r) \tag{2.8} \end{equation}\]
Con esta fórmula, podemos ver que, para el caso de interés simple (veremos en breve la diferencia entre interés simple e interés compuesto), podemos hacer el cálculo del valor futuro que tendrá una cantidad actual (o del día de hoy) en un periodo de tiempo determinado. Esto al agregarle los intereses \(I\) ganados en el periodo.
Una parte importante de esta fórmula del valor futuro es la adecuada determinación o cálculo de la tasa equivalente del periodo de inversión. Esto es, en nuestro ejemplo previo, la debida conversión de la tasa anualizada con la que se cotiza la inversión o préstamo a la verdadera tasa o tasa equivalente (como su nombre lo dice) en el periodo en que la operación dura.
Para la debida conversión de esta tasa, se manejan muchas convenciones de tiempo. El problema surge cuando queremos convertir la tasa equivalente de un año a la tasa equivalente diaria. PPor ejemplo, hay quien decida utilizar los 365 días del año (como lo hicimos previamente en el ejemplo) o habrá quienes quieran utilizar 360 o incluso 250 (el número estimado de días laborales en un año no bisiesto o de 366 días). Esto se vuelve un verdadero lío ya que la preferencia de conversión cambia. Sin embargo, hay dos convenciones que resultan ser las más utilizadas en el mundo financiero. Veamos las mismas.
La primer convención más común es la denominada A/365. La misma asume años cerrados de 365 días, meses de 31 días, semanas de 7 días, años de 52 semanas, semestres de 181 días, trimestres de 91 días y cuatrimestres de 120 días. Veamos una breve tabla de las posibles relaciones del número de días en la Tabla 2.1. En la misma se puede apreciar que, bajo esta convención 1 año tiene 365 días, 52 semanas, 12 meses y así sucesivamente en el primer renglón. Por otro lado, un semestre tiene 181 días, 24 semanas, 6 meses y así de manera consecuente. Esta convención tienede a ser muy utilizada en bancos para la estimación de intereses en créditos diversos.
| Días | Semanas | Meses | Trimestre | Cuatrimestre | Semestre | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Año | 365 | 52 | 12 | 4.00 | 3.0000 | 0.5 |
| Semestre | 181 | 24 | 6 | 2.00 | 0.6667 | 1.0 |
| Cuatrimestre | 120 | 16 | 4 | 0.75 | 1.0000 | 1.5 |
| Trimestre | 91 | 12 | 3 | 1.00 | 1.3333 | 2.0 |
| Mes | 30 | 4 | 1 | 3.00 | 4.0000 | 6.0 |
| Semana | 7 | 1 | 4 | 12.00 | 16.0000 | 24.0 |
Otra convención muy utilizada para fines de valuación de inversiones u otro tipo de instrumentos financieros es la denominada A/360. La misma es muy parecida a la convención anterior. Sin embargo, el número de días por año, semana, cuatrimestre, trimestre y mes cambia. Para confiormar esto, por favor refiérase a la primera columna de la Tabla 2.2. En la misma hay algunos cambios sutiles en el número de periodo de algunos intervalos de tiempo como los comentados.
| Días | Semanas | Meses | Trimestre | Cuatrimestre | Semestre | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Año | 360 | 50 | 12 | 4 | 3 | 0.5 |
| Semestre | 180 | 24 | 6 | 2 | 0.66666666666666663 | — |
| Cuatrimestre | 120 | 16 | 4 | 0.75 | — | 1.5 |
| Trimestre | 90 | 12 | 3 | — | 1.3333333333333333 | 2 |
| Mes | 30 | 4 | — | 3 | 4 | 6 |
| Semana | 7 | — | 4 | 12 | 16 | 24 |
Para fines de exposición y salvo que se diga lo contrario, se utilizará la convención A/360. Esto por que los cálculos u conversiones permiten hacer fracciones más directas.
Veamos algunos ejemplos de conversión de tasa equivalente:
Datos del problema:
Fórmulas:
Utilizamos la fórmula (2.4): \[\begin{equation} r=\left( \frac{r}{npereq} \right)\cdot nperinv \end{equation}\]
Resolución u operaciones: Sabemos que \(nperinv=7\) por que buscamos el interés equivalente para un solo periodo de 7 meses, en donde \(npereq=12\) por que un año, en convención A/360 (y en cualquiera) tiene 12 meses. Esto nos lleva al siguiente cálculo:
\[\begin{equation} r=\left( \frac{10.00\%}{12} \right)\cdot 7=\left( \frac{0.1}{12} \right)\cdot 7 \end{equation}\]
El mismo da un resultado de 0.0583 o 5.83%.
Datos del problema:
Fórmulas:
Utilizamos la fórmula (2.4): \[\begin{equation} r=\left( \frac{r}{npereq} \right)\cdot nperinv \end{equation}\]
Resolución u operaciones: Sabemos que \(nperinv=41\) por que buscamos el interés equivalente para un solo periodo de 41 días, en donde \(npereq=12\) por que un año, en convención A/360 (y en cualquiera) tiene 360 días Esto nos lleva al siguiente cálculo:
\[\begin{equation} r=\left( \frac{11.34\%}{360} \right)\cdot 41=\left( \frac{0.1134}{360} \right)\cdot 41 \end{equation}\]
El mismo da un resultado de 0.0129 o 1.29%.
Datos del problema:
Fórmulas:
Utilizamos la fórmula (2.4): \[\begin{equation} r=\left( \frac{r}{npereq} \right)\cdot nperinv \end{equation}\]
Resolución u operaciones: Sabemos que \(nperinv=1\) por que buscamos el interés equivalente para un solo periodo de 1 semestre, en donde \(npereq=2\) por que un año, en convención A/360 (y en cualquiera) tiene 2 semestres. Esto nos lleva al siguiente cálculo:
\[\begin{equation} r=\left( \frac{12\%}{2} \right)\cdot 1=\left( \frac{0.12}{2} \right)\cdot 1 \end{equation}\]
El mismo da un resultado de 0.06 o 6%.
Dados los ejemplos anteriores, resultará muy sencillo apoyarse, con la fórmula (2.4) y las tablas 2.1 y 2.2, el hacer la conversión de la tasa equivalente, dada la tasa anualizada cotizada. Esto, claro está una vez que se defina la convención (A/360 o A/365) que se empleará para el fin.
Ahora, una vez dominado el tema de la tasa de interés equivalente para el periodo (\(r\)), estamos en capacidad de continuar con nuestra revisiónd e valor futuro y valor actual. Veamos algunos ejemplos de valor futuro simple.
Veamos algunos ejemplos en donde podemos utilizar el valor futuro \(VF\).
Datos del problema:
Fórmulas:
Para la tasa equivalente, utilizamos la fórmula (2.4): \[\begin{equation} r=\left( \frac{r}{npereq} \right)\cdot nperinv \end{equation}\]
Para el valor futuro, utilizamos la fórmula (2.8):
\[\begin{equation} VF=VA\cdot (1+r) \end{equation}\]
Resolución u operaciones:
Sabemos que \(nperinv=40\) por que buscamos el interés equivalente para un solo periodo de 41 días, en donde \(npereq=360\) por que un año, en convención A/360 (y en cualquiera) tiene 360 días. Esto nos lleva al siguiente cálculo para la tasa equivalente \(r\):
\[\begin{equation} r=\left( \frac{7.3\%}{360} \right)\cdot 40=\left( \frac{0.073}{360} \right)\cdot 40 \end{equation}\]
El mismo da un resultado de 0.0083 o 0.83%.
Esta tasa \(r\) se sustituye en la fórmula (2.8) y tenemos los siguientes cálculos:
\[\begin{equation} VF=10,000.00\cdot (1+0.0083))=10,083.00 \end{equation}\]
Dado esto, observamos que se tiene un valor final \(VF\) de $1.008313910^{4} en la inversión, lo que le generó, durante 41 días $83.1389 de intereses, dada una tasa equivalente, al \(7.3\%\)$ anualizado, de 0.83% para 41 días.
Datos del problema:
Fórmulas:
Para la tasa equivalente, utilizamos la fórmula (2.4): \[\begin{equation} r=\left( \frac{r}{npereq} \right)\cdot nperinv \end{equation}\]
Para el valor futuro, utilizamos la fórmula (2.8):
\[\begin{equation} VF=VA\cdot (1+r) \end{equation}\]
Resolución u operaciones:
Sabemos que \(nperinv=40\) por que buscamos el interés equivalente para un solo periodo de 41 días, en donde \(npereq=360\) por que un año, en convención A/360 (y en cualquiera) tiene 360 días. Esto nos lleva al siguiente cálculo para la tasa equivalente \(r\):
\[\begin{equation} r=\left( \frac{7.3\%}{360} \right)\cdot 40=\left( \frac{0.073}{360} \right)\cdot 40 \end{equation}\]
El mismo da un resultado de 0.0083 o 0.83%.
Esta tasa \(r\) se sustituye en la fórmula (2.8) y tenemos los siguientes cálculos:
\[\begin{equation} VF=10,000.00\cdot (1+0.0083))=10,083.00 \end{equation}\]
Dado esto, observamos que se tiene un valor final \(VF\) de $1.008313910^{4} en la inversión, lo que le generó, durante 41 días $83.1389 de intereses, dada una tasa equivalente, al \(7.3\%\)$ anualizado, de 0.83% para 41 días.
Hasta aquí hemos revisado los conceptos propios del valor futuro (\(VF\)) para determinar el valor de una cantidad que acumula intereses después de un periodo de tiempo. Ahora veamos la operación contraria. Esto es, el denominado valor actual (\(VA\)) que nos permitirá, para fines de la materia, conocer el valor presente de un flujo de dinero que se recibirá en el futuro (\(VF\)).
Partiendo de lo visto en el tema anterior y de la fórmula del valor futuro dada en la fórmula (2.8), podemos planternos la posibilidad de determinar el valor, al día de hoy que tiene una cantidad de dinero que recibiremos el día hoy. Ejemplos de esta aplicación serían los siguientes:
Estos y muchos otros ejemplos del cálculo del valor actual (\(VA\)) en la vida cotidiana serán los que veremos brevemente en estas notas. Sin embargo, el quinto es el más importante de todos estos ya que ese último uso nos permitirá determinar el valor de una empresa o proyecto. Esto en base a la suma de todos los valores presentes de los flujos de efectivo (\(VF\) a lo largo de diferentes periodos de tiempo futuros) que se espera recibir.
La fórmula del valor actual (\(VA\)) parte de la fórmula (2.8) del tema anterior. Para comprender su anturaleza, simplemente tenemos presente que los valores de \(VF\) i la tasa de interés anualizada \(i\) (y el correspondiente valor de la tasa equivalente del periodo \(r\)) son conocidos. Lo que se busca conocer ahora es la magnitud del valor actual (\(VA\)). Dicho esto, la fórmula (2.8) se despeja para \(VA\) y se tiene lo siguiente:
\[\begin{equation} VA=\frac{VF}{ (1+r)} \tag{3.1} \end{equation}\]
Con esta fórmula y al igual que con la fórmula (2.8), la tasa de interés equivalente para el periodo se determina con la fórmula de equivalencia de tasas presentada en la fórmula (2.4).
Veamos unos ejemplos para calcular el valor actual (\(VA\)) y así asimilar la idea de esta útil fórmula para nuestro curso.
Diga Usted cuánto dinero recibirá la empresa por concepto de factoraje.
Datos del problema:
Fórmulas:
Para la tasa equivalente, utilizamos la fórmula (2.4): \[\begin{equation} r=\left( \frac{r}{npereq} \right)\cdot nperinv \end{equation}\]
Para el valor actual, utilizamos la fórmula (3.1):
\[\begin{equation} VF=VA\cdot (1+r) \end{equation}\]
Resolución u operaciones:
Sabemos que \(nperinv=1\) por que buscamos el interés equivalente para un solo periodo de 3 meses, en donde \(npereq=4\) por que un año, en convención A/360 (y en cualquiera) tiene 4 trimestres. Esto nos lleva al siguiente cálculo para la tasa equivalente \(r\)5:
\[\begin{equation} r=\left( \frac{9.1\%}{4} \right)\cdot 1=\left( \frac{0.091}{4} \right)\cdot 1 \end{equation}\]
El mismo da un resultado de 0.0228 o 2.28%.
Esta tasa \(r\) se sustituye en la fórmula (3.1) y tenemos los siguientes cálculos:
\[\begin{equation} VF=357,895.34\cdot (1+0.02275))=349,934.30 \end{equation}\]
Como resultado al problema resuelto, se observa que Nacional financiera le depositará a Don Aguatace S.A. de C.V. la cantidad de $VA=$3.499343310^{5}. Esto para que pueda disponer de ese dinero y hacer frente a sus compromisos operativos. A cambio de esto, la empresa le pagará a Nacional Financiera la cantidad de \(\$357,895.34\) (el monto de la factura que le pagarán en 3 meses). La diferencia entre los \(\$357,895.34\) del valor a pagar en tres meses (valor futuro o \(VF\)) y el valor actual (\(VA\) o \(\$349,934.30\)) o monto depositado por el banco, son los intereses que este último ganará: \(I=\$357,895.34-\$349,934.30=\$7,961.0060\). Esto es así por que se ganó una tasa de interés equivalente del periodo de 2.28%. Esta es la tasa equivalente trimestral del \(9.10\%\) de intereses cobrados por el banco.
Datos del problema:
Fórmulas:
Para la tasa equivalente, utilizamos la fórmula (2.4): \[\begin{equation} r=\left( \frac{r}{npereq} \right)\cdot nperinv \end{equation}\]
Para el valor actual, utilizamos la fórmula (3.1):
\[\begin{equation} VF=VA\cdot (1+r) \end{equation}\]
Resolución u operaciones:
Sabemos que \(nperinv=28\) por que buscamos el interés equivalente para un solo periodo de 28 días, en donde \(npereq=360\) por que un año, en convención A/360 (y en cualquiera) tiene 360 días. Esto nos lleva al siguiente cálculo para la tasa equivalente \(r\):
\[\begin{equation} r=\left( \frac{5.37\%}{360} \right)\cdot 28=\left( \frac{0.0537}{360} \right)\cdot 28 \end{equation}\]
El mismo da un resultado de 0.3759 o 1.34%.
Esta tasa \(r\) se sustituye en la fórmula (3.1) y tenemos los siguientes cálculos:
\[\begin{equation} VF=10\cdot (1+0.00417))=9.9584 \end{equation}\]
Como se puede apreciar, al comprar el CETE, Usted le pagaría al Banco de México la cantidad de $9.9584 por cada CETE que adquiera (100 en total para invertir casi sus $1,000.00). Esto para recibir $10.0000 por cada uno después de 28 días. La diferencia entre los $9.9584 y los $10.0000 que recibirá, le darán a ganar $0.0416 de intereses. Esto es así por que la tasa equivalente del periodo de 28 días es de 0.42%.
Hasta este punto, hemos revisado las fórmulas de cálculo para el valor futuro y presente, suponiendo un solo periodo de acumulación de intereses (un periodo simple de generación de intereses). En la vida real, muchas inversiones, préstamos y operaciones financieras tienen periodos de recomposición. Esto es, la operación financiera tiene un periodo en el que se generan intereses y, cuando termina dicho periodo, el valor futuro \(VF\) (\(VA\) más intereses) se reinvierte (se convierte en valor actual \(VA\)) para el siguiente periodo. Con esto, el nuevo valor actual (\(VA_t=VF_{t-1}=VA_{t-1}+I_{t-1}\)) ahora generará más intereses. Veamos el mecanismo de recomposición. Esto para tres periodos de inversión que denotaremos como \(t=1,2,3\). Para el primer periodo de inversión (\(t=1\)), tenemos lo siguiente:
\[\begin{equation} VF_1=(VA_1+I_1)=VA_1\cdot (1+r) \tag{4.1} \end{equation}\]
Para el segundo periodo de inversión (\(t=2\)) ahora tenemos que \(VA_2=VF_1=VA_1\cdot (1+r)\). Esto nos lleva al siguiente cálculo:
\[\begin{equation} \begin{array} VF_2 & =(VA_2+I_2) \\ & =VF_1\cdot (1+r) \\ & =[VA_1\cdot (1+r)]\cdot (1+r) \\ & =VA_1\cdot (1+r)\cdot (1+r) \\ & =VA_1\cdot(1+r)^2 \end{array} \tag{4.2} \end{equation}\]
Para el tecer periodo de inversión tenemos los siguientes cálculos (\(VA_3=VF_2=VA_2\cdot (1+r)\)):
\[\begin{equation} \begin{array} VF_3 & =(VA_3+I_2) \\ & =VF_2\cdot (1+r) \\ & =[VA_2\cdot (1+r)]\cdot (1+r) \\ & =[[VA_1\cdot (1+r)]\cdot (1+r)]\cdot (1+r) \\ & =VA_1\cdot (1+r)\cdot (1+r)\cdot (1+r) \\ & =VA_1\cdot(1+r)^3 \end{array} \tag{4.3} \end{equation}\]
Como se pude apreciar de las fórmulas (4.1), (4.2), (4.3), el Valor Futuro (\(VF\)) logra de invertir el valor actual (\(VA\)) al inicio de la inversión e incorporar el efecto de la recomposición de intereses en los \(n\) periodos que dura la operación financiera a futuro. Esto nos lleva a inferir la fórmula general del valor futuro con el método de interés compuesto:
\[\begin{equation} \begin{array} VF=VA\cdot(1+r)^n \end{array} \tag{4.4} \end{equation}\]
Como se puede apreciar con la fórmula anterior, el efecto de recompositión de los intereses generados en cada periodo de reniversión (recompisición) se logra con el exponente \(n\), en donde \(n\) es el número de periodos en los que se reinvierte o recompone la inversión.
Partiendo de la fórmula (4.4), y siguiendo la lógica del despeje empleada en la fórmula del valor actual de la fórmula (3.1) podemos deducir la fórmula del valor actual con el método del interés compuesto como sigue:
\[\begin{equation} VA=\frac{VF}{(1+r)^n} \tag{4.5} \end{equation}\]
Para ilustrar el empleo de la fórmula (4.4) del interés simple y de la ecuación (4.5) para el valor actual con el método de interés compuesto, veamos algunos ejemplos o problemas que se pueden resolver con los mismos.
Datos del problema:
Fórmulas:
Aquí no se ocupará la fórmula de la tasa equivalente ya que los periodos son años y la tasa se cotiza anual. Dado esto, nos enfocaremos solo a la recomposición anual de los intereses generados en cada uno de los 4 años.
Para el valor futuro, utilizamos la fórmula (4.4):
\[\begin{equation} VF=VA\cdot(1+r)^n \end{equation}\]
Resolución u operaciones:
Esta tasa \(r=8.3000%\) se sustituye en la fórmula (4.4). Esto al igual que el valor actual y los \(n=4\) periodos o años del crédito. Con esto, tenemos los siguientes cálculos:
\[\begin{equation} VF=127'349,000.00\cdot (1+0.0830)^4=175'190,021.00 \end{equation}\]
Con el resultado anterior, se sabe que la empresa pagará $175’190,021.00 de monto total que no es más que el monto del crédito (\(VA\)) más los intereses generados de forma compuesta durante 4 años. El monto de total de intereses pagados en el crédito asciende a $4.784102110^{7} que resulta de restar el \(VF\) del financiamiento ($175’190,021.00) menos el \(VA\) del mismo ($127’349,000.00). Una manera alternativa de determinar los intereses a priori o sin conocer el valor futuro (\(VF\)) consiste en multiplica el valor actual \(VA\) por la tasa efectiva de intereses (\(te\)) ganada durante todo el periodo de la inversión. Esta se puede consultar en el sub tema de cálculo de la tasa efectiva de interés. Para fines de nuestro ejercicio, los intereses pagados se calculan de la siguiente manera:
\[\begin{equation} I=175'190,021.00-127'349,000.00= \end{equation}\]
Datos del problema:
Fórmulas:
Aquí no se ocupará la fórmula de la tasa equivalente ya que los periodos son años y la tasa se cotiza anual. Dado esto, nos enfocaremos solo a la recomposición anual de los intereses generados en cada uno de los 5 años.
Para el valor actual, utilizamos la fórmula (4.5):
\[\begin{equation} VA=\frac{VF}{(1+r)^n} \end{equation}\]
Resolución u operaciones:
Con la fórmula especificada se tienen los siguientes resultados:
\[\begin{equation} VA=\frac{\$5'700,000.00}{(1+8.3000\%)^25}=\$776,539.30 \end{equation}\]
Como se puede apreciar, se necesitan solamente $776,539.30 para ahorrarlos en un plan de retiro que paga el 8.00% anual. Después de 25 años la persona tendrá la cantidad de $5’700,000.00 que necesita para tener una pensión de $15,000.00 con capacidad de incrementarse un 5.00% cada año en su jubilación. Como se puede apreciar, el efecto de recomposición jugó favorablemente a esta persona ya que se ganó:
\[\begin{equation} \begin{array} I&=VF-VA\\ &=\$5'700,000.00-\$776,539.30\\ &=\$4'923,461.00 \end{array} \end{equation}\]
Esto es así por que la tasa efectiva de interés (que se puede estimar con el método del tema correspondiente y que sigue) sería de:
\[\begin{equation} te=(1+8.3000%)^25-1=634.26% \end{equation}\]
\[\begin{equation} VA=\frac{\$5'700,000.00}{(1+0.6916\%)^300}=\$720,802.10 \end{equation}\]
Con este nuevo periodo de recomposición, se aprecia ahora que se necesitaría invertir solamente $720,802.10 en el plan de retiro para tener la cantidad deseada.
El concepto de la tasa efectiva de interés hace alución al hecho de que, contrario al método del interés simple, los intereses no pueden calcularse con la simple multiplicación del Valor actual \(VA\) por la tasa equivalente del periodo \(r\). Dado que hay un efecto de recomposición de intereses, la tasa efectiva de interés ya no es la misma que la equivalente del periodo. Es mayor por el efecto de recomposición o recapitalización. Para calcular la tasa efectiva (\(te\)) simplemente se toma el segundo término de la ecuación del valor futuro (\(VF\)) con interés compuesto (fórmula (4.4)) y se le resta 1:
\[\begin{equation} te=(1+r)^n-1 \tag{4.6} \end{equation}\]
La lógica de la ecuación parte del ejercicio teórico de invertir un peso $1.00 en los \(n\) periodos de la inversión o proyecto financiero. Esto nos llevaría a un valor final de:
\[\begin{equation} VF=1\cdot(1+r)^n \end{equation}\]
En la ecuación anterior se sobre entiende que \(VA=1\), partiendo de lo establecido en la fórmula (4.4). Al aplicar la operación de \(I=VF-VA\), se tiene entonces el método de cálculo de la tasa efectiva con la fórmula (4.6).
Para el caso del ejercicio 2 del tema del valor futuro y presente con el método de interés compuesto, se tienen los siguientes cálculos detallados (Tasa de 8.3000% recompuesta en 25 años)
\[\begin{equation} \begin{array} \text{te}&=(1+8.3000%)^25-1\\ &=(1+0.083)^25-1\\ &=6.34026\\ &=634.0260% \end{array} \end{equation}\]
Si queremos una forma de calcular los intereses a pagar, dada la tasa efectiva calculada con la fórmula (4.6), entonces simplemente le multiplicamos dicha tasa efectiva (\(te\)) al valor actual \(VA\):
\[\begin{equation} I=VA\cdot (1+r)^n-1=VA\cdot te \end{equation}\]
Ya que vimos los conceptos de valor futuro y valor presente con el método de interés compuesto, ahora revisaremos su uso para valuar bonos, acciones de empresas y proyectos.
Un bono es un valor o activo financiero que emite una empresa, banco o gobierno para financiar sus actividades de largo plazo. Cuando se dice “largo plazo” se entiende aquí que el plazo de vencimiento (plazo en el que la deuda será liquidada) será mayor a un año. Un ejemplo de este tipo de bonos son lo que emite el Gobierno Federal de México. Esto para financiar múltiples actividades como puede ser la construcción de hospitales, carreteras u otro tipo de programas y proyectos de largo plazo. Incluso se han emitido tipos especiales de bonos (bonos de catástrofe) para financiar de largo plazo fondos de estabilidad para hacer frente a la indemnización de daños y gastos de reconstrucción. Esto ante desastres naturales como terremotos o huracanes. Los bonos más comunes que emite el Gobierno Federal mexicano son los denominados bonos M. Estos son valores de deuda que emite este gobierno con la finalidad de financiar proyectos diversos y tienen una serie de características:
Un ejemplo de las cotizaciones de este tipo de bonos se obtiene de las cotizaciones del servicio de información financiera Refinitiv Eikon (2018). La misma se expone en la Tabla 5.1.
En la mismo se presentan varios campos de información de interés para la valuación de mercado de los diferentes bonos en circulación. La columna fecha de última cotización hace a la fecha y hora en la que se registró por última vez la información presentada en la tabla para cada bono. El campo ticker es el identificador corto de cada bono. El mismo lo utilizan las corredorar y los corredoresde bolsa para ver, de manera nemotécnica, cuál es el bono cotizado. Por ejemplo MXBN210610 es un bono que tiene una fecha de vencimiento (se termina de pagar) el día 10 de junio del año 2021. Eso se puede constatar en la columna nombre del bono. El precio limpio es el precio al que cotiza el bono (al que enfocaremos nuestra principal atención en el presente tema) y el mismo se determina con la suma del valor presente de los flujos futuros de efectivo (pagos de cupones y valor nominal) que recibirá la o el inverisonista en los semestres que quedan de “vida” o vigencia en el bono. Para el caso concreto del MXBN210610 y suponiendo una fecha actual del 21 de junio del 2020, le quedan 2 semestres de vigencia o dos pagos. Uno de intereses o cupón y otro de cupón más el valor nominal.
La tasa cupón es precisamente la tasa (expresada en términos anuales) de intereses que paga dicho bono. Esta tasa de pago de cupones o intereses semestrales se determina en el momento en que, por primera vez, el Gobierno mexicano emite el bono y recibe el monto del valor nominal (\(VN=\$100.00\)). Este momento es único en la vida o existencia de cada bono y se le denomina mercado primario.
| Fecha.de.última.cotización | ticker | Nombre.del.bono | Precio.limpio | Tasa.cupón | Tasa.de.mercado | Monto.en.circulación.(millones) | Fecha.de.vencimiento |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN210610= | BONO JUN21/d | 101.912 | 6.50 | 4.785 | 239084.91 | 44357 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN211209= | BONO DEC21/d | 103.893 | 7.25 | 4.789 | 212543.96 | 44539 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN220609= | BONO JUN22/d | 103.582 | 6.50 | 4.809 | 283415.90 | 44721 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN230309= | BONO MAR23/d | 106.755 | 6.75 | 4.970 | 152259.50 | 44994 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN231207= | BONO DEC23/d | 110.369 | 8.00 | 4.956 | 248330.21 | 45267 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN240905= | BONO SEP24/d | 113.740 | 8.00 | 5.121 | 207924.98 | 45540 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN241205= | BONO DEC24/d | 120.085 | 10.00 | 5.189 | 253915.18 | 45631 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN270603= | BONO JUN27/d | 110.970 | 7.50 | 5.790 | 292324.44 | 46541 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN290531= | BONO MAY29/d | 117.910 | 8.50 | 6.127 | 271460.60 | 47269 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN310529= | BONO MAY31/d | 112.503 | 7.75 | 6.389 | 141323.80 | 47997 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN361120= | BONO NOV36/d | 133.799 | 10.00 | 6.854 | 70575.64 | 49999 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN381118= | BONO NOV38/d | 117.326 | 8.50 | 7.085 | 178364.70 | 50727 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN421113= | BONO NOV42/d | 107.810 | 7.75 | 7.306 | 191345.68 | 52183 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN471107= | BONO NOV47/d | 110.763 | 8.00 | 7.359 | 161045.09 | 54003 |
| June 23, 2020 - 14:59:59 | /MXBN210610= | BONO JUN21/d | 101.912 | 6.50 | 4.785 | 239084.91 | 44357 |
Posteriormente, la tasa de mercado es la tasa con la que se valuarán los flujos de efectivo futuros empleando la fórmula de valor presente con interés compuesto ((4.1)). Por último, la columna de monto en circulación se expresa en millones de pesos y representa el monto total adeudado por el Gobierno mexicano con cada uno de esos bonos estudiados. Por último, la columna de fecha de vencimiento expresa la fecha exacta en que vence o se hace el último pago de cupones y del valor nominal (\(VN\)).
Para ilustrar la idea en la valuación del precio justo de mercado (columna de precio limpio), tengamos presente que **el precio de mercado de un bono (precio limpio) es la suma del valor presente de los flujos de efectivo que se recibirán por concepto de cupones y \(VN\).
Veamos el ejemplo teórico de un bono M de 2 años que paga una tasa cupón semestral de \(10.00\%\) y se valúa a una tasa de mercado que es igual a la tasa de cupón (\(10.00\%\)). Veamos cómo quedaría la tabla de cupones, \(VN\), flujos futuros de efectivo a recibir y el valor actual para cada periodo estimado con la fórmula ((4.1)). Esto en la Tabla 5.2.
| periodos | cupon | VN | flujo | VA |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 5 | 4.7619 | |
| 2 | 5 | 5 | 4.5351 | |
| 3 | 5 | 5 | 4.3192 | |
| 4 | 5 | 5 | 4.1135 | |
| 5 | 5 | 5 | 3.9176 | |
| 6 | 5 | 5 | 3.7311 | |
| 7 | 5 | 5 | 3.5534 | |
| 8 | 5 | 5 | 3.3842 | |
| 9 | 5 | 5 | 3.2230 | |
| 10 | 5 | 100 | 105 | 64.4609 |
En la gráfica 5.1 se grafican los diferentes diagramas de flujo del flujo de efectivo que se recibirá en cada futuro semestre. Con líneas rojas se presentan los pagos de intereses o cupones que son de $5.00 (columna cupón en la Tabla 5.2). Esto se obtiene de multiplicar el valor nominal (\(VN\)) con la tasa equivalente del cupón. Si la tasa cupón es de 10.00%, se tiene que esta es una tasa anualizada (recuerde que todas las tasas en finanzas se cotizan anualizadas) y se convierte a tasa semestral al simplemente dividirla entre 2. Esto da una tasa cupón equivalente de: (\(r_{\text{cupón equivalente}}=5.00\%\)). Al multiplicar dicha tasa con el valor nominal (\(VN\)) se llega a los $5.00 de intereses o cupones al semestre (alfileres rojos).
Figure 5.1: Diagrama de flujos de un bono a 2 años con cupones semestrales de 10% (5% semestral).
En la misma gráfica se presenta un alfiler azul que no es más que el valor nominal o \(VN\) de $100.00. Como sepuede apreciar en la gráfica 5.1, el último alfiler es más grande que los anteriores por que se reciben los $100.00 de \(VN\) y el último pago de $5.00 de cupones o intereses semestrales.
Por otro lado, se presenta n con alfileres verdes los valores actuales (\(VA\)) de cada flujo semestral. Esto tal y conforme a los números de la columna Valor actual de la Tabla 5.2, mismos que se calcularon con la fórmula de valor actual con interés contínuo ((4.1)). Al sumar el valor de la columna valor actual en la Tabla 5.2 (suma de los valores de los alfileres verdes), se llega al precio justo del bono que es de $100. Como se puede apreciar, dado que la tasa cupón y la tasa de mercado son la misma, el precio limpio o simplemente el precio (para fines simplicidad en nuestra exposición en este tema) es igual al valor nominal (\(VN\)) de $100.00.
Ahora veamos un caso que es común en el mercado secundario de bonos mexicanos. Mercado en el que ya la compra-venta de bonos es entre terceras personas y no entre el Gobierno mexicano y las y los inversionistas como es en la colocación primaria o mercado primario. Cuando terceras (os) revenden o recompran bonos entre ellas y ellos buscan comprar los bonos más caros o más baratos que su valor nominal (\(VN\)). Esto es así por que quizá, a pesar de comprar más caro un bono, la tasa de rendimiento que logran en el proeycto es más atractiva que otras opciones.
Prestemos atención al primer bono de la Tabla 5.1. El mismo tiene un vencimiento al día 21 de junio de 2020 y paga una tasa de cupón del (6.50% anualizado o 3.25% semestral) y tiene un precio de $101.912. El mismo es evidentemente más grande que el valor nominal de $100.00. Sin embargo, quien lo compra a ese precio, está ganando una tasa de rendimiento (tasa de mercado) de 4.7850%.
De primera impresión usted podría pensar que no es un negocio atractivo por que se gana menos del 6.50% de la tasa de cupón. Sin embargo, piense en una persona que quiere invertir su dinero a un año y no encuentra opciones seguras de inversión. Al menos no seguras en materia de capacidad de pago de quien emite la deuda. Por tanto, este bono le puede ser atractivo. Por ejemplo, pensemos en una o un inversionista de Estatos Unidos, del Reino Unido o de Europa.
Para ilustrar la idea, introduciremos un concepto de la materia de mercados financieros denominado la curva de tasas de interés. Un principio aceptado en las Finanzas es el hecho de que a mayor riesgo en una inversión, debemos recibir una mayor tasa de rendimiento en la misma. Por tanto, el invertir a plazos cortos (1 mes, 3 meses o hasta 1 año) implica tener una exposición al riesgo pequeña. Por otro lado, el invertir aplazos mayores a 1 año nos expone a un riesgo mayor ya que, después de 1 año, pueden suceder muchas cosas. En el caso específico de los bonos gubernamentales mexicanos, en un plazo mayor a 1 año pueden suceder muchos eventos como una crisis sanitaria, una crisis política o una crisis financiera que haga que las condiciones crediticias y fiscales del Gobierno mexicano cambien para mal o para bien.
Dado lo anterior, como inversionistas buscamos tener una mayor compensación por el riesgo adicional que estamos tomando vía el plazo más largo.
Por otro lado, los gobiernos de diferentes países tienen diferentes capacidades de pago, dada su recaudación fiscal. Por ejemplo un país como Estados Unidos, Canadá, Japón o Reino Unido tienen más capacidad de pago por que su Economía genera mucha más riqueza que un país como México. Dado esto, el cobro de impuestos en esos países es mayor y la capacidad de pago es la misma. Por otro lado, si hay regímenes políticos que representan un mayor riesgo fiscal que otros, es de esperas que los países con ese tipo de regímenes sean más riesgosos en el tiempo. Dado esto, las tasas exigidas en diferentes plazos en cada gobierno se grafican en una línea en donde el eje x tiene los diferentes plazos y, el eje y la tasa (anualizada) de interés solicitada por los inversionistas en cada plazo. Este concepto lleva a la denominada curva de tasas de interés. Un ejemplo de esta para el 21 de Junio del 2020 se presenta en la Figura 5.2. La información también se extrajo de las bases de datos de Refinitiv (2018).
Figure 5.2: Curvas de tasas de interés de países diversos al 21 de junio del 2020.
En la misma se exponen las diferentes tasas de interés (anualizadas) solicitadas por la y los inversionistas en los mercados financieros para México, Canadá, Estados Unidos, la zona del Euro, Japón y el Reino Unido. Como puede apreciarse, se presentan las diferentes tasas pagadas en cada valor o bono en plazos que van de 1 a 9 meses, hasta de 1 a 30 años. Conforme el plazo aumenta el nivel de rendimiento pagado (o solicitado) es mayor en los plazos grandes (30 años) que en los pequeños (1 mes o 1 año) Esto es así, tal como se dijo, por el efecto previamente mencionado de a mayor plazo, mayor riesgo y, a mayor riesgo, mayor rendimiento a recibir.
Como se puede apreciar en el plazo de 1 año (línea vertical punteada), por el perfil de riesgo mayor que tiene México, éste país paga una tasa de interés mayor (cercana al 4.95%) que la que se paga en otros países como Canadá (0.28%), Estados Unidos (0.1827%) o Reino Unido (0.0720%). Incluso en Japón y la zona del Euro se pagan tasa negativas7. Dado lo anterior y regresando al ejemplo del bono teórico de 2 años, una o un inversionista de Estados Unidos estará dispuesta a pagar un bono mexicano a 1 año más caro de su valor nominal (\(VN\)). Esto es así por que paga un precio más caro y valúa los flujos futuros o pagos futuros a una tasa de interés menor. Veamos los cálculos para el bono tde ejemplo cuyos cálculos se presentaroa en la Tabla 5.2 y la gráfica 5.1. Supongamos que ahora la tasa de mercado o valuación es del 4.95% y no del 10.00% original. Veamos la tabla de resultados o cálculos de los valores actuales en la Tabla 5.3.
| periodos | cupon | VN | flujo | VA |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 5 | 4.8792 | |
| 2 | 5 | 5 | 4.7614 | |
| 3 | 5 | 5 | 4.6464 | |
| 4 | 5 | 5 | 4.5342 | |
| 5 | 5 | 5 | 4.4247 | |
| 6 | 5 | 5 | 4.3178 | |
| 7 | 5 | 5 | 4.2135 | |
| 8 | 5 | 5 | 4.1117 | |
| 9 | 5 | 5 | 4.0124 | |
| 10 | 5 | 100 | 105 | 82.2262 |
Como se puede apreciar, los valores actuales son ahora mayores ya que el denominador de la fórmula del valor actual ((4.1)) tiene un valor de \(r\) menor. Al sumar ahora estos valores actuales ya no se tiene un precio de $100.00 que era la valuación original, sino uno de $122.1275.
Esto implica que, en lugar de pagar $100.00 como lo hizo la o el inversionista original (o en mercado primario), ahora esta nueva o nuevo inverisonista extranjero está pagando $22.1275 más del valor nominal (\(VN\)) de $100.00. En un año que venza este bono, el Gobierno Mexicano no le regresará esa cantidad, sino los $100.00 del \(VN\) y le pagarán intereses del 10.00% (5.00% semestral) en la tasa cupón. Esto sobre el valor nominal de $100.00. Sin embargo, a pesar de la pérdida de $22.1275, los pagos de intereses (cupones) de $5.00 en los 4 semestres restantes y la recuperación de $$100.00 del \(VN\), le llevan a que el rendimiento de su proyecto de inversion (comprar este bono y quedárselo a vencimiento en un año) sea la tasa que pactó de 4.95% en el ejemplo.
En la Figura 5.3 se presentan los flujos de efectivo (cupones y \(VN\)), así como los nuevos valores presentes de cada pago o flujo. Esto en analogía a la Figura 5.1 y dada la nueva tasa de valuación de 4.95% del bono.
Figure 5.3: Diagrama de flujos de un bono a 2 años con cupones semestrales de 4.95% (2.4750% semestral).
Como se puede apreciar, el hecho de que la tasa de rendimiento (\(r\)) y su correspondiente tasa equivalente del periodo sean menores implica que el precio del bono sea mayor. Para darnos una idea general o regla de dedo en la relación existente entre el precio de un bono con cupones o intereses fijos y la tasa de interés con que se valúa, tenemos la Figura 5.4. En la misma vemos cómo el bono de 2 años que paga cupones semestrales del 10.00% (5.00% semestral) y valor nominal de $100.00 baja en precio conforme la tasa de interés sube. Esta curva refleja precisamente esa relación inversa entre el precio del bono y la tasa.
Figure 5.4: Relación entre el precio del bono y la tasa de rendieinto a la que se valúa
Esta relación inversa es la que se busca resaltar o a la que se desea atraer su atención: un bono, como cualquier proyecto de inversión objeto de interés en las finanzas corporativas o en los mercados financieros, es un vehículo financiero en el que la tenedora o tenedor del mismo recibirá una serie de flujos futuros durante su proyecto. En este caso, durante la vida del bono. Dado esto, todos los flujos futuros de un bono, como es el caso de un proyecto o empresa, deben ser valuados con la fórmula de valor actual (\(VA\)) y la suma de esos valores actuales dará el valor presente total del proyecto de inversión. En este caso, el precio justo del bono.
En términos generales y en base a lo que hasta ahora hemos revisado, el precio del bono se determina de la siguiente manera:
\[\begin{equation} \begin{array} \text{Precio bono} & =\sum_{n=1}^N\frac{Flujo_n}{(1+r_{\text{equivalente}})^n}\\ & =\sum_{n=1}^N\frac{Cupón_n}{(1+r_{\text{equivalente}})^n}+\frac{VN}{(1+r_{\text{equivalente}})^N} \end{array} \tag{5.1} \end{equation}\]
En la expresión anterior, el monto del cupón pagado en el periodo (semestre, trimestre, mes, semana o día, según sea el caso del bono) se calcula, como hemos visto hasta ahora, con la multiplicación del valor nominal (\(VN\)) del bono, por la tasa cupón (\(TC\)) equivalente a dicho periodo:
\[\begin{equation} Cupón_n=VN\cdot TC_{\text{equivalente}} \tag{5.2} \end{equation}\]
Siguiendo el ejemplo, si el bono de interés tiene un valor nominal de $100.00 y paga una tasa cupón de 10.00%, semestral, la tasa equivalente sería de \(TC_{\text{equivalente}}=10.00\%/2=5.00\%\)
Por lo tanto el monto del cupón fijo a recibir cada semestre será, como se vio en el ejemplo hasta ahora revisado, de:
\[\begin{equation} Cupón_n=\$100.00\cdot 5.00\%=\$5.00 \end{equation}\]
De manera complementaria, en la ecuación (5.1) se aprecia que se desglosó la sumatoria en la suma de los valores actuales de cada cupón a recibir en el futuro más la suma del valor presente del valor nominal (\(VN\)) a recibir en el último periodo o (semestre en nuestro ejemplo \(N\)).
Si usted hace este cálculo como se presenta en la ecuación (5.1) o hace los cálculos de las Tablas 5.1 y 5.2, llegará al mismo valor.
como paréntesis cultural y matemático, si Usted es afecta a las matemáticas y desea utilizar mejor una fórmula o ecuación que, en un solo cálculo le lleve al precio del bono, puede intentar calcular el precio del bono con la siguiente fórmula:
\[\begin{equation} \text{Precio bono}=Cupón_n\times\left[ \frac{\left( 1-\frac{1}{(1+r_{\text{equivalente}})^N}\right)}{r_{\text{equivalente}}} \right]+\frac{VN}{(1+r_{\text{equivalente}})^N} \tag{5.3} \end{equation}\]
Si Usted realiza, con los datos del ejemplo estudiado aquí, el cálculo del precio como se hace en las Tablas 5.1 y 5.2 o con la ecuación (5.3), llegará al mismo número que con la ecuación anterior. En el ejemplo estudiado nos lleva, suponiendo que la o el inversionista quiere ganar una tasa de \(r=10.00\%\) (5.00% semestral) y pagando el bono la tasa de cupón de 10.00% (5.00% semestral o $5.00 al semestre) con un \(VN\) de 100.00$, al siguiente cálculo logrado en la tabla 5.1:
\[\begin{equation} \text{Precio bono}=\$5.00\times\left[ \frac{\left( 1-\frac{1}{(1+5.00\%)^4}\right)}{5.00\%} \right]+\frac{100.00\$}{(1+5.00\%)^N}=\$100.00 \end{equation}\]
Para el caso del mismo bono pero ahora con una tasa de valuación del 9.90% (4.95% semestral) por la o el inversionista, se tiene el siguiente cálculo logrado con la Tabla 5.3:
\[\begin{equation} \text{Precio bono}=\$5.00\times\left[ \frac{\left( 1-\frac{1}{(1+4.95\%)^4}\right)}{4.95\%} \right]+\frac{100.00\$}{(1+4.95\%)^N}=\$122.1275 \end{equation}\]
Ya que hemos revisado la relación entre la tasa de rendimiento (\(r\)) y el precio de un bono dada la suma de los valores actuales (\(VA_n\)) que pagará el mismo en el futuro, estamos en capacidad conceptual para extender esta lógica de suma de valores actuales para utilizarla en la valuación de otro tipo de proyectos de inversión e incluso en la valuación de las acciones de una empresa. Antes de ver estos casos específicos, veremos la fórmula de valuación de un tipo especial de bonos llamado perpetuidades. Estos bonos, contrarios al tipo que hemos revisado previamente, no tienen vencimiento. Es decir, son bonos que una empresa, banco o gobierno emite, comprometiéndose a pagar intereses (mensuales, trimestrales o semestrales) de por vida. Dado esto, tienen un valor nominal (\(VN\)) que se paga cuando se emite el bono pero este monto (\(VN\)) nunca se regresa ya que el bono tiene una vida a perpetuidad como su nombre lo dice.
Un ejemplo de este tipo de bono son algunos que ha emitido Petróleos Mexicanos (PEMEX). El 28 de septiembre del 2004, PEMEX emitió un bono para financiar sus actividades el cuál no tiene vencimiento y paga una tasa cupón semestral de 7.7500% (3.8750% semestral) en dólares. Con un valor nominal (\(VN\)) de USD 2,000.00 cada bono. Dado esto, PEMEX no está obligado a pagar los USD 2,000.00 de cada bono (como el bono M del ejemplo anterior) pero sí lo USD 77.50 de intereses semestrales de por vida (\(Cupón=3.8750\%\times\text{USD }2,000.00= \text{USD }77.50\)).
En una perpetuidad, en términos teóricos, se tiene un número infinito de pagos de cupones por lo que el método de calcular todos los valores presentes de cada cupón pagado y sumarlos (el método empleado en las Tablas 5.2 y 5.3 o en la fórmula (5.3)) no no le será útil.
Haciendo de lado el procedimiento algebraico necesario (el mismo lo puede consultar en el tema de perpetuidades en cualquier libro de matemáticas financieras), se tiene que la fórmula para valuar el precio justo de una perpetuidad se reduce a esta simple ecuación:
\[\begin{equation} \text{Precio perpetuidad}=\frac{Cupón}{r_{\text{equivalente}}} \end{equation}\]
En el siguiente tema se verá con mayor claridad la utilidad de conocer el método de valuación de perpetuidades. Esto será asi por que la valuación de perpetuidades llevará a uno de los modelos primigenio de valuación de acciones de empresas: el modelo de Gordon. Este será una referencia previa para regresar al método de valuación de empresas con el método de flujos de efectivo decontados con la tasa promedio ponderado de capital.
La acción de una empresa, para fines de una o un inversionista así como de una durectora o director de finanzas, tiene la misma de ser un vehículo más con el cual realizar la toma de decisiones de inversión. Para el caso específico de una directora o director de finanzas, es de interes ya no solo concoer el valor justo de mercado de un bono o deuda emitida, sino también el precio justo de mercado de una empresa, dada la tasa de rendimiento \(r\) deseada.
Un bono, CETE, pagaré o nota del tesoro son valores o títulos mercantiles que avalan la deuda emitida por alguna empresa, banco o gobierno. Por otro lado, las acciones de una empresa representan la propiedad que la o el inversionista tiene sobre una fracción, porcentaje o parte del capital social de la misma. Si bien un bono y una acción representan cosas diferentes en términos de propiedad, mercantiles e incluso en la contabilidad de la empresa, banco o gobierno que los emite, la valuación de las mismas tiene la misma lógica: su valor justo se determina por la suma de los valores actuales (\(VA\)) de los flujos futuros que la o el inversionista recibirá.
Dicho esto, el primer método natural para valuar la acción de una empresa es por medio de la suma de los valor actuales de los dividendos que se espera pagará la empresa o banco. Esto más el precio futuro, de venta, de valuación o de salida que la o el inverionista espera tenga la acción en el último periodo de inversión (\(n=N\)).
Para ilustrar esta idea, recordemos que los dividendos (en especial los dividendos por acción) es la cantidad de dinero por acción que la asamblea de accionistas acuerda pagar entre ella y ellos. Suponga Usted que una empresa genera utilidades por $5,000,000.00 y cuenta con 200 accionistas de los cuales cada uno tiene 100 acciones de la empresa. Esto lleva a un total de 20,000 acciones en circulación, las cuales pagarán, a la tenedora o tenedor de cada una de estas, la cantidad de $250.00 por acción en dividendos:
\[\begin{equation} \frac{\$5'000,000.00}{20,000}=\$250.00 \end{equation}\]
Con esta definición dada, suponga ahora que a Usted le ofrece una accionista de la empresa 30 de sus 200 acciones. Esto por que desea hacer algo con ese dinero y le pide
[en construcción…]
Refinitiv. 2018. «Refinitiv Eikon». https://eikon.thomsonreuters.com/index.html.
Ross, Stephen A, Randolph W Westerfield, y Bradford D Jordan. 2010. Fundamentos de finanzas corparativas. 9a ed. México: McGraw-Hill / Interamericana editores S.A. de C.V.
Favor de referirse a los programas de estudio del Doctorado en Administración, las Licenciaturas en Administración, en Contaduría, Mercadotecnia e Informática Administrativa de la Facultad de Contaduría y Ciencias Administrativas -Liga de la facultad- de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.↩︎
Éste último será la base de nuestros cálculos↩︎
Esa es una de las ventajas, como se puede apreciar, de la convención A/360, con diversaos periodos, las fracciones son más consistentes y llegar al mismo resultado.↩︎
Esta operación financiera o tipo de préstamo se conoce como factoraje.↩︎
Recuerde que la convención A/360 le permite convertir un trimestre al simplemente dividir la tasa anual entre 4 o al dividir entre 360 días y multiplicar por 90 (\(90/360=1/4\)).↩︎
Un crédito sindicado es un tipo de crédito en el que una empresa o institución recibe un solo préstamos el cual es fondeado no por un solo banco sino por varios de ellos. Esto es así debido al monto dle préstamo solicitado.↩︎
por razones que no estudiaremos aquí y cuya revisión se deja para consultarse en cursos como Macroeconomía, Mercados financieros o Finanzas internacionales↩︎