Caso Niños Lectura. Variables Aleatorias Discretas. Cálculo de Probabilidades

Variables aleatorias discretas

Descripción

Determinar distribución de la probabilidad para variables aleatorias discertas, generar tabla de distribución y visualizar gráficas de barra y acumulada, determinar estadísticos: media, variaza y desviación así como realizar cálculos de probabilidad.

Caso

En Estados Unidos 38% de los niños de cuarto grado no pueden leer un libro adecuado a su edad.

La tabla siguiente muestra, de acuerdo con las edades, el número de niños que tienen problemas de lectura. La mayoría de estos niños tienen problemas de lectura que debieron ser detectados y corregidos antes del tercer grado.

Edad	Número de niños
6	37369
7	87436
8	160840
9	239719
10	286719
11	306533
12	310787
13	302604
14	289168

Si desea tomar una muestra de niños que tienen problemas de lectura para que participen en un programa que mejora las habilidades de lectura. Sea x la variable aleatoria que indica la edad de un niño tomado en forma aleatoria.

Con estos datos elabore una distribución de probabilidad para x. Especifique los valores de la variable aleatoria y los correspondientes valores de la función de probabilidad \(p(x)\)

Objetivos

• 1. Identificar los valores de \(x\) (variable aleatoria) y de probabilidad de x en la tabla de distribución mediante fecuencia relativa desde 6 hasta 14

¿Cuál es la probabilidad de que la muestra identifique a niños de 4,5 años?

¿Cuál es la probabilidad de que la muestra identifique a niños de 6,7 años?

¿Cuál es la probabilidad de que la muestra identifique a niños de 8,9 años?

¿Cuál es la probabilidad de que la muestra identifique a niños de 10,11 años?

¿Cuál es la probabilidad de que la muestra identifique a niños de 12,13 años?

¿Cuál es la probabilidad de que la muestra identifique a niños de 14 años?

• 2. Determinar valor esperado \(∑xp(x)\)
• 3. Determinar la probabilidad acumulada \(F(X)\) de x (6 a 14)
• 4. Determinar y visualizar la tabla de distribución de probabilidad con columnas de \(x\), \(p(x)\), \(F(x)\) o probabilidad acumulada o función de la distribución acumulativa, \(xp(x)\), \((x−μ)2\), \((x−μ)^2p(x)\)
• 5. Visualizar la gráfica de barra de la variable aleatoria \(x\) con respecto a su probabilidad
• 6. Visualizar la gráfica de la probabilidad acumulada \(F(x)\)
• 7. Determinar varianza \(σ^2=∑(x−μ)^2p(x)\)
• 8. Determinar desviación std \(σ=√σ^2\)

Cálculo de probabilidades

• 9. ¿Cual es la probabilidad para seleccionar un niño de siete años o menor?
• 10. ¿Cuál es la probabilidad para seleccionar un niño de más de ocho años ?
• 11. ¿Cuál es la probabilidad para seleccionar un niño entre nueve y once años?
• 12. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un niño menor que once años?
• 13. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un niño de exactamente la edad de nueve?

Librerías necesarias

#library(gtools) # Para combinations() y permutations()
library(knitr)  # Para kable()

1. Identificar los valores de \(x\) (variable aleatoria) y de probabilidad de \(x\) en la tabla de distribución mediante fecuencia relativa desde 6 hasta 14

x <- c(6,7,8,9,10,11,12,13,14)
ninios <- c(37369, 87436, 160840, 239719, 286719, 306533, 310787, 302604, 289168)
n = sum(ninios)

prob.x <- ninios/ n

x

## [1]  6  7  8  9 10 11 12 13 14

prob.x

## [1] 0.01848875 0.04325998 0.07957747 0.11860378 0.14185758 0.15166079 0.15376551
## [8] 0.14971687 0.14306925

2. Determinar valor esperado \(∑xp(x)\)

v.e <- sum(x * prob.x)
v.e

## [1] 10.99913

3. Determinar la probabilidad acumulada \(F(X)\) de \(x\) \((6\) a \(14)\)

• El valor de la posición de un vetor en \(R\) empieza en \(1\)
• El valor de la variable aleatoria empieza en \(6\)
• Entonces será la posición \(1\) del vector prob.acum.x será para el valor de la variable \(x=6\)
• La posición \(9\) del vector prob.acum.x será para el valor de la variable \(x=14\)

prob.acum.x <- c(sum(prob.x[1]), sum(prob.x[1:2]), sum(prob.x[1:3]),
                 sum(prob.x[1:4]), sum(prob.x[1:5]), sum(prob.x[1:6]),
                 sum(prob.x[1:7]), sum(prob.x[1:8]), sum(prob.x[1:9]))
prob.acum.x

## [1] 0.01848875 0.06174874 0.14132621 0.25992999 0.40178757 0.55344837 0.70721387
## [8] 0.85693075 1.00000000

4. Determinar y visualizar la tabla de distribución de probabilidad con columnas de \(x\), \(p(x)\), \(F(x)\) o probabilidad acumulada o función de la distribución acumulativa, \(xp(x)\), \((x−μ)^2\), \((x−μ)^2p(x)\)

\(x\)	\(p(x)\)	\(F(x)\)	\(xp(x)\)	\((x−μ)^2)\)	\((x−μ)2p(x)\)

tabla <- data.frame(1:9, x, prob.x, prob.acum.x, x * prob.x, (x - v.e) ^ 2, (x - v.e) ^ 2 * prob.x)

colnames(tabla) <- c("pos","x", "prob.x", "prob.acum.x", "x.prob.x", "x-v.e^2", "x-v.e^2prob.x")

kable(tabla)

pos	x	prob.x	prob.acum.x	x.prob.x	x-v.e^2	x-v.e^2prob.x
1	6	0.0184888	0.0184888	0.1109325	24.9912583	0.4620571
2	7	0.0432600	0.0617487	0.3028199	15.9930068	0.6918572
3	8	0.0795775	0.1413262	0.6366198	8.9947553	0.7157799
4	9	0.1186038	0.2599300	1.0674340	3.9965038	0.4740005
5	10	0.1418576	0.4017876	1.4185758	0.9982523	0.1416097
6	11	0.1516608	0.5534484	1.6682687	0.0000008	0.0000001
7	12	0.1537655	0.7072139	1.8451861	1.0017493	0.1540345
8	13	0.1497169	0.8569307	1.9463193	4.0034977	0.5993912
9	14	0.1430693	1.0000000	2.0029696	9.0052462	1.2883739

5. Visualizar la gráfica de barra de la variable aleatoria x con respecto a su probabilidad

barplot(height = tabla$prob.x, names.arg = tabla$x)

6. Visualizar la gráfica de la probabilidad acumulada \(F(x)\)

plot(x,prob.acum.x, type = 'b')

7. Determinar varianza \(σ^2=∑(x−μ)^2p(x)\)

var <- sum((x - v.e) ^ 2 * prob.x)
var

## [1] 4.527104

8. Determinar desviación std \(σ=√σ^2\)

desv.std <- sqrt(var)
desv.std

## [1] 2.127699

9. ¿Cual es la probabilidad para seleccionar un niño de siete años o menor?

\(p(x≤7)\)

entonces:

\(∑p(x=6),p(x=7)=p(6)+p(7)\)
\(F(x=7)\)

• Se identifica la prob.acum.x[7-5] para identificar la fila \(2\) de la columna
• A través de variable i para identificar la diferencia entre el valor inciial de la variable discreta y la posición de la primera fila…
• Se utiliza cat para desplegar dos valores concatentando “%”

i=5 # o sea min(tabla$) - 1  
#
i = min(tabla$x) - 1 # Todas las filas y/o vectores en R empiezan en 1
i

## [1] 5

• Ahora se utiliza i

tabla$prob.acum.x[7-i]

## [1] 0.06174874

cat(tabla$prob.acum.x[7-i] * 100,"%")

## 6.174874 %

10. ¿Cuál es la probabilidad para seleccionar un niño de más de ocho años ?

\(p(x>8)\)

igual a:

\(1−p(x≤8)\)

entonces:

\(1−(∑p(x=6),p(x=7),p(x=8))=1−(p(6)+p(7)+p(8))\)

igual a:

\(1−F(x=8)\)

1 - tabla$prob.acum.x[8-i]

## [1] 0.8586738

11. ¿Cuál es la probabilidad para seleccionar un niño entre nueve y once años?

\(p(9≤x≤11)\)

igual:

\(p(x≤11)−p(x≤8)\)

entonces:

\(p(x≤11)=∑p(6),p(7)...p(11)=p(6)+p(7)+p(8)+p(9)+p(10)+p(11)\)
\(p(x≤8)=∑p(6),p(7)...p(8)=p(6)+p(7)+p(8)\)

de tal forma que:

\(F(11)−F(8)\)

tabla$prob.acum.x[11-i] - tabla$prob.acum.x[8-i]

## [1] 0.4121222

12. ¿Cuál es la probabilida de seleccionar un niño menor que once años?

• Demostrar que es 0.4017876

tabla$prob.acum.x[10-i] 

## [1] 0.4017876

13. ¿Cuál es la probabildiad de seleccionar un niño de exactamente la edad de nueve?

• Demostrar que es 0.2599300

tabla$prob.acum.x[9-i] 

## [1] 0.25993