Librerías necesarias

library(knitr)
1. Identificar los valores de X (variable aleatoria) y de probabilidad de X en la tabla de distribución mediante fecuencia relativa desde 6 hasta 14
x <- c(6,7,8,9,10,11,12,13,14)
ninos <- c(37369, 87436, 160840, 239719, 286719, 306533, 310787, 302604, 289168)
n = sum(ninos)

prob.x <- ninos/ n

x
## [1]  6  7  8  9 10 11 12 13 14
prob.x
## [1] 0.01848875 0.04325998 0.07957747 0.11860378 0.14185758 0.15166079 0.15376551
## [8] 0.14971687 0.14306925
2. Determinar valor esperado

\(\sum xp(x)\)

v.e <- sum(x * prob.x)
v.e
## [1] 10.99913
3. Determinar la probabilidad acumulada

\(F(x)\)

de x (6 a 14)

prob.acum.x <- c(sum(prob.x[1]), sum(prob.x[1:2]), sum(prob.x[1:3]),
                 sum(prob.x[1:4]), sum(prob.x[1:5]), sum(prob.x[1:6]),
                 sum(prob.x[1:7]), sum(prob.x[1:8]), sum(prob.x[1:9]))
prob.acum.x
## [1] 0.01848875 0.06174874 0.14132621 0.25992999 0.40178757 0.55344837 0.70721387
## [8] 0.85693075 1.00000000
4. Determinar y visualizar la tabla de distribución de probabilidad con columnas de \(x , p(x), F(x)\) o probabilidad acumulada o función de la distribución acumulativa, \(xp(x), (x−\mu)^2, (x−\mu)^2p(x)\)
tabla <- data.frame(1:9, x, prob.x, prob.acum.x, x * prob.x, (x - v.e) ^ 2, (x - v.e) ^ 2 * prob.x)

colnames(tabla) <- c("pos","x", "prob.x", "prob.acum.x", "x.prob.x", "x-v.e^2", "x-v.e^2prob.x")

kable(tabla)
pos x prob.x prob.acum.x x.prob.x x-v.e^2 x-v.e^2prob.x
1 6 0.0184888 0.0184888 0.1109325 24.9912583 0.4620571
2 7 0.0432600 0.0617487 0.3028199 15.9930068 0.6918572
3 8 0.0795775 0.1413262 0.6366198 8.9947553 0.7157799
4 9 0.1186038 0.2599300 1.0674340 3.9965038 0.4740005
5 10 0.1418576 0.4017876 1.4185758 0.9982523 0.1416097
6 11 0.1516608 0.5534484 1.6682687 0.0000008 0.0000001
7 12 0.1537655 0.7072139 1.8451861 1.0017493 0.1540345
8 13 0.1497169 0.8569307 1.9463193 4.0034977 0.5993912
9 14 0.1430693 1.0000000 2.0029696 9.0052462 1.2883739
5. Visualizar la gráfica de barra de la variable aleatoria x con respecto a su probabilidad
barplot(height = tabla$prob.x, names.arg = tabla$x)

6. Visualizar la gráfica de la probabilidad acumulada

\(F(x)\)

plot(x,prob.acum.x, type = 'b')

7. Determinar varianza

\(\sigma ^2 = \sum (x - \mu) ^2 p(x)\)

var <- sum((x - v.e) ^ 2 * prob.x)
var
## [1] 4.527104
8. Determinar desviación std

\(\sigma = \sqrt{\sigma ^2}\)

desv.std <- sqrt(var)
desv.std
## [1] 2.127699

Cálculo de probabilidades

A partir de la tabla de distribución de proabilidad

\(pos | x | p(x) | F(x)\)

kable(tabla[,1:4])
pos x prob.x prob.acum.x
1 6 0.0184888 0.0184888
2 7 0.0432600 0.0617487
3 8 0.0795775 0.1413262
4 9 0.1186038 0.2599300
5 10 0.1418576 0.4017876
6 11 0.1516608 0.5534484
7 12 0.1537655 0.7072139
8 13 0.1497169 0.8569307
9 14 0.1430693 1.0000000
9. ¿Cual es la probabilidad para seleccionar un niño de siete años o menor?

\(p(x\leq7)\) entonces: \(\sum p(x=6),p(x=7) = p(6) + p(7)\) \(F(x=7)\)

  • Se identifica la prob.acum.x[7-5] para identificar la fila 2 de la columna
  • A través de variable i para identificar la diferencia entre el valor inciial de la variable discreta y la posición de la primera fila…
  • Se utiliza cat para desplegar dos valores concatentando “%”
i=5 
i = min(tabla$x) - 1 
i
## [1] 5
tabla$prob.acum.x[7-i]
## [1] 0.06174874
cat(tabla$prob.acum.x[7-i] * 100,"%")
## 6.174874 %
10. ¿Cuál es la probabilidad para seleccionar un niño de más de ocho años ?

\(p(x>8)\)

1 - tabla$prob.acum.x[8-i]
## [1] 0.8586738
11. ¿Cuál es la probabilidad para seleccionar un niño entre nueve y once años?

\(p(9≤x≤11)\)

tabla$prob.acum.x[11-i] - tabla$prob.acum.x[8-i]
## [1] 0.4121222
12. ¿Cuál es la probabilida de seleccionar un niño menor que once años?

\(p(x < 11)\)

tabla$prob.acum.x[10-i] 
## [1] 0.4017876
13. ¿Cuál es la probabildiad de seleccionar un niño de exactamente la edad de nueve?

\(p(x=9)\)

tabla$prob.acum.x[9-i]
## [1] 0.25993