Caso: dos Dados

Cálculo de probabilidades

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library(gtools) # Permutaciones
library(knitr)  # Para kable() para que se vea mas amigable

Simular el lanzamiento de los dados

dados <- data.frame(permutations(6, 2, repeats.allowed = TRUE))
dados
##    X1 X2
## 1   1  1
## 2   1  2
## 3   1  3
## 4   1  4
## 5   1  5
## 6   1  6
## 7   2  1
## 8   2  2
## 9   2  3
## 10  2  4
## 11  2  5
## 12  2  6
## 13  3  1
## 14  3  2
## 15  3  3
## 16  3  4
## 17  3  5
## 18  3  6
## 19  4  1
## 20  4  2
## 21  4  3
## 22  4  4
## 23  4  5
## 24  4  6
## 25  5  1
## 26  5  2
## 27  5  3
## 28  5  4
## 29  5  5
## 30  5  6
## 31  6  1
## 32  6  2
## 33  6  3
## 34  6  4
## 35  6  5
## 36  6  6

Encontrar las sumas y frecuencias

sumar.dados <- apply(dados, MARGIN = 1, FUN = sum)
sumar.dados
##  [1]  2  3  4  5  6  7  3  4  5  6  7  8  4  5  6  7  8  9  5  6  7  8  9 10  6
## [26]  7  8  9 10 11  7  8  9 10 11 12
frecuencia_sumas <- as.data.frame((table(sumar.dados)))

class(frecuencia_sumas)
## [1] "data.frame"
colnames(frecuencia_sumas)
## [1] "sumar.dados" "Freq"
frecuencia_sumas$sumar.dados
##  [1] 2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12
## Levels: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
frecuencia_sumas$Freq
##  [1] 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
x <- as.numeric(as.vector(frecuencia_sumas$sumar.dados))
# Variable aleatoria desde 2 hasta 12 numérica
x
##  [1]  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
frecuencia <-as.numeric(as.vector(frecuencia_sumas$Freq))
frecuencia    # Ya como valor numérico
##  [1] 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
n <- sum(frecuencia)
n
## [1] 36

1. Identificar los valores de x y de probabilidad de xen la tabla de distribución mediante permutaciones…

x
##  [1]  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
prob.x <- frecuencia / n
prob.x
##  [1] 0.02777778 0.05555556 0.08333333 0.11111111 0.13888889 0.16666667
##  [7] 0.13888889 0.11111111 0.08333333 0.05555556 0.02777778
sum(prob.x)
## [1] 1

2. Determinar valor esperado \(\sum xp(x)\)

v.e <- sum(x * prob.x)
v.e
## [1] 7

3. Determinar la probabilidad acumulada \(F(X)\) de \(p(x)\)

prob.acum.x <- c(sum(prob.x[1]), sum(prob.x[1:2]), sum(prob.x[1:3]), sum(prob.x[1:4]), sum(prob.x[1:5]),
sum(prob.x[1:6]), sum(prob.x[1:7]),
sum(prob.x[1:8]), sum(prob.x[1:9]),
sum(prob.x[1:10]), sum(prob.x[1:11]))
prob.acum.x
##  [1] 0.02777778 0.08333333 0.16666667 0.27777778 0.41666667 0.58333333
##  [7] 0.72222222 0.83333333 0.91666667 0.97222222 1.00000000

4. Determinar y visualizar la tabla de distribución de probabilidad con columnas de

\(pos\) \(x\) \(Freq\) \(p(x)\) \(F(x)\) \(xp(x)\) \((x - \mu) ^ 2)\) \((x - \mu) ^ 2 p(x)\) 
tabla <- data.frame(1:11, x, frecuencia, prob.x, prob.acum.x, x * prob.x, (x - v.e) ^ 2, (x - v.e) ^ 2 * prob.x)

colnames(tabla) <- c("pos","x", "frec","prob.x", "prob.acum.x", "x.prob.x", "x-v.e^2", "x-v.e^2prob.x")

kable(tabla)
pos x frec prob.x prob.acum.x x.prob.x x-v.e^2 x-v.e^2prob.x
1 2 1 0.0277778 0.0277778 0.0555556 25 0.6944444
2 3 2 0.0555556 0.0833333 0.1666667 16 0.8888889
3 4 3 0.0833333 0.1666667 0.3333333 9 0.7500000
4 5 4 0.1111111 0.2777778 0.5555556 4 0.4444444
5 6 5 0.1388889 0.4166667 0.8333333 1 0.1388889
6 7 6 0.1666667 0.5833333 1.1666667 0 0.0000000
7 8 5 0.1388889 0.7222222 1.1111111 1 0.1388889
8 9 4 0.1111111 0.8333333 1.0000000 4 0.4444444
9 10 3 0.0833333 0.9166667 0.8333333 9 0.7500000
10 11 2 0.0555556 0.9722222 0.6111111 16 0.8888889
11 12 1 0.0277778 1.0000000 0.3333333 25 0.6944444

5. Visualizar la gráfica de barra de la variable aleatoria x con respecto a su probabilidad

barplot(height = prob.x, names.arg = x)

6. Visualizar la gráfica de la probabilidad acumulada \(F(x)\)

plot(x,prob.acum.x, type = 'b')

7. Determinar varianza \(\sigma ^ 2 = \sum (x - \mu) ^ 2 p(x)\)

var <- sum((x - v.e) ^ 2 * prob.x)
var
## [1] 5.833333

8. Determinar desviación std \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\)

desv.std <- sqrt(var)
desv.std
## [1] 2.415229

Cálculo de probabilidades

kable(tabla[,c(1,2,4,5)])
pos x prob.x prob.acum.x
1 2 0.0277778 0.0277778
2 3 0.0555556 0.0833333
3 4 0.0833333 0.1666667
4 5 0.1111111 0.2777778
5 6 0.1388889 0.4166667
6 7 0.1666667 0.5833333
7 8 0.1388889 0.7222222
8 9 0.1111111 0.8333333
9 10 0.0833333 0.9166667
10 11 0.0555556 0.9722222
11 12 0.0277778 1.0000000

9. ¿Cual es la probabilidad de que la suma sea MENOR O IGUAL A SEIS?

  • Pendiente a demostrar
  • 0.4166667

\[p(x\leq6)\] es:

\[\sum p(x=2),(x=3),(x=4),(x=5),(x=6)\] ó \[F(x=6)\]

i=1 
i=min(tabla$x) - tabla$pos[1]
i
## [1] 1

10. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea DIEZ O MAS ?

tabla$prob.acum.x[6-i]
## [1] 0.4166667

11. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma esté entre CINCO y DIEZ ?

(tabla$prob.acum.x[10-i] - tabla$prob.acum[4-i])
## [1] 0.75

12. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma SEA MAYOR QUE ONCE?

1 - tabla$prob.acum.x[11-i]
## [1] 0.02777778