Librerie richieste

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Identificazione del portafoglio

Amazon
Alphabet
Facebook
AT&T
Verizon Communications
Ford Motor Company
General Motors Company
Netflix
Tesla
Apple

ticker=c("AMZN","GOOG","FB","T","VZ","F","GM","NFLX","TSLA","AAPL")
getSymbols(ticker,from="2016-01-01", to="2019-12-31")

##  [1] "AMZN" "GOOG" "FB"   "T"    "VZ"   "F"    "GM"   "NFLX" "TSLA" "AAPL"

Per ciascun titolo si crea un oggetto contenente le quotazioni giornaliere del titolo: prezzo di apertura (open), il massimo (High) e il minimo (low) giornaliero, il prezzo di chiusura (close) e la quotazione “Adjusted” per split e dividendi

Rappresentazione grafica delle quotazioni “Adjusted” Amazon

Amazon=AMZN$AMZN.Adjusted
plot.xts(Amazon, type = "l", col = "blue", lwd = 2, main = "Amazon - Adjusted")

Rappresentazione grafica delle quotazioni “Adjusted” Netflix

Netflix=NFLX$NFLX.Adjusted
plot.xts(Netflix, type = "l", col = "blue", lwd = 2, main = "NFLX - Adjusted")

Creazione della matrice dei rendimenti giornalieri

amzn=periodReturn(AMZN$AMZN.Adjusted,period="daily",type="log")
goog=periodReturn(GOOG$GOOG.Adjusted,period="daily",type="log")
fb=periodReturn(FB$FB.Adjusted,period="daily",type="log")
t=periodReturn(T$T.Adjusted,period="daily",type="log")
vz=periodReturn(VZ$VZ.Adjusted,period="daily",type="log")
f=periodReturn(F$F.Adjusted,period="daily",type="log")
gm=periodReturn(GM$GM.Adjusted,period="daily",type="log")
nflx=periodReturn(NFLX$NFLX.Adjusted,period="daily",type="log")
tsla=periodReturn(TSLA$TSLA.Adjusted,period="daily",type="log")
aapl=periodReturn(AAPL$AAPL.Adjusted,period="daily",type="log")
r=cbind(amzn,goog,fb,t,vz,f,gm,nflx,tsla,aapl)
#moltiplichiamo per 100 per avere rendimenti percentuali
r=r*100
colnames(r)<-ticker
head(round(r,4))

##               AMZN    GOOG      FB       T      VZ       F      GM    NFLX
## 2016-01-04  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000
## 2016-01-05 -0.5036  0.0997  0.4977  0.6963  1.3641 -1.8058 -2.6774 -2.1139
## 2016-01-06 -0.1800  0.1400  0.2333 -0.1467 -0.9076 -4.5479 -3.6424  8.8991
## 2016-01-07 -3.9841 -2.3443 -5.0287 -1.6280 -0.5507 -3.1774 -4.1795 -2.6870
## 2016-01-08 -0.1465 -1.6546 -0.6044  0.0895 -0.9767 -1.2679 -1.5457 -2.8061
## 2016-01-11  1.7457  0.2181  0.1848  1.2150  0.5783  1.8175  2.4089  3.1634
##               TSLA    AAPL
## 2016-01-04  0.0000  0.0000
## 2016-01-05  0.0089 -2.5379
## 2016-01-06 -1.9844 -1.9764
## 2016-01-07 -1.5598 -4.3121
## 2016-01-08 -2.1799  0.5274
## 2016-01-11 -1.5041  1.6063

Rappresentazione grafica log-rendimenti giornalieri titolo Amazon

plot.xts(amzn, type = "l", col = "blue", lwd = 2, main = "Amazon - Log-rendimenti")

Rappresentazione grafica log-rendimenti giornalieri titolo Netflix

plot.xts(nflx, type = "l", col = "blue", lwd = 2, main = "Netflix - Log-rendimenti")

Valore atteso e rischio dei rendimenti

Er=colMeans(r);round(Er,4)

##    AMZN    GOOG      FB       T      VZ       F      GM    NFLX    TSLA    AAPL 
##  0.1059  0.0585  0.0690  0.0343  0.0466 -0.0192  0.0268  0.1073  0.0615  0.1080

Sigma=var(r)
sdr=sqrt(diag(Sigma));round(sdr,4)

##   AMZN   GOOG     FB      T     VZ      F     GM   NFLX   TSLA   AAPL 
## 1.7510 1.4120 1.8276 1.1761 1.0950 1.5786 1.6341 2.4541 2.9052 1.5363

Rappresentazione dei titoli sul piano rendimenti-volatilità

d=data.frame(Er,sdr,ticker)
plot = ggplot(data=d,aes(sdr, Er))+
  geom_text(aes(label = ticker), size = 3)+
  labs(title = "Rendimenti medi Vs Volatilità", x = "Volatilità",y="Rendimenti medi", subtitle = "Periodo: 2016-2019")+
  theme_light()
plot

Matrice di varianza e covarianza dei rendimenti

Sigma=var(r)
round(Sigma,2)

##      AMZN GOOG   FB    T   VZ    F   GM NFLX TSLA AAPL
## AMZN 3.07 1.64 1.89 0.32 0.16 0.69 0.71 2.35 1.58 1.46
## GOOG 1.64 1.99 1.58 0.35 0.21 0.64 0.80 1.78 1.20 1.25
## FB   1.89 1.58 3.34 0.23 0.15 0.87 0.86 1.89 1.42 1.24
## T    0.32 0.35 0.23 1.38 0.77 0.53 0.54 0.34 0.29 0.37
## VZ   0.16 0.21 0.15 0.77 1.20 0.38 0.28 0.12 0.27 0.16
## F    0.69 0.64 0.87 0.53 0.38 2.49 1.73 0.83 0.91 0.65
## GM   0.71 0.80 0.86 0.54 0.28 1.73 2.67 0.85 1.07 0.77
## NFLX 2.35 1.78 1.89 0.34 0.12 0.83 0.85 6.02 2.15 1.57
## TSLA 1.58 1.20 1.42 0.29 0.27 0.91 1.07 2.15 8.44 1.35
## AAPL 1.46 1.25 1.24 0.37 0.16 0.65 0.77 1.57 1.35 2.36

Matrice di correlazione dei rendimenti

corrmat=cor(r)
round(corrmat,2)

##      AMZN GOOG   FB    T   VZ    F   GM NFLX TSLA AAPL
## AMZN 1.00 0.66 0.59 0.16 0.09 0.25 0.25 0.55 0.31 0.54
## GOOG 0.66 1.00 0.61 0.21 0.13 0.29 0.35 0.51 0.29 0.58
## FB   0.59 0.61 1.00 0.11 0.07 0.30 0.29 0.42 0.27 0.44
## T    0.16 0.21 0.11 1.00 0.60 0.29 0.28 0.12 0.08 0.21
## VZ   0.09 0.13 0.07 0.60 1.00 0.22 0.16 0.04 0.09 0.09
## F    0.25 0.29 0.30 0.29 0.22 1.00 0.67 0.21 0.20 0.27
## GM   0.25 0.35 0.29 0.28 0.16 0.67 1.00 0.21 0.22 0.31
## NFLX 0.55 0.51 0.42 0.12 0.04 0.21 0.21 1.00 0.30 0.42
## TSLA 0.31 0.29 0.27 0.08 0.09 0.20 0.22 0.30 1.00 0.30
## AAPL 0.54 0.58 0.44 0.21 0.09 0.27 0.31 0.42 0.30 1.00

corrplot(corrmat, type="upper", order="hclust")

Portafoglio con pesi tutti pari a 0.1

K=length(ticker)
# Pesi
W <- rep(1/K,K);W

##  [1] 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

# Rendimento atteso
Ep=W%*%Er;round(Ep,4)

##        [,1]
## [1,] 0.0599

# Volatilità
sdP=(as.vector(W%*%Sigma%*%W))^0.5
round(sdP,4)

## [1] 1.0739

Nuovi pesi, nuovo portafoglio

# Pesi
W <- c(0.15,0.15,0.15,0.15,0.15,0.05,0.05,0.05,0.05,0.05);W

##  [1] 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05

# Rendimento atteso
Ep=W%*%Er;round(Ep,4)

##        [,1]
## [1,] 0.0614

# Volatilità
sdP=(as.vector(W%*%Sigma%*%W))^0.5
round(sdP,4)

## [1] 1.0101

Scelta del portafoglio a varianza minima fissato il rendimento atteso pari a 0.07

portfolio <- portfolio.optim(r,pm=0.07)
ticker

##  [1] "AMZN" "GOOG" "FB"   "T"    "VZ"   "F"    "GM"   "NFLX" "TSLA" "AAPL"

# pesi
round(100*portfolio$pw,2)

##  [1] 11.97  0.00  2.70  7.76 45.88  0.00  3.43  2.17  0.00 26.10

# Rendimento atteso
round(portfolio$pm,4)

## [1] 0.07

# Volatilità
round(portfolio$ps,2)

## [1] 0.89

## [1] 0.07

## [1] 0.89

Scelta del portafoglio a varianza minima su una griglia di rendimenti attesi

G=100
pm=seq(from=min(Er)+0.001,to=0.25,length=G)
Erp=NA
sd_p=NA
for(i in 1:G){
  portfolio <- portfolio.optim(r,pm=pm[i],shorts=TRUE)
  Erp[i]=portfolio$pm
  sd_p[i]=portfolio$ps
}
mvpind=which(sd_p==min(sd_p))
# Portafoglio a varianza minima
mvportfolio <- portfolio.optim(r,pm=pm[mvpind])
ticker

##  [1] "AMZN" "GOOG" "FB"   "T"    "VZ"   "F"    "GM"   "NFLX" "TSLA" "AAPL"

# Pesi
round(100*mvportfolio$pw,4)

##  [1]  2.0297 11.8938  3.9978 16.8059 40.9565  6.5769  5.9217  0.0000  0.5750
## [10] 11.2426

# Rendimento atteso
round(mvportfolio$pm,4)

## [1] 0.0495

# Volatilita'
round(mvportfolio$ps,4)

## [1] 0.8453

Portafoglio a varianza minima

Risultati ottimizzazione al variare del rendimento atteso

Insieme di tutte le combinazioni di asset che a parità di rischio hanno il rendimento più elevato e che a parità di rendimento hanno il rischio minore

Introduciamo il risk-free asset

Treasury bill americani a 13 settimane: sono rendimenti annuali forniti in percentuale

getSymbols("^IRX",from="2016-01-01", to="2019-12-31")

## [1] "^IRX"

#con na.omit eliminiamo i dati mancanti
rates=na.omit(IRX$IRX.Close)
summary(rates)

##      Index              IRX.Close    
##  Min.   :2016-01-04   Min.   :0.155  
##  1st Qu.:2016-12-29   1st Qu.:0.493  
##  Median :2017-12-28   Median :1.370  
##  Mean   :2017-12-29   Mean   :1.294  
##  3rd Qu.:2018-12-29   3rd Qu.:1.976  
##  Max.   :2019-12-30   Max.   :2.408

drates=((1+rates/100)^(1/252)-1)
mean((1+drates)^252-1)

## [1] 0.01294455

rf=mean(drates)*100; rf

## [1] 0.005092624

plot.xts(rates, type = "l", 
         col = "blue", lwd = 2, 
         main = "T-bill rates annuali")

Calcolo dello Sharpe ratio per ogni portafoglio

Treasury bill americani a 13 settimane: sono rendimenti annuali forniti in percentuale

Sharpe=NA
for(i in 1:G){
Sharpe[i]=(Erp[i]-rf)/sd_p[i]
}
# Portafoglio con Sharpe ratio massimo
s=which(Sharpe==max(Sharpe))
# Sharpe ratio
Sharpe[s]

## [1] 0.09458444

tangentportfolio <- portfolio.optim(r,pm=pm[s],shorts=TRUE)
# Pesi
round(100*tangentportfolio$pw,2)

##  [1]  37.72 -35.10   5.75  -8.74  67.23 -66.50  29.30  10.16  -3.37  63.53

# Rendimento atteso
round(tangentportfolio$pm,4)

## [1] 0.1498

# Volatilita'
round(tangentportfolio$ps,4)

## [1] 1.5296

Indice di mercato: S&P500

getSymbols("^GSPC",from="2016-01-01",to="2019-12-31")

## [1] "^GSPC"

SP500=GSPC$GSPC.Adjusted
plot.xts(SP500, type = "l", col = "blue", lwd = 2, main = "S&P 500")

Rendimenti giornalieri S&P500

sp500=periodReturn(SP500,period="daily",type="log")
sp500=sp500*100
colnames(sp500)<-"S&P500"
plot.xts(sp500, type = "l", col = "blue", lwd = 2, main = "S&P500 - Log-rendimenti")

muM=mean(sp500);round(muM,4)

## [1] 0.0468

sdM=sd(sp500);round(sdM,4)

## [1] 0.8112

\(\mu_M\) e \(\sigma_M\) sono pari rispettivamente a 0.0468 e 0.8112

Eccessi di rendimento

#Eccessi di rendimento dei diversi titoli
Exr = r - rf
#Eccesso di rendimento del mercato
ExrM = sp500-rf

TESTING DEL MODELLO CAPM

Studiamo la relazione tra il tasso di rendimento di ciascun asset e il rendimento di mercato attraverso la stima del seguente modello di regressione lineare

\[R_{jt}^*=\alpha_j+\beta_j R_{Mt}^*+\epsilon_{jt}\]

dove \(R_{jt}^*=R_{jt}-\mu_{ft}\) e \(R_{Mt}^*=R_{Mt}-\mu_{ft}\) sono gli eccessi di rendimento rispetto al risk-free asset

Amazon=Exr[,1]
res = lm(Amazon~ExrM)
summ(res)

Observations	1005
Dependent variable	Amazon
Type	OLS linear regression

F(1,1003)	703.19
R²	0.41
Adj. R²	0.41

	Est.	S.E.	t val.	p
(Intercept)	0.04	0.04	1.01	0.31
ExrM	1.39	0.05	26.52	0.00
Standard errors: OLS

Alphabet=Exr[,2]
res = lm(Alphabet~ExrM)
summ(res)

Observations	1005
Dependent variable	Alphabet
Type	OLS linear regression

F(1,1003)	1014.15
R²	0.50
Adj. R²	0.50

	Est.	S.E.	t val.	p
(Intercept)	0.00	0.03	0.06	0.95
ExrM	1.23	0.04	31.85	0.00
Standard errors: OLS

Facebook=Exr[,3]
res = lm(Facebook~ExrM)
summ(res)

Observations	1005
Dependent variable	Facebook
Type	OLS linear regression

F(1,1003)	426.70
R²	0.30
Adj. R²	0.30

	Est.	S.E.	t val.	p
(Intercept)	0.01	0.05	0.26	0.80
ExrM	1.23	0.06	20.66	0.00
Standard errors: OLS

Facebook=Exr[,4]
res = lm(Facebook~ExrM)
summ(res)

Observations	1005
Dependent variable	Facebook
Type	OLS linear regression

F(1,1003)	215.91
R²	0.18
Adj. R²	0.18

	Est.	S.E.	t val.	p
(Intercept)	0.00	0.03	0.11	0.91
ExrM	0.61	0.04	14.69	0.00
Standard errors: OLS

Verizon=Exr[,5]
res = lm(Verizon~ExrM)
summ(res)

Observations	1005
Dependent variable	Verizon
Type	OLS linear regression

F(1,1003)	144.89
R²	0.13
Adj. R²	0.13

	Est.	S.E.	t val.	p
(Intercept)	0.02	0.03	0.66	0.51
ExrM	0.48	0.04	12.04	0.00
Standard errors: OLS

Ford=Exr[,6]
res = lm(Ford~ExrM)
summ(res)

Observations	1005
Dependent variable	Ford
Type	OLS linear regression

F(1,1003)	391.40
R²	0.28
Adj. R²	0.28

	Est.	S.E.	t val.	p
(Intercept)	-0.07	0.04	-1.59	0.11
ExrM	1.03	0.05	19.78	0.00
Standard errors: OLS

GM=Exr[,7]
res = lm(GM~ExrM)
summ(res)

Observations	1005
Dependent variable	GM
Type	OLS linear regression

F(1,1003)	382.92
R²	0.28
Adj. R²	0.28

	Est.	S.E.	t val.	p
(Intercept)	-0.02	0.04	-0.51	0.61
ExrM	1.06	0.05	19.57	0.00
Standard errors: OLS

Netflix=Exr[,8]
res = lm(Netflix~ExrM)
summ(res)

Observations	1005
Dependent variable	Netflix
Type	OLS linear regression

F(1,1003)	378.81
R²	0.27
Adj. R²	0.27

	Est.	S.E.	t val.	p
(Intercept)	0.04	0.07	0.55	0.58
ExrM	1.58	0.08	19.46	0.00
Standard errors: OLS

Tesla=Exr[,9]
res = lm(Tesla~ExrM)
summ(res)

Observations	1005
Dependent variable	Tesla
Type	OLS linear regression

F(1,1003)	153.14
R²	0.13
Adj. R²	0.13

	Est.	S.E.	t val.	p
(Intercept)	0.00	0.09	0.02	0.98
ExrM	1.30	0.11	12.37	0.00
Standard errors: OLS

Apple=Exr[,10]
res = lm(Apple~ExrM)
summ(res)

Observations	1005
Dependent variable	Apple
Type	OLS linear regression

F(1,1003)	839.80
R²	0.46
Adj. R²	0.46

	Est.	S.E.	t val.	p
(Intercept)	0.05	0.04	1.38	0.17
ExrM	1.28	0.04	28.98	0.00
Standard errors: OLS

Valori di \(\alpha\) e \(\beta\)

res=lm(Exr~ExrM)
betas=res$coeff[2,]
sort(round(betas,2))

##   VZ    T    F   GM GOOG   FB AAPL TSLA AMZN NFLX 
## 0.48 0.61 1.03 1.06 1.23 1.23 1.28 1.30 1.39 1.58

Il valore di \(\beta\) misura la sensibilità del titolo alle variazioni di mercato (rischio sistematico)

alphas=res$coeff[1,]
round(sort(alphas),2)

##     F    GM  GOOG  TSLA     T    FB    VZ  NFLX  AMZN  AAPL 
## -0.07 -0.02  0.00  0.00  0.00  0.01  0.02  0.04  0.04  0.05

Il valore di \(\alpha\) esprime, invece, l’attitudine di un titolo a variare indipendentemente dal mercato (rischio specifico)

Il modello CAPM postula \(\alpha=0\). \(\alpha \neq 0\) implica misspricing

Scomposizione del rischio di ciascun asset in rischio di mercato (componente sistematica e non eliminabile) e rischio specifico (componente non sistematica)

# Volatilità dei singoli asset
SD=apply(Exr,2,sd)
round(sort(SD),2)

##   VZ    T GOOG AAPL    F   GM AMZN   FB NFLX TSLA 
## 1.10 1.18 1.41 1.54 1.58 1.63 1.75 1.83 2.45 2.91

# Volatilità del mercato
sM=sd(ExrM);round(sM,2)

## [1] 0.81

# Varianza dovuta al rischio di mercato
RdM=res$coefficients[2,]^2*sM^2;round(RdM,2)

## AMZN GOOG   FB    T   VZ    F   GM NFLX TSLA AAPL 
## 1.26 1.00 1.00 0.25 0.15 0.70 0.74 1.65 1.12 1.08

#varianza dovuta al rischio specifico 
RS=apply(res$residuals,2,var);round(RS,2)

## AMZN GOOG   FB    T   VZ    F   GM NFLX TSLA AAPL 
## 1.80 0.99 2.34 1.14 1.05 1.79 1.93 4.37 7.32 1.28

#Quota di volatilità dovuta al rischio specifico
round(sort(RS/SD^2)*100,2)

##  GOOG  AAPL  AMZN    FB     F    GM  NFLX     T  TSLA    VZ 
## 49.72 54.43 58.79 70.15 71.93 72.37 72.59 82.29 86.75 87.38

Matrice di correlazione dei residui

L’assunzione chiave è l’incorrelazione tra le \(\epsilon_j\)

Tutte le correlazioni tra i rendimenti dovrebbero essere spiegate esclusivamente con il loro legame con il portafoglio di mercato

corrmat=cor(res$residuals)
round(corrmat,2)

##       AMZN  GOOG    FB     T    VZ     F    GM  NFLX  TSLA  AAPL
## AMZN  1.00  0.39  0.37 -0.16 -0.20 -0.14 -0.14  0.32  0.11  0.19
## GOOG  0.39  1.00  0.38 -0.14 -0.18 -0.15 -0.05  0.24  0.05  0.19
## FB    0.37  0.38  1.00 -0.16 -0.15  0.02  0.00  0.19  0.09  0.12
## T    -0.16 -0.14 -0.16  1.00  0.53  0.08  0.08 -0.13 -0.08 -0.12
## VZ   -0.20 -0.18 -0.15  0.53  1.00  0.04 -0.04 -0.18 -0.05 -0.21
## F    -0.14 -0.15  0.02  0.08  0.04  1.00  0.54 -0.09  0.01 -0.15
## GM   -0.14 -0.05  0.00  0.08 -0.04  0.54  1.00 -0.09  0.04 -0.07
## NFLX  0.32  0.24  0.19 -0.13 -0.18 -0.09 -0.09  1.00  0.14  0.10
## TSLA  0.11  0.05  0.09 -0.08 -0.05  0.01  0.04  0.14  1.00  0.08
## AAPL  0.19  0.19  0.12 -0.12 -0.21 -0.15 -0.07  0.10  0.08  1.00

corrplot(corrmat, type="upper", order="hclust")

Laboratorio R - Portfolio Analysis e Modello CAPM

SA Gattone

19/05/2020