El modelo para el que se desarrolla la teoría de valores extremos está enfocado a describir el comportamiento estadístico de

\[M_n=max\{X_1,...,X_n\},\]

donde \(X_1,..., X_n\) es una secuencia de variables aleatorias independientes con distribución común \(F\) y \(M_n\) representa el máximo del proceso sobre \(n\) unidades de tiempos de observación.

\(G(z) = exp\{-exp[-(\frac{z-b}{a})]\}, -\infty < z< \infty\)

\(G(z) = \left \{ \begin{matrix} 0 & \ x \leq b \\ exp\{-(\frac{z-b}{a})^{-\alpha}\} & x > b \end{matrix}\right.\)

\(G(z)= \left \{ \begin{matrix} exp\{-[-(\frac{z-b}{a})]^{\alpha}\} & \ x < b \\ 1 & x \geq b \end{matrix}\right.\)

En el criterio de Block-Máxima los datos se seleccionan por bloques y el valor máximo de cada uno de estos bloques es tomado como un valor extremo. Ahora bien, bajo este criterio una de las grandes limitaciones es que precisamente solamente se obtiene un valor extremo y esto no puede ser enteramente preciso y/o adecuado.

El método máximo de bloques tiene como principal deficiencia, la ineficiencia en el uso de los datos, es decir, se desperdician observaciones que pueden ser consideradas extremas ya que solo se toma un solo punto dentro de un bloque. Por esta razón, en la práctica se ha sustituido en gran medida por métodos basados en excedencias sobre un umbral, en donde se usan todos los datos que son extremos en el sentido de que sobrepasan un determinado nivel alto pre-determinado.

El método POT es útil para grandes observaciones que exceden un umbral alto u. Este método es más útil que el máximo por bloques en aplicaciones prácticas, debido al uso más eficiente de los datos en valores extremos. Desde el punto de vista de un inversor, se está interesado en las pérdidas que exceden un umbral u. Dado un conjunto de datos \(x_1,...x_n\) de una función de distribución desconocida denotada como F, existe un número aleatorio \(N_u\) de pérdidas que excederá el umbral u. Estos datos se denotan como \(\tilde{x_1},...\tilde{x_n}\).

La selección del umbral u, conlleva un trade-off entre sesgo y varianza en la estimación. Valores muy bajos del umbral generan sesgo en la estimación, mientras que valores muy altos del umbral generan alta varianza en la estimación.

Un incremento en la frecuencia e intensidad de catástrofes naturales tales como, ciclones, huracanes, tsunamis, terremotos, etc, ha traído como consecuencia un aumento en el número reclamos en empresas aseguradoras; poniendo en juego la solvencia del portafolio e inclusive una parte substancial de la compañía.

Ante estas situaciones surgen los siguientes cuestionamientos: - ¿Cuál es la distribución de los reclamos asociados a estas catástrofes? - ¿Existe alguna evidencia de un cambio de distribución en la cantidad y frecuencia de reclamos a lo largo del tiempo? - ¿Cuál es la influencia que tiene los reclamos asociados a catástrofes en la distribución total de la cantidad de reclamos? -¿Cuál es la distribución de probabilidad adecuada para calcular la cantidad de dinero necesaria para hacer frente a los grandes reclamos que se puedan suscitar en el futuro? Estas y otras preguntas podrían ser resueltas por la TVE.

El gran potencial que tiene la aplicación de la TVE en problemas financieros ha sido reconocido recientemente, pues es en estas últimas décadas que los mercados financieros se han caracterizado por una alta volatilidad y una inestabilidad significante. Esto nos lleva a la búsqueda de metodologías más apropiadas y capaces de brindar datos más exactos sobre la cantidad que podría perderse en una cartera de activos durante un período de tiempo determinado.

La conciencia que ha surgido sobre estos temas, se sustenta por una serie de incidentes catastróficos que han traído pérdidas significativas e inclusive la quiebra de algunas entidades; tal y como fue el caso del Banco Británico Barings, el cual en febrero de 1995, perdió cerca de $ 1.3 mil millones de dólares como resultado de malas inversiones especulativas. Como resultado, el banco se derrumbó, y fue posteriormente por una libra.

##    Time Observations
## 1 -10.0            0
## 2  -9.9            0
## 3  -9.8            0
## 4  -9.7            0
## 5  -9.6            0
## 6  -9.5            0

##    Time Observations
## 1 -10.0            0
## 2  -9.9            0
## 3  -9.8            0
## 4  -9.7            0
## 5  -9.6            0
## 6  -9.5            0

##    Time Observations
## 1 -10.0 1.919718e-43
## 2  -9.9 2.338991e-42
## 3  -9.8 2.726787e-41
## 4  -9.7 3.042965e-40
## 5  -9.6 3.252047e-39
## 6  -9.5 3.329823e-38

## 
## Call: fgev(x = GumbelGEV$data, std.err = FALSE) 
## Deviance: -1221.733 
## 
## Estimates
##       loc      scale      shape  
## 0.0004608  0.0014843  1.0017600  
## 
## Optimization Information
##   Convergence: successful 
##   Function Evaluations: 98 
##   Gradient Evaluations: 14

## 
## Call: fgev(x = FrechetGEV$data, std.err = FALSE) 
## Deviance: -1082.197 
## 
## Estimates
##      loc     scale     shape  
## 0.002289  0.003840  1.196844  
## 
## Optimization Information
##   Convergence: successful 
##   Function Evaluations: 351 
##   Gradient Evaluations: 26

## 
## Call: fgev(x = WeibullGEV$data) 
## Deviance: -1754.925 
## 
## Estimates
##       loc      scale      shape  
## 0.0008346  0.0019415  2.0281387  
## 
## Standard Errors
##       loc      scale      shape  
## 1.999e-06  1.999e-06  1.592e-01  
## 
## Optimization Information
##   Convergence: successful 
##   Function Evaluations: 175 
##   Gradient Evaluations: 22

la Teoría de los Valores Extremos es la llamada a realizar el análisis pertinente sobre la cola de la distribución de los eventos extremos que se presenten en los datos obtenidos, ya que hasta ahora por medio de esta teoría es como mejor se ha podido interpretar el comportamiento de los datos atípicos.

La estadística de los valores extremos no pierde la condición de ser una ciencia no exacta, y, por tanto, los resultados obtenidos en el estudio deben ser tomados como una aproximación en previsión de lo que realmente pueda ocurrir y sean de utilidad para la gestión en el mercado, mejorando la capacidad para la toma de decisiones de forma eficiente.