Ejercicio 11.69

El fabricante de autos Lexus ha aumentado continuamente sus ventas desde el lanzamiento de esa marca en 1989 en Estados Unidos. No obstante, el porcentaje de aumento cambió en 1996 cuando el Lexus introdujo una línea de camiones. Las ventas de vehículos Lexus de 1996 a 2003 se muestran en la siguiente tabla.

#Year <- c(1996:2003)
Sales <- c(18.5, 22.6, 27.2, 31.2, 33, 44.9, 49.4, 35)
Year <- c(-7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7)
lexusDF <- data.frame(Year, Sales)
Grafica de la data
salesLR <- lm(Sales ~ Year, data = lexusDF)
summary(salesLR)
## 
## Call:
## lm(formula = Sales ~ Year, data = lexusDF)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -10.4083  -1.5381  -0.5774   1.9000   7.6155 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  32.7250     2.1297  15.366  4.8e-06 ***
## Year          1.8119     0.4647   3.899    0.008 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.024 on 6 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.717,  Adjusted R-squared:  0.6698 
## F-statistic:  15.2 on 1 and 6 DF,  p-value: 0.007996
plot(lexusDF, col = "blue", type = "o")
lines(lexusDF, abline(salesLR, col = "red"))
legend("topleft",
c("Data","Regresion lineal"),
fill=c("blue","red")
)

\(Y = 1.8119x + 32.7250\)

salesLR2 <- lm(Sales ~ Year + I(Year^2), data = lexusDF)
summary(salesLR2)
## 
## Call:
## lm(formula = Sales ~ Year + I(Year^2), data = lexusDF)
## 
## Residuals:
##      1      2      3      4      5      6      7      8 
##  2.242 -0.525 -1.711 -2.415 -4.239  5.118  8.156 -6.625 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  35.5625     3.1224  11.390 9.13e-05 ***
## Year          1.8119     0.4481   4.044  0.00988 ** 
## I(Year^2)    -0.1351     0.1120  -1.206  0.28167    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 5.808 on 5 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7808, Adjusted R-squared:  0.6931 
## F-statistic: 8.904 on 2 and 5 DF,  p-value: 0.0225
plot(lexusDF, col = "blue", type = "o", xlim = c(-10, 10), ylim = c(-10,50))
curve(expr = (-1)*0.1351*x^2 + 1.8119*x + 35.5625, from = -10, to = 10,
      add = TRUE, lwd = 3)
legend("topleft",
c("Data","Regresion lineal con x^2"),
fill=c("blue","red")
)

\(Y = -0.1351*x^2 + 1.8119*x + 35.5625\)

Ejercicio 11.72

a -¿Hay evidencia de un efecto cuadrático en la relación entre Y y x? (Pruebe H0: b2 = 0.) Use a = .10.
summary(salesLR2)
## 
## Call:
## lm(formula = Sales ~ Year + I(Year^2), data = lexusDF)
## 
## Residuals:
##      1      2      3      4      5      6      7      8 
##  2.242 -0.525 -1.711 -2.415 -4.239  5.118  8.156 -6.625 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  35.5625     3.1224  11.390 9.13e-05 ***
## Year          1.8119     0.4481   4.044  0.00988 ** 
## I(Year^2)    -0.1351     0.1120  -1.206  0.28167    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 5.808 on 5 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7808, Adjusted R-squared:  0.6931 
## F-statistic: 8.904 on 2 and 5 DF,  p-value: 0.0225

Con la siguiente informacion:

I(Year^2) -0.1351 0.1120 -1.206 0.28167 F-statistic: 8.904 on 2 and 5 DF, p-value: 0.0225

Nos damos cuenta que t \(t = -1.206\) y \(p = 0.0225\) por lo que \(H_0\) no es rechazada.

b - Encuentre un intervalo de confianza de 90% para b2.

Ejercicio 11.78

Consulte el Ejercicio 11.69. Encuentre un intervalo de predicción de 98% para las ventas del Lexus en 2004. Use el modelo cuadrático.

Utilizando el modelo: \(Y = -0.1351*x^2 + 1.8119*x + 35.5625\) y siguiendo la progresion de los anios, podemos evaluar: \(Y = -0.1351*(9)^2 + 1.8119*(9) + 35.5625\) por lo tanto \(Y = 40.94\)

Ejercicio 11.68

Ajuste el modelo cuadrático Y = b0 + b1x + b2x2 + e a los datos de la tabla siguiente. Localice los puntos y trace la parábola ajustada como prueba de los cálculos.

x <- c()