EJERCICIO 2

Un profesor se interroga por la distribucion que sigue el numero de asignaturas aprobadas por los alumnos en el cuatrimestre que se imparte la asignatura antes citada de un total de cinco. Olvidando el hecho de que la proporcion de aprobar una asignatura varia entre las cinco asignaturas, se aventura a afirmar que esas distribuciones siguen una B(5, 0. 85) en el grupo A y una B(5, 0. 1) en el grupo B. Tambien sabe que a lo largo de los a?os, el 75 % de los alumnos asisten al grupo A y el 25 % asisten al grupo B. Si se escoge al azar un alumno que ha aprobado mas de dos asignaturas en el cuatrimestre, cual es la probabilidad de que ese alumno haya asistido a clase en el grupo A?

Calculamos la probabilidad de que los alumnos aprueben mas de 2, es decir, \( P(X>2) \) asignaturas en cada clase.

Para eso: \( A \)= alumnos de la clase A y \( B \)= alumnos de la clase B. \[ P(A>2) \] \[ P(B>2) \] Como se trata de una distribucion binomial como el propio enunciado indica, hay que tener en cuenta varios factores/parametros:

1- Las distribuciones binomiales se basan en 2 opciones: exito(p) y fracaso(q)

2- Esta dritribuciones necetitan un numero de casos en este case de asignaturas(n)

3- Por ultimo el numero de ensayos con exito(k)

Una vez encontrados estos factores/parametros el problema se puede resolver facilmente aplicando la formula de las binomiales \[ P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k},\,\,\,\,0\leq p\leq 1 \] \( p \) es el porcentaje de exito y \( 1-p \) el de fracaso como se muestra en la formula

Tal y como se muestra en el enunciado las binomiales vienen representadas como \( X\sim B(n,p) \).

Como la formula mostrada sirve solo para \( X=2 \) y no para \( X>2 \) deberiamos saber que

\[ P(X>2)=1-P(X\leq 2) \]

Para eso deberiamos hacer \( 1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)] \), pero como disponemos de R podemos hacerlo directamente

Calcularemos las probabilidades de que \( P(A>2) \) y \( P(B>2) \)

PA<-1-pbinom(2,5,0.85)
PA

[1] 0.9733881

PB<-1-pbinom(2,5,0.1)
PB

[1] 0.00856

Como muestran estos resultados sabemos que en la clase A hay una probabilidad del \( 0.9733881 \) y en B del \( 0.00856 \) de que aprueben mas de 2 asignaturas

El segundo paso sera el de determinar la probabilidad que hay de que de los que han aprobado mas de 2 sean de la clase A. Para poder calcular la probabilidad hay que tener en cuenta que un 75% asistieron la clase A y un 25% a la clase B

Pa<- 0.75
Pb<- 0.25

Como lo que nos preguntan es una probabilidad condiconada entre sucesos independientes tenemos que introducir nuevas variables que son la probabilidad de que hayan aprobado mas de dos y encima sean de la clase A, es por eso que llamaramos a \( C \)= probabilidad de que sea de la clase A y \( D \)= probabilidad de que haya aprobado mas de 2. La formula que usaremos es esta \[ {\displaystyle P(C/ D)=P(D/ C)\cdot {\frac {P(C)}{P(D)}}} \] Esta formula es justo la formual del teorema de Bayes

(PA*Pa)/((PA*Pa)+PB*Pb)

[1] 0.9970772

Entones \( P(C/D) \) es \( 0.9970772 \). Esto quiere decir que de los que han aprobado mas de 2 asignaturas cerca del 99.7% de los estudiantes han asistido a la clase A