Tentang Fourier

Fourier Series merupakan pelebaran dari fungsi periodik $f(t)$ (nilai pada fungsi $f(t)$ bergantung pada fungsi periodik yang digunakan) dalam hal jumlah sinus dan cosinus yang tidak terbatas. Perhitungan dan studi seri Fourier dikenal sebagai analisis harmonik dan sangat berguna untuk memecah sembarang fungsi periodik menjadi sekumpulan persamaan sederhana untuk mendapatkan solusi aproksimasi dari masalah awal.

Misalkan pada kasus time series, kita memiliki pola seasonality dengan bentuk square wave seperti gambar di atas. Pada bagian ini, akan dijabarkan bagaimana cara menggunakan fouries series untuk mendapatkan pola yang sesuai.

Berkaitan dengan apa yang sudah kita pelajari di kelas time series analysis for business forecasting, pada prophet, nilai seasonality (bisa berupa weekly seasonality, yearly seasonality, atau lainnya) bisa didekati dengan angka 1 sampai inf, yang mana semakin besar angkanya, maka akan semakin overfit (semakin mendekati pola seasonal) model yang kita buat. Misal pada code di bawah ini, kita gunakan weekly.seasonality = 10, artinya fourier order yang digunakan adalah 10.

model_prophet2 <- prophet(holidays = holidays,
                          holidays.prior.scale = 0.5, 
                          weekly.seasonality = 10, # fourier order pada weekly seasonality
                          interval.width = 0.95,
                          changepoint.prior.scale = 0.005)

Berikut ilustrasi mengenai semakin besar jumlah n, maka fourier akan semakin mendekati bentuk yang diinginkan.

Perhitungan fourier

Perhitungan fourier series pada umumnya mengacu pada identitas integral trigonometri di bawah

$\int_0^{2\pi}\sin(mt)dt = 0$ untuk sembarang bilangan bulat m …………………………(1)

$\int_0^{2\pi}\cos(mt)dt = 0$ untuk m (bilangan bulat tidak 0) …………………………….(2)

$\int_0^{2\pi}\sin(mt)\cos(nt)dt = 0$ untuk sembrang bilangan bulat m,n ……………..(3)

$\int_0^{2\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt = 0$ untuk bilangan bulat $m\ne n$ atau $m\ne -n$ …..(4)

$\int_0^{2\pi}\sin^2(mt)dt = \pi$ ketika m bilangan bulat bukan 0 …………………………..(5)

$\int_0^{2\pi}\cos(mt)\cos(nt)dt = 0$ untuk bilangan bulat $m\ne n$ atau $m\ne -n$ …..(6)

$\int_0^{2\pi}\cos^2(mt)dt = \pi$ ketika m bilangan bulat bukan 0 …………………………..(7)

Fourier Series

Pada dasarnya sembarang pola periodik dapat didekati dengan penjumlahan sinus dan cosinus yang tak berhingga yang kita sebut dengan fourier series, sehingga persamaan dari fourier series dapat ditulis sebagai berikut:

$f(t) = a_0+a_1\cos(t)+a_2\cos(2t)+a_3\cos(3t)+...+a_n\cos(nt)+ b_1\sin(t)+b_2\sin(2t)+b_3\sin(3t)+...+b_n\cos(nt)$¹

di mana

$a_0=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2pi}f(t)dt$

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)dt$

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\sin(nt)dt$

Pembuktian nilai $a_0$, $a_n$, dan $b_n$

$f(t) = a_0+a_1\cos(t)+a_2\cos(2t)+...+a_n\cos(nt)+ b_1\sin(t)+b_2\sin(2t)+...+b_n\sin(nt)$

$\int_0^{2\pi}f(t)dt = \int_0^{2\pi}(a_0+a_1\cos(t)+a_2\cos(2t)+...+a_n\cos(nt)+ b_1\sin(t)+b_2\sin(2t)+...+b_n\sin(nt))dt$

$\int_0^{2\pi}f(t)dt = \int_0^{2\pi}a_0dt+\int_0^{2\pi}a_1\cos(t)dt +\int_0^{2\pi}a_2\cos(2t) dt +...+\int_0^{2\pi}a_n\cos(nt) dt+\int_0^{2\pi}b_1\sin(t)dt+\int_0^{2\pi}b_2\sin(2t)dt+...+\int_0^{2\pi}b_n\sin(nt)dt$

Pembuktian $a_0$

$\int_0^{2\pi}f(t)dt = \int_0^{2\pi}a_0dt+\int_0^{2\pi}a_1\cos(t)dt +\int_0^{2\pi}a_2\cos(2t) dt +...+\int_0^{2\pi}a_n\cos(nt) dt+\int_0^{2\pi}b_1\sin(t)dt+\int_0^{2\pi}b_2\sin(2t)dt+...+\int_0^{2\pi}b_n\sin(nt)dt$

$\int_0^{2\pi}f(t)dt = a_0\int_0^{2\pi} 1dt+a_1\int_0^{2\pi}\cos(t)dt +a_2\int_0^{2\pi}\cos(2t) dt +...+a_n\int_0^{2\pi}\cos(nt) dt+b_1\int_0^{2\pi}\sin(t)dt+b_2\int_0^{2\pi}\sin(2t)dt+...+b_n\int_0^{2\pi}\sin(nt)dt$

Berdasarkan persamaan (2) dan (1)

$\int_0^{2\pi}f(t)dt = a_0\int_0^{2\pi} 1dt+ 0 + 0 +...+ 0 + 0 + 0 +...+ 0$

$_0^{2}f(t)dt = a_0 t|_0^{2} $

$\int_0^{2\pi}f(t)dt = a_0(2\pi - 0)$

$\int_0^{2\pi}f(t)dt = a_02\pi$

sehingga didapatkan

$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)dt$

Pembuktian $a_n$

Jika kita kalikan sisi kiri dan kanan dengan $\cos(nt)$

$\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)dt = a_0\int_0^{2\pi}\cos(nt)dt+a_1\int_0^{2\pi}\cos(t)\cos(nt)dt +a_2\int_0^{2\pi}\cos(2t)\cos(nt) dt +...+a_n\int_0^{2\pi}\cos(nt)\cos(nt) dt+b_1\int_0^{2\pi}\sin(t)\cos(nt)dt+b_2\int_0^{2\pi}\sin(2t)\cos(nt)dt+...+b_n\int_0^{2\pi}\sin(nt)\cos(nt)dt$

$\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)dt = a_0\int_0^{2\pi}\cos(nt)dt+a_1\int_0^{2\pi}\cos(t)\cos(nt)dt +a_2\int_0^{2\pi}\cos(2t)\cos(nt) dt +...+a_n\int_0^{2\pi}\cos^2(nt) dt+b_1\int_0^{2\pi}\sin(t)\cos(nt)dt+b_2\int_0^{2\pi}\sin(2t)\cos(nt)dt+...+b_n\int_0^{2\pi}\sin(nt)\cos(nt)dt$

Berdasarkan persamaan (2), (6), (1), (7), dan (3)

$\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)dt = 0 + 0 + 0 +...+a_n\pi+ 0 + 0 +...+0$

sehingga didapatkan

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)dt$

Pembuktian $b_n$

Jika kita kalikan sisi kiri dan kanan dengan $\sin(nt)$

$\int_0^{2\pi}f(t)\sin(nt)dt = a_0\int_0^{2\pi}\sin(nt)dt+a_1\int_0^{2\pi}\cos(t)\sin(nt)dt +a_2\int_0^{2\pi}\cos(2t)\sin(nt) dt +...+a_n\int_0^{2\pi}\cos(nt)\sin(nt) dt+b_1\int_0^{2\pi}\sin(t)\sin(nt)dt+b_2\int_0^{2\pi}\sin(2t)\sin(nt)dt+...+b_n\int_0^{2\pi}\sin(nt)\sin(nt)dt$

$\int_0^{2\pi}f(t)\sin(nt)dt = a_0\int_0^{2\pi}\sin(nt)dt+a_1\int_0^{2\pi}\cos(t)\sin(nt)dt +a_2\int_0^{2\pi}\cos(2t)\sin(nt) dt +...+a_n\int_0^{2\pi}\cos(nt)\sin(nt) dt+b_1\int_0^{2\pi}\sin(t)\sin(nt)dt+b_2\int_0^{2\pi}\sin(2t)\sin(nt)dt+...+b_3\int_0^{2\pi}\sin^2(nt)dt$

Berdasarkan persamaan (2), (4), (1), (5), dan (3)

$\int_0^{2\pi}f(t)\sin(nt)dt = 0 + 0 + 0 +...+ 0 + 0 + 0 +...+ b_n\pi$

sehingga didapatkan

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\sin(nt)dt$

Fourier Series

Sitta

5/13/2020

Tentang Fourier

Perhitungan fourier

Fourier Series

Pembuktian nilai \(a_0\), \(a_n\), dan \(b_n\)

Pembuktian \(a_0\)

Pembuktian \(a_n\)

Pembuktian \(b_n\)

Reference