Asignación 5 - Melanie Icedo Felix

Intervalos de confianza de una proporción de una población (P)

En numerosas ocasiones se realizan mediciones de cuestiones que no son numéricas, como por ejemplo:

• Si un artículo es defectuoso o no defectuoso
• La especie de una planta
• La presencia o ausencia de una plaga
• Si la persona es zurda o no
• Si a una persona le gustan las matemáticas o no

En todas estas situaciones ahora será de interés estimar la proporción o porcentaje de éxitos en la población (P) puesto que no es posible calcular un promedio cómo en las situaciones donde las mediciones son numéricas.

Se define cómo éxito el resultado de interés, por ejemplo, puede ser que interese estimar la proporción de artículos defectuosos en un proceso o la proporción de zurdos en una población; en éstos casos diremos que hay un éxito si un artículo es defectuoso o si una persona es zurda.

---

Ejemplo.

Se quiere estimar la proporción de alumnos zurdos en ITSON (P). Solo si entrevistamos a todos los alumnos de ITSON sabríamos esto. Pero es tardado y posiblemente caro debido a que tenemos que visitar a cerca de 18 mil alumnos.

Lo que podemos hacer para saber aproximdamente que porcentaje o proporción de los alumnos ITSON son zurdos con una confianza de 100(1−α) de confianza cuando tenemos información de una muestra obtenida al azar de manera simple aleatoria o sistemática aleatoria es:

o simplificado \(\rightarrow\)

En donde: (n= tamaño de muestra x = número de éxitos en la muestra)

Continuando con el ejemplo

Suponga que se selecciona una muestra de 200 alumnos y que 18 de ellos son zurdos. Además se establece una confianza de 95%. Para saber por donde se ubicará la proporción de todos los estudiantes zurdos (P), lo único que se tiene que hacer es:

1. Calcular Calcular el porcentaje de exitos en la muestra (\(\hat{P}\))

# x=18
# n=200
pore <- 18/200
pore

[1] 0.09

Es decir, el 9% de la muestra de alumnos son zurdos.

2. Según la confianza el valor de \(Z_{(α/2)}\) será cómo sigue:

• 99% ——— 2.58
• 95% ——— 1.96
• 90% ——— 1.65

En este caso cómo la confianza se establece en 95% el valor de z será 1.96.

3. Luego sustituimos en la fórmula del intervalo.

#intervalo de el porcentaje de los alumnos de ITSON que son Zurdos (esta multiplicado por 100 para obtener directamente el valor en porcentaje).

#Limite inferior
limiti <- (0.09 - 1.96 * sqrt((0.09*(1-0.09))/200)) * 100
limiti

[1] 5.033723

#Limite superior
limits <- (0.09 + 1.96 * sqrt((0.09*(1-0.09))/200)) * 100
limits

[1] 12.96628

4. Finalmente la interpretación será: Al 95% de confianza, la proporción de TODOS los alumnos de ITSON que son zurdos se estima que está entre 5.03% y 12.97%.

Note que la conclusión fue hecha considerando a la población.

---

Ejercicios

1. En una muestra de 100 pacientes sometidos a un cierto tratamiento se obtienen 80 curaciones. ¿Qué es el éxito en este problema? Calcular e interpretar el intervalo de confianza al 95% de la proporción de pacientes en la población que mejora (P).

1. Calcular el porcentaje de éxitos en la muestra (\(\hat{P}\)) y el Valor de \(Z_{(α/2)}\) según la confianza.

#n=100
#x=80
pe1 <- 80/100
pe1

[1] 0.8

#confianza del 95% por lo que Z(α/2) es igual a 1.96

Este resultado indica que el 80% de los pacientes se ha curado con este tratamiento.

2. Se sustituyen valores en la prueba del intervalo

# intervalo de el porcentaje de los pacientes obtienen una mejora.

#Limite inferior
lie1 <- (0.8 - 1.96 * sqrt((0.8*(1-0.8))/100)) * 100
lie1

[1] 72.16

#Limite superior
lse1 <- (0.8 + 1.96 * sqrt((0.8*(1-0.8))/100)) * 100
lse1

[1] 87.84

3. Conclusión Problema 1: Con un 95% de confianza, de la proporción de todos los pacientes que se curaron con este tratamiento se encuentra entre un 72.16% y 87.84%

---

2. En una muestra de 400 pilas tipo B fabricadas por una empresa, se encontraron 21 defectuosas. Estime con un intervalo del 99% de confianza a la proporción de pilas defectuosas que genera la empresa.

1. Calcular el porcentaje de éxitos en la muestra (\(\hat{P}\)) y el Valor de \(Z_{(α/2)}\) según la confianza.

#n=400
#x=21
pe2 <- 21/400
pe2

[1] 0.0525

#confianza del 99% por lo que Z(α/2) es igual a 2.58

Solamente el 5.25% de la muestra resultaron defectuosas

2. Se sustituyen valores en la prueba del intervalo

# intervalo de el porcentaje de las pilas defectuosas que se generan en la empresa.

#Limite inferior
lie2 <- (pe2 - 2.58 * sqrt((pe2 * (1-pe2))/400)) * 100
lie2

[1] 2.372873

#Limite superior
lse2 <- (pe2 + 2.58 * sqrt((pe2 * (1-pe2))/400)) * 100
lse2

[1] 8.127127

3. Conclusión Problema 2: La proporción de las pilas tipo B defectuosas que la empresa genera de entre todas, se encuentra entre el 2.4% y 8.13%, sustentado con un 99% de confianza.

---

3. Para estimar la proporción de personas en una ciudad que lee el periódico se seleccionó una muestra de 500 personas, de las cuales 220 leen el periódico habitualmente. Estimar con una confianza del 99% la proporción de personas en la ciudad que lee el periódico.

1. Calcular el porcentaje de éxitos en la muestra (\(\hat{P}\)) y el Valor de \(Z_{(α/2)}\) según la confianza.

#n=500
#x=220
pe3 <- 220/500
pe3

[1] 0.44

#confianza del 99% por lo que Z(α/2) es igual a 2.58

El 44% de las personas en la muestra lee el periódico habitualmente

2. Se sustituyen valores en la prueba del intervalo

# intervalo de el porcentaje de las personas que leen habitualmente el periódico

#Limite inferior
lie3 <- (pe3 - 2.58 * sqrt((pe3 * (1-pe3))/500)) * 100
lie3

[1] 38.27263

#Limite superior
lse3 <- (pe3 + 2.58 * sqrt((pe3 * (1-pe3))/500)) * 100
lse3

[1] 49.72737

3. Conclusión Problema 3: con un 99% de confianza se concluye que la proporción de todas las personas que lee habitualmente el periódico se encuentra entre 38.27% y 49.72%

………… Melanie icedo Félix …………