En el siguiente código se utiliza el paquete deSolve para resolver un sistema dinámico, representado por ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) acompladas.
En este ejemplo, se tiene un sistema dinámico entre una presa (\( u \)) y un depredador (\( v \)), del tipo Lotka-Volterra, con una interacción tipo II de Holling, i.e,
\[ \alpha uv/(u+d) \]
donde \( \alpha \) es la tasa de ataque máxima por unidad de presa del depredador, y \( d \) es la abundancia de presa en la cual la tasa de ataque es la mitad del nivel de saciedad. Esta versión del tipo II de Holling es la versión tipo Michaelis-Menten.
El sistema de EDO acopladas es el siguiente:
\[ du/dt = u(1-u) - \alpha uv/(u+d) \] \[ dv/dt = bv(1-v/u) \]
Las condiciones iniciales al tiempo 0 son \( u(0) = 1.2 \) y \( v(0)= 0.2 \), y los parámetros son \( b=0.2 \), \( \alpha = 1 \), y \( d=0.1 \).
El código es el siguiente. Primero Se debe llamar al programa de Solve, i.e.
library(deSolve)
Luego se debe escribir la función para la relación de Holling tipo II, i.e.
f <- function(x, y, d) {
x * y/(x + d)
} # Holling tipo II
Ahora el sistema de EDO:
model <- function(t, xx, parms) {
u <- xx[1]
v <- xx[2]
with(as.list(parms), {
du <- u * (1 - u) - alpha * f(u, v, d)
dv <- b * v * (1 - v/u)
list(c(du, dv))
})
}
# La secuencia temporal que se integrará (100 años):
times <- seq(0, 100, 0.5)
# Los parámetros del sistema:
parms <- c(b = 0.2, alpha = 1, d = 0.2)
# El estado inicial del sistema:
xstart <- c(u = 1.2, v = 0.2)
# La solución del sistema dinámico se realiza con ode y Runge-Kutta
out <- as.data.frame(ode(xstart, times, model, parms, method = "rk4"))
El comando 'ode' permite resolver el sistema de ecuaciones diferenciales, en este caso se usó el método Rung-Kutta.
El sistema en el tiempo muestra el típico comportamiento depredador-presa, i.e.,
El comportamiento dinámico, también se puede observar al graficar la abundancia de la presa en función del depredador, i.e.,
Luis A. Cubillos
Biólogo Pesquero