Razões para Estratificar

1. Deseja-se aumentar a precisão da estimativa global, partindo-se do conhecimento de que a variabilidade da característica estuda- da é grande.

2. Necessidade de obter estimativas para diversos segmentos da população: Nesse caso, a precisão é fixada para cada estrato que passa a se chamar domínio.

3. Deseja-se que a amostra mantenha a composição da população segundo algumas características básicas. Por exemplo, em estudos sociais ou epidemiológicos, é usual a obtenção de amostras que apresentam composição segundo o sexo e a idade semelhante à da população estudada.

4. Conveniência administrativa ou operacional. Por exemplo, um levantamento para o município de São Paulo seria mais fácil de Executar se o trabalho de campo fosse implementado pelas diver. sas regiões administrativas separadamente.

5. Deseja-se controlar o efeito de alguma característica na distribuição da característica que está sendo avaliada. O efeito da escolaridade sobre o estado nutricional de crianças menores de cinco anos pode ser controlado pela composição de uma amostra que contenha os diversos níveis de escolaridade dos chefes de família da População estudada.

Visando a melhor compreensão do conteúdo e de alguns conceitos vamos considerar a seguinte situação hipotética:

Buscando analisar a média das notas dos alunos do 9º ano do ensino municipal da cidade de Montes Claros, foram coletadas as notas de 30 alunos dentre 3 escolas da rede municipal de ensino.

#tabela de notas do exemplo

set.seed(1)#salva o sorteio, função utilizada para testar e comparar exercícios
library(formattable)

EscolaA<-sample(2:10,14,replace = TRUE)
EscolaB<-sample(6:10,10,replace = TRUE)
EscolaC<-sample(7:10,6,replace = TRUE)

notas<-c(EscolaA,EscolaB,EscolaC)
aluno = 1:30
escola<-c(rep(c("Escola A"),length(EscolaA)),rep(c("Escola B"),length(EscolaB)),rep(c("Escola C"),length(EscolaC)))

data <- data.frame(aluno , escola, notas  ) 
formattable(data)

desvpad<- sd(notas)
var<-(sd(notas))^2

cat(" Numero de pessoas:",length(notas),"\n Média:",mean(notas),"\n Variancia:",var,"\n Desvio Padrão:",desvpad)

 Numero de pessoas: 30 
 Média: 7.233333 
 Variancia: 5.702299 
 Desvio Padrão: 2.387949

A média populacional \(\bar{x}\) e a variância \(S^2_{x}\) são,agora, calculadas por expressões em que os componentes parciais,calculados em cada estrato, sendo ponderados pela corresspondente fração de elementos \(W_{h}\) existentes na população em relação ao total N.

\(\bar{x}_{est}=\sum\limits_{h=1}^{k} (W_{h}\cdot\bar{x}_{h})\)

\(S_{x}^2=\sum\limits_{h=1}^{k} (W_{h}^2\cdot S_{x,h}^2)\)

#tabela as proporcoes
set.seed(1)#salva o sorteio, função utilizada para testar e comparar exercícios
library(formattable)

EscolaA<-sample(2:10,14,replace = TRUE)
EscolaB<-sample(6:10,10,replace = TRUE)
EscolaC<-sample(7:10,6,replace = TRUE)

h<-1:3

notas<-c(EscolaA,EscolaB,EscolaC)

w1<-14/30
w2<-10/30
w3<-6/30

xp1<-mean(notas)*w1 
xp2<-mean(notas)*w2
xp3<-mean(notas)*w3
MPond=c(xp1,xp2,xp3)

sp1<-(sd(notas)^2)*(w1)^2
sp2<-(sd(notas)^2)*(w2)^2
sp3<-(sd(notas)^2)*(w3)^2
VPond=c(sp1,sp2,sp3)

data <- data.frame(h=c(1,2,3,"Soma"), Med_Pond=c(xp1,xp2,xp3,sum(MPond)),Var_Pond=c(sp1,sp2,sp3,sum(VPond)))
formattable(data)

#tabela de notas do exemplo

set.seed(1)#salva o sorteio, função utilizada para testar e comparar exercícios
library(formattable)

EscolaA<-sample(2:10,14,replace = TRUE)
EscolaB<-sample(6:10,10,replace = TRUE)
EscolaC<-sample(7:10,6,replace = TRUE)

aluno1<- 1:14
aluno2<- 15:24
aluno3<- 25:30


data1 <- data.frame(aluno=aluno1 , escola =rep(c("Escola A"),length(EscolaA)), EscolaA  )  
data2 <- data.frame(aluno=aluno2 , escola =rep(c("Escola B"),length(EscolaB)), EscolaB  )  
data3 <- data.frame(aluno=aluno3 , escola =rep(c("Escola C"),length(EscolaC)), EscolaC  )

formattable(data1)

formattable(data2)

formattable(data3)

#Valores populacionais segundo os extratos

set.seed(1)#salva o sorteio, função utilizada para testar e comparar exercícios
library(formattable)

EscolaA<-sample(2:10,14,replace = TRUE)
EscolaB<-sample(6:10,10,replace = TRUE)
EscolaC<-sample(7:10,6,replace = TRUE)

h<-c(1:3)

notas<-c(EscolaA,EscolaB,EscolaC)

w1<-14/30
w2<-10/30
w3<-6/30

xp1<-mean(notas)*w1 
xp2<-mean(notas)*w2
xp3<-mean(notas)*w3
MPond=c(xp1,xp2,xp3)

sp1<-(sd(notas)^2)*(w1)^2
sp2<-(sd(notas)^2)*(w2)^2
sp3<-(sd(notas)^2)*(w3)^2
VPond=c(sp1,sp2,sp3)

data <- data.frame(h=c(1,2,3),Estratos= c("Escola 1","Escola2","Escola 3"),Tam_Estr=c(14,10,6), Med_Estr=c(mean(EscolaA),mean(EscolaB),mean(EscolaC)),Var_Estr=c(sd(EscolaA)^2,sd(EscolaC)^2,sd(EscolaC)^2),Propor=c(w1,w2,w3))
formattable(data)

Procedimento para calcular a media amostral

# Estimativa para Amostras de mesmo tamanho

set.seed(1)#salva o sorteio, função utilizada para testar e comparar exercícios
library(formattable)

EscolaA<-sample(2:10,14,replace = TRUE)
EscolaB<-sample(6:10,10,replace = TRUE)
EscolaC<-sample(7:10,6,replace = TRUE)

"Buscando uma amostra de 18 pessoas teríamos n=18 dividido por k=3 estratos ficando; N{k}= 18/3 = 6"

[1] "Buscando uma amostra de 18 pessoas teríamos n=18 dividido por k=3 estratos ficando; N{k}= 18/3 = 6"

A1<-sample(EscolaA,6)
A2<-sample(EscolaB,6)
A3<-sample(EscolaC,6)

w1<-14/30
w2<-10/30
w3<-6/30

data <- data.frame(h=c(1,2,3),"n_{3}"= c(6,6,6),Amostra = c("(10,7,10,7,7,5)","(7,9,9,9,7,10)","(10,7,8,8,8,8)"), Med=c(mean(A1),mean(A2),mean(A3)),Propor=c(w1,w2,w3),Media_Prop=c(mean(A1)*w1,mean(A2)*w2,mean(A3)*w3))

formattable(data)

Calculando a variancia da media amostral

# Estimativa para Amostras de mesmo tamanho

set.seed(1)#salva o sorteio, função utilizada para testar e comparar exercícios
library(formattable)

EscolaA<-sample(2:10,14,replace = TRUE)
EscolaB<-sample(6:10,10,replace = TRUE)
EscolaC<-sample(7:10,6,replace = TRUE)

A1<-sample(EscolaA,6)
A2<-sample(EscolaB,6)
A3<-sample(EscolaC,6)


f1<-6/14
f2<-6/10
f3<-6/6

w1<-14/30
w2<-10/30
w3<-6/30

v1<-(1-f1)*(sd(A1)^2)/6
v2<-(1-f2)*(sd(A2)^2)/6
v3<-(1-f3)*(sd(A3)^2)/6

data <- data.frame(h=c(1,2,3),"nh3"= c(6,6,6),FreqAmo=c(f1,f2,f3), Var_Estrato=c(sd(A1)^2,sd(A2)^2,sd(A3)^2),var_med_estr= c(v1,v2,v3),var_Prop=c(v1*w1^2,v2*w2^2,v3*w3^2))

formattable(data)

set.seed(1)#salva o sorteio, função utilizada para testar e comparar exercícios
library(formattable)

EscolaA<-sample(2:10,14,replace = TRUE)
EscolaB<-sample(6:10,10,replace = TRUE)
EscolaC<-sample(7:10,6,replace = TRUE)

A1<-sample(EscolaA,6)
A2<-sample(EscolaB,6)
A3<-sample(EscolaC,6)
notas<-c(A1,A2,A3)

h<-1:3
n<-18

f1<-6/14
f2<-6/10
f3<-6/6
f<-18/30

w1<-14/30
w2<-10/30
w3<-6/30

V1<- sum(w1^2*v1)
V2<- sum(w2^2*v2)
V3<- sum(w3^2*v3)

v1<-(1-f)*sd(EscolaA)^2/n
v2<-(1-f)*sd(EscolaB)^2/n
v3<-(1-f)*sd(EscolaC)^2/n

s1<-(sum(EscolaA-mean(EscolaA))^2)/n-1
s2<-(sum(EscolaB-mean(EscolaB))^2)/n-1
s3<-(sum(EscolaC-mean(EscolaC))^2)/n-1

x<- sum(notas)/n #media da casual simples

SV<-V1+V2+V3 #variancia da casual simples
dp<-sqrt(SV) #desvio padrao da casual simples
cat("O intervalo de confiança (95%) da media das notas será dado por:(", (x-1.96*dp) , "até", x+1.96*dp,")")

O intervalo de confiança (95%) da media das notas será dado por:( 7.518852 até 8.703371 )

Efeito da Estratificação

A estratificação é realizada objetivando aumentar a precisão das estimativas, porém esse efeito dependerá da da variável tomada como fator da estratificação, pois em linguagem estatística espera-se grande diferença entre as médias dos estratos na população \((X_{h})\) e a pequena variabilidade da característica dentro de cada estrato.

Na prática , o efeito delineamento é mensurado pelo que é expresso pela razão entre as variâncias das estimativas calculadas sobre o mesmo tamanho \(n\) de amostras, sorteadas pela amostragem estratificada \(V(\tilde{x}_{est})\) e pela casual simples \(V(\bar{x}_{acs})\), isto é,

\(deff = \frac{V(\bar{x}_{est})}{V(\bar{x}_{acs})}\)

set.seed(1)#salva o sorteio, função utilizada para testar e comparar exercícios
library(formattable)

EscolaA<-sample(2:10,14,replace = TRUE)
EscolaB<-sample(6:10,10,replace = TRUE)
EscolaC<-sample(7:10,6,replace = TRUE)
notas<-c(EscolaA,EscolaB,EscolaC)
n<-18
N<-30
      
vmacs<- (1-n/N)*(sd(notas)^2)/n

va11<-(1-6/14)*(3.8666667/6)*(14/30)^2
va12<-(1-6/10)*(1.5000000/6)*(10/30)^2
va13<-(1-6/6)* (0.9666667/6)*(6/30)^2
va1<- va11+va12+va13

va21<-(1-8/14)*(2.777460    /8)*(14/30)^2
va22<-(1-6/10)*(1.722401/6)*(10/30)^2
va23<-(1-4/6)*(0/4)*(6/30)^2
va2<- va21+va22+va23
  
va31<-(1-12/14)*(8.265152/8)*(14/30)^2
va32<-(1-4/10)*(1.333333/4)*(10/30)^2
va33<-(1-2/6)*(0/2)*(6/30)^2
va3<- va31+va32+va33

data<- data.frame( Partilha= c("T.iguais", "-","-", "Proporcional", "-","-", "Ótima","-","-"), n=c(4,4,4,6,4,2,8,3,1), VacsW=c(va11,va12,va13,va21,va22,va23,va31,va32,va33), Vmest=c("-","-",va1,"-","-",va2,"-","-",va3), deff=c("-","-",va1/vmacs,"-","-",va2/vmacs,"-","-",va3/vmacs) )
formattable(data)

Na tabela acima são calculadas as variâncias para os diversos tipos de partilha e os perspectivos efeitos do processo de amostra estratificada, considerando o mesmo exemplo.

A última coluna revela medidas de \(deff\) menores que 1 , indicando eficácia para a estratificação em todos os critérios. Observa-se que estratificar reduz a variabilidade dos resultados amostrais, ampliando a precisão das estimativas obtidas. Além disso, analisa-se a relação existente entre os tipos de partilha e a amostragem casual simples. \begin{center}  \([ V(\bar{x})_{ótima} < V(\bar{x})_{prop}< V(\bar{x})_{t.iguais}< (\bar{x})_{acs}]\)

Amostragem Sistemática

Aamostragem sistemática consiste em considerar os \(N\) elementos da população reunidos em grupos definidos por um intervalo de amplitude \(N/n\) e sortear um elemento de cada grupo para compor a amostra.

Ordenando as 30 notas dos alunos de exemplo segundo a escola, define-se o intervalo \((INT= 30/10 = 3)\). Nesta listagem, de cada notas uma será tomada para a amostra. Assim, os números sorteados serão obtidos pela expressão:

\([INC + (i - 1)INT]\),

onde, INC (início casual) será um npumeri sorteado entre 1 e o intervalo \(INT\). No exemplo, pode se iniciar pelos números 1,2 ou 3. Considere $INC = 3 $

Aplicando esse sorteio na listagm ordenada, a amostra pode ser melhor visualizada na tabela abaixo:

#tabela de notas do exemplo

set.seed(1)#salva o sorteio, função utilizada para testar e comparar exercícios
library(formattable)

EscolaA<-sample(2:10,14,replace = TRUE)
EscolaB<-sample(6:10,10,replace = TRUE)
EscolaC<-sample(7:10,6,replace = TRUE)

notas<-c(EscolaA,EscolaB,EscolaC)
aluno = 1:30
escola<-c(rep(c("Escola A"),length(EscolaA)),rep(c("Escola B"),length(EscolaB)),rep(c("Escola C"),length(EscolaC)))

data <- data.frame(aluno , escola, notas  ) 
#formattable(data)

"Nesse caso escolheríamos os alunos 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30"

[1] "Nesse caso escolheríamos os alunos 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30"

s_sis <- function(x, p=33, r=NULL) #função q seleciona os termos
  # x= população de estudo, p= INT/(tamanho da amostra),r= INC, nesse caso usamos s_(notas,p=33, r=3 )
{
  k <- round(1/p * 100)

  if (is.null(r))
    r <- sample(1:k, 1)   # Elemento de aleatoriedade!

  n <- 0:round((p / 100 * length(x)) - 1)

  idx <- (n * k) + r

  res <- x[idx]

  return(res)
}
 
notas2<-s_sis(notas,r=3) 
data2<-data.frame(aluno=c(seq(3,30,3)),escola= c(rep("escola A",4),rep("escola B",4),rep("escola C",2)), notas=c(notas2))

formattable(data2)

Referências

SILVA,Nilza Nunes da. Amostragem Probabilística: Um curso Introdutório/ Nilza Nunes da Silva. - São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 1998. - (Acadêmica;18)