為什麼 Covariance matrix 是非負定矩陣?
根據非負定矩陣的定義, 對於任何 \(x\) , 假若我們都能夠得到 \(x^{T}Ax \geq 0\), 我們就能夠說明 \(A\) 是一個非負定矩陣
\[\begin{align*} Var(a^{T}X) &= a^{T}Cov(X)a\\ &= a^{T}\Sigma a\\ \end{align*}\]
我們知道對於任何隨機變數,其 Variance 都會大於等於 0 ,故 \(a^{T}\Sigma a \geq 0\) , 所以 \(\Sigma\) 是一個非負定矩陣