FTXG ARIMA
Gabriel Olivarez
05/4/2020
First Trust Nasdaq Food & Beverage ETF (FTXG)
FTXG es parte de los instrumentos financieros llamados ETF(Exchange Trade Funds) son considerados así ya que “los ETF se caracterizan porque el objetivo principal de su política de inversión es reproducir un determinado índice bursátil o de renta fija, y sus participaciones están admitidas a negociación en bolsas de valores” 1.
The First Trust Nasdaq Food & Beverage ETF es un fondo que cotiza en bolsa. El objetivo de inversión del Fondo es buscar resultados de inversión que correspondan generalmente al precio y al rendimiento, antes de los honorarios y gastos del Fondo, de un índice llamado Nasdaq US Smart Food & Beverage Index. El Fondo busca replicar las tenencias y las ponderaciones del índice Nasdaq US Smart Food & Beverage Index para generar resultados de rendimiento 95% correlacionados con los del índice Nasdaq US Smart Food & Beverage Index 2.
En la siguiente Tabla 1. se muestra la ponderación que tiene FTXG en las distintas empresas de Estados Unidos que particpan en el distribucion de la ETF.
Composición de First Trust Nasdaq Food & Beverage ETF (FTXG)
Compañía Identificador Ponderacion
1 PepsiCo, Inc. PEP 9.02%
2 The Hershey Company HSY 8.91%
3 Archer-Daniels-Midland Company ADM 8.03%
4 Tyson Foods, Inc. (Class A) TSN 6.22%
5 General Mills, Inc. GIS 4.94%
6 Mondelez International, Inc. MDLZ 4.57%
7 Ingredion Incorporated INGR 4.52%
8 Kellogg Company K 4.42%
9 US Foods Holding Corp. USFD 4.27%
10 Brown-Forman Corporation BF/B 4.25%
11 Bunge Limited BG 3.51%
12 Post Holdings, Inc. POST 3.25%
13 Lamb Weston Holdings, Inc. LW 3.19%
14 The Coca-Cola Company KO 2.58%
15 Conagra Brands, Inc. CAG 2.42%
16 The J.M. Smucker Company SJM 2.39%
17 Hormel Foods Corporation HRL 2.29%
18 The Hain Celestial Group, Inc. HAIN 2.21%
19 Campbell Soup Company CPB 2.20%
20 Monster Beverage Corporation MNST 2.17%
21 Molson Coors Beverage Company TAP 2.02%
22 The Kraft Heinz Company KHC 1.98%
23 McCormick & Company, Incorporated MKC 1.96%
24 TreeHouse Foods, Inc. THS 1.93%
25 Constellation Brands, Inc. (Class A) STZ 1.92%
26 Medifast, Inc. MED 1.68%
27 Sanderson Farms, Inc. SAFM 1.57%
28 Herbalife Nutrition Ltd. HLF 1.42%
29 US Dollar $USD 0.17%Fuente: FTPORTAFOLIOS 3 .
Comportamiento del precio de FTXG
En la siguiente grafica se muestra el comportamiento del precio de cierre de FTXG a partir del 10 de octubre de 2016 al 8 de abril de 2020. Tuvo su mayor crecimiento en enero del 2020, en Estados Unidos tuvo un crecimiento de consumo en los alimentos a esto se le refleja en el ETF dado que desde el 29 de enero de 2018 se registró un precio de cierre de 21.280 USD hasta el enero del 2020 que se tuvo a la alza registrando un precio de cierre de hasta 22.265 USD esto debido al consumo que se tuvo por pánicos al presentarse una futura cuarentena por contingencia sanitaria para evitar la propagación del virus COVID-19, la caída del precio en dicho ETF llego ha ser de 15. 286 USD lo cual es el resultado de un aislamiento y reducción en la producción de los alimentos.
Figura 1. Precio de Cierre de FTXG y IXIC: octubre 2016 - marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Se le realiza una comparación con el índice IXIC lo que conocido como “índice Nasdaq Composite es un índice bursátil de Estados Unidos que incluye todos los valores que cotizan en el mercado Nasdaq, un total de más de 5000 empresas4”, se puede ver un comportamiento de crecimiento a lo largo de los años muy distinto a lo que es la gráfica de FTXG, al igual no presentando lo que es una caída más grave al del ETF TFXG, lo cual tiene influencia el índice IXIC en el ETF dado que cotiza en la bolsa de NASDAQ.
En lo que refiere a los rendimientos, el IXIC en promedio osciló entre 7% en tanto que FTXG estuvo fluctuando entre 10% debido a que es un instrumento que presenta mayor volatilidad.
A partir de la contingencia sanitaria COVID 19 que se originó en la ciudad de Wuhan, China, que se dispersó en diferentes países ocasionando contagios y situaciones de emergencia internacional cerrando fronteras, provocando aislamientos obligatorios a las personas para evitar el contagio de dicho virus ocasionando que bajaran las ventas de alimentos en Estados Unidos dado que no se encuentran con la libertad de salir y consumir en espacios públicos, otro motivo es porque la gente ya adquirió en cantidades inmensas por el pánico de estar encerrados por largo tiempo.
Figura 2. Rendimientos de IXIC y FTXG: octubre 2016 a marzo 2020 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
La correlación (Relación lineal entre las dos variables) entre los precios de cierre a niveles y entre los rendimientos de NQSSFB y FTXG , muestra una alta relación positiva del 34.57% y 52.18% respectivamente.
Tabla 2. Correlación de FTXG y IXIC a niveles
^IXIC FTXG
^IXIC 1.0000000 0.3270281
FTXG 0.3270281 1.0000000Fuente: elaboración propia con salida de R.
Tabla 3. Correlación de FTXG y IXIC en rendimientos
^IXIC FTXG
^IXIC 1.0000000 0.5271906
FTXG 0.5271906 1.0000000Fuente: elaboración propia con salida de R.
Histograma y gráficos Q-Q
Un histograma nos presenta de manera gráfica estadísticas de diferentes tipos, nos sirve para visualizar más rápido todos datos. En este caso los datos de los índices IXIC y FTXG, donde se puede identificar la frecuencia en la que los precios sufren caídas.
En el grafico 3 se muestran los histogramas a niveles del IXIC y FTXG; el eje vertical representan las frecuencias y en el eje horizontal los valores de las variables (puntos base y precios respectivamente).
El histograma del IXIC a niveles indica que, en el periodo de muestra, el índice tuvo mayor número de repeticiones en los 8000 puntos. Sin embargo, la mayor parte de la distribución se centra entre los 5000 y los 10000 puntos. Para el caso de FTXG, su mayor número de repeticiones es 20 puntos (125 veces). La mayor parte de la distribución se centra entre los 15 y 60 puntos.
Figura 3. Histogramas a niveles IXIC y FTXG: octubre 2016 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Los rendimientos son un proceso de reversión a la media (0), sin embargo, la distribución de los rendimientos del IXIC oscila entre -0.05 Y 0.05 y los de XLK en -0.2 Y 0.2 tal cual como se observó en la figura 4.
Figura 4. Histogramas en rendimientos IXIC y FTXG: octubre 2016 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Un gráfico Cuantil-Cuantil o q-q plots nos permiten observar que tan cerca está la distribución de un conjunto de datos a alguna distribución ideal ó comparar la distribución de dos conjuntos de datos.5
En la siguiente grafica se muestran los gráficos Q-Q de FTXG; los cuantiles teóricos o la distribución contra la que se están comparando los precios es contra una distribución normal; si la distribución empírica fuera así, entonces los puntos de dispersión deberían de distribuirse en torno a la recta.6
Una parte de la distribución que se asocia a la línea recta, pero varios datos datos, principalmente a los extremos de las colas la distribución se “despega” de la normalidad 7.
Figura 5. Q-Q plot a niveles XLK: enero de 2015 a marzo 2020 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
En el caso del gráfico Q-Q de los rendimientos, los datos en la parte central de la distribución, están más cerca a la recta, esto se debe a la propiedad que cumplen los rendimientos (media cero o constante que es uno de los supuestos que se debe de cumplir para la estacionariedad de las series), FTXG tuvo días que presentaron rendimientos que rebasaron su media, provocando mayor dispersión en sus datos.
Figura 5. Q-Q plot rendimientos FTXG: octubre 2016 a marzo 2020 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Estacionariedad y pruebas de raices unitarias
Se dice que una serie temporal es estacionaria cuando su media y su variabilidad son constantes a lo largo del tiempo, esto quiere decir que no está en función de tiempo y no presenta tendencia. Cuando no se garantiza esta condición significa que las series no son independientes e distribuidas idénticamente lo que lleva a problemas de sesgo en las estimaciones, mal cálculo en las bandas de confianza en los datos que se encuentran correlacionados.8
Para comprobar si a serie es estacionara se debe verificar si la serie tiene alguna estructura de dependencia con los datos anteriores. Cuando se pronostican series de tiempo, se asumen que estas son aleatorias, por lo tanto:
Ecuación 1
\[E\left ( Y_t \right| \phi_t )=0\]
Ecuación 2
\[f\left ( Y_t \right| Y_{t-1} )=f ( Y_{t} )\]
Tabla 4. Pruebas de raíces unitarias
| Variable | \(DFA^{a/}\)(Valor p) | \(Phillips-Perron^{b/}\)(Valor p) | \(KPSS^{c/}\)(Valor p) |
|---|---|---|---|
| IXIC (a niveles) | 0.914 | 0.2177 | 0.01 |
| IXIC (rendimientos) | 0.01 | 0.01 | 0.1 |
| FTXG (a niveles) | 0.576 | 0.2914 | 0.01 |
| FTXG (rendimientos) | 0.01 | 0.01 | 0.1 |
\(^{a/}H0\): La serie tiene raíz unitaria
\(^{b/}H0\): La serie tiene raíz unitaria
\(^{c/}H0\): La serie es estacionaria
Fuente. Elaboración propia con salida de R.
NUNCA OLVIDAR:
Si valor p mayor a 0.05 No rechazo (acepto) H0.9
Si valor p menor a 0.05 Rechazo H0.10
¿Por qué la serie en rendimientos no tiene raíz unitaria?
Se debe a lo siguiente: \[Y_t = \alpha + \beta Y_{t-1} + e_t\]
Suponga \(\beta=1\).
\[Y_t = \alpha + Y_{t-1} + e_t\]
Donde \(Y_t\) depende del valor pasado \(Y_{t-1}\), si esto es cierto, entonces la serie no es aleatoria, hay dependencia con el dato anterior y no podemos cumplir con el primer supuesto (ecuación 1)11.
A este proceso se le conoce también como: “caminata aleatoria”12.
Se aplican primeras diferencias en ambas partes de la ecuación13.
\[Y_t - Y_{t-1} = \alpha + \beta Y_{t-1} - Y_{t-1} + e_t\]
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(\beta -1) + e_t\]
Recordemos que \(\beta=1\).
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(1 -1) + e_t\]
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(0) + e_t\] \[\therefore \]
\[ \Delta Y_t= \alpha + e_t\]
La serie, en primeras diferencias, no tiene raíz unitaria, solo depende del error y del intercepto, pero no de los valores pasados o registrados del precio, por lo tanto, es estacionaria.14
A este proceso también se le conoce como “ruido blanco”.15
Modelos ARIMA (FTXG)
Utilizando la metodología de Box & Jenkins, se calculara un modelo ARIMA “Autorregresivos Integrados de Medias Móviles” 16
Este modelo es una metodologia econométrica que se basa en modelos dinámicos que se utiliza en series temporales.Para este modelo es necesario que los datos sean estacionarios.17
Se obtiene la Función de Autocorrelación (MA) y Función de Autocorrelación parcial (AR). A las dos series se tiene que aplicar una primera diferencia para que puedan ser estacionarias en media. Es necesario que las series se transformen en rendimientos.18
Figura 6. Componentes de autocorrelación ACF y PACF 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Cuando se reviso el correlograma se identificaron componentes de autocorrelación en el proceso Autorregresivo (PACF) y proceso de media móvil (ACF).
El primer ajuste para el pronóstico de FTXG es utilizando la función ARIMA, que propone una combinación de ARIMA(2,1,2) para poder corregir los problemas de autocorrelación.
Tabla 5. Resultados del ARIMA(2,1,2) para FTXG
Series: FTXG
ARIMA(2,1,2)
Coefficients:
ar1 ar2 ma1 ma2
-1.6718 -0.9018 1.5821 0.8719
s.e. 0.0379 0.0346 0.0388 0.0364
sigma^2 estimated as 0.04437: log likelihood=123.62
AIC=-237.23 AICc=-237.16 BIC=-213.34Fuente: elaboración propia con salida de R.
Figura 7. Resultados del ARIMA(2,1,2) para FTXG 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(2,1,2)
Q* = 33.762, df = 26, p-value = 0.1411
Model df: 4. Total lags used: 30Fuente: elaboración propia con salida de R.
El resultado del ARIMA que R propuso con 1 rezago en el componente autorregresivo, un modelo integrado de orden 1 y 2 rezagos en el componente de media móvil. Pero al revisar el correlograma que resulta de esta especificación, se puede ver que todavía tenemos problemas de autocorrelación en el componente de media móvil, lo que quiere decir que este modelo no está completamente corregido.
Cuando revisamos la autocorrelacion en los resuduales realizando la prueba de Ljung-Box donde la H0: Los residuales se distribuyen normalmente (se busca que el valor P>0.05), en nuestro caso el valor es igual 0.08414 por lo tanto rechazo que los residuales se distribuyan normalmente.
Sus raíces inversas, los cuatro rezagos en que utilice del componente autorregresivo ninguno tiene algún problema de raíz, esto nos garantiza que nuestro modelo será estable en el tiempo
Figura 8. Prueba de racíces unitarias ARIMA(7,1,19) - círculo unitario 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Con las pruebas que realizamos anteriormente conseguimos que nuestro modelo sea estable, pero los problemas de autocorrelación no han sido solventados en su totalidad, por lo que se propone el siguiente otro modelo.
Propuesta de modelo ARIMA(7,1,19) para FTXG
Este modelo mejora significativamente los resultados propuestos por el ARIMA, se corrigen los problemas (en su mayoría) de autocorrelación en los residuales de acuerdo a los resultados de la prueba de Ljung-Box.
Tabla 6. Resultados del ARIMA(7,1,19) para FTXG
Call:
arima(x = FTXG, order = c(7, 1, 19))
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ar6 ar7 ma1
-0.0265 -0.3471 -0.1621 0.1595 -0.4484 -0.2002 -0.7031 -0.0504
s.e. 0.2218 0.6749 0.5061 0.1503 0.3869 0.6429 0.4727 0.2194
ma2 ma3 ma4 ma5 ma6 ma7 ma8 ma9 ma10
0.4412 0.0538 -0.0843 0.4495 0.1695 0.8490 -0.2897 0.2254 -0.1913
s.e. 0.6919 0.5791 0.2533 0.2522 0.5731 0.5015 0.1373 0.2255 0.3057
ma11 ma12 ma13 ma14 ma15 ma16 ma17 ma18 ma19
0.1414 0.0487 -0.0748 0.1280 -0.2072 0.1973 -0.0466 0.0918 0.0427
s.e. 0.2843 0.1665 0.0499 0.1195 0.1877 0.1863 0.1478 0.1423 0.0633
sigma^2 estimated as 0.04186: log likelihood = 143.71, aic = -233.43Fuente: elaboración propia con salida de R.
Figura 9. Resultados del ARIMA(7,1,19) para FTXG 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(7,1,19)
Q* = 10.65, df = 4, p-value = 0.03079
Model df: 26. Total lags used: 30Fuente: elaboración propia con salida de R.
En las raíces inversas, los cuatro rezagos en que utilice del componente autorregresivo algunos puntos estan al limite pero no salen de la linea, esto garantizara que nuestro modelo será estable a lo largo del tiempo.
Figura 10. Prueba de racíces unitarias ARIMA(7,1,19) - círculo unitario
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Se presentan los pronósticos obtenidos por ambos modelos.
Figura 11. Pronóstico a 20 días de FTXG con ARIMA(2,1,2) 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Los problemas de una mala especificación o el no corregir los problemas de autocorrelación del modelo, implica que no se obtengan resultados confiables. La propuesta del ARIMA(6,1,11) mejora significativamente el pronóstico.
Figura 12. Pronóstico a 20 días de FTXG con ARIMA(7,1,19) 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Los pronósticos para FTXG los días 8 y 9 de abril son:
| Fecha | Dato real | Pronosticado ARIMA (2,1,2) | Pronosticado ARIMA (7,1,19) |
|---|---|---|---|
| 8-abril-20 | 18.08 | 17.0581 | 17.3838 |
| 9-abril-20 | 18.61 | 17.3540 | 17.4115 |
| Criterio de información | AIC | -238.38 | -243.52 |
El Criterio de Información de Akaike muestra un mejor ajuste para el ARIMA(2,1,2), dado que es el modelo inicial dice que es mejor pero en los datos pronosticados del ARIMA(7,1,19) ya que es el valor más acertado a la realidad.
En el gráfico anterior podemos observar los datos pronosticados del día 8 y 9 de abril .
Conclusiones
En este trabajo se analizó el comportamiento del ETF First Trust Nasdaq Food & Beverage ETF (FTXG) y se compara contra el índice IXIC. Se revisó su comportamiento a niveles y rendimientos, se realizaron histogramas y gráficos Q-Q para visualizar más fácilmente la distribución de la serie y la concentración que tienen los precios y rendimientos.
Después, se realizaron pruebas de raíces unitarias para poder identificar la estacionariedad de las series y para que se pueda cumplir este supuesto, deben de ser integradas de orden I aplicando una primera diferencia.
También se obtuvieron los correlogramas para poder identificar los procesos de autocorrelación de las series. Para el caso de FTXG se plantearon dos modelos, un ARIMA(2,1,2) que es el que nos propone R y un ARIMA(7,1,19). El primer modelo a pesar de ser un modelo estable, no corregía en su totalidad los problemas de autocorrelación y el modelo ARIMA(10,2,9) mejora este problema pero en pronosticos a futuro se tenia como mejor opcion al ARIMA inicial.
Con base al pronóstico realizado, se sugirio estimar otros modelos incorporando siempre la nueva información para ajustar el modelo. Esto es importante debido a la incertidumbre que se vive en el mercado financiero por la pandemia del COVID-19 y los problemas que se tiene con los diferentes metodos de evitar la propagación del virus.
Referencias
Trust, F. (2019). ftportafolios. Obtenido de https://www.ftportfolios.com/Retail/Etf/EtfHoldings.aspx?Ticker=FTXG↩
Trust, F. (2019). ftportafolios. Obtenido de https://www.ftportfolios.com/Retail/Etf/EtfHoldings.aspx?Ticker=FTXG↩
Trust, F. (2019). ftportafolios. Obtenido de https://www.ftportfolios.com/Retail/Etf/EtfHoldings.aspx?Ticker=FTXG↩
Wikipedia. (2018). wikipedia. Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/Nasdaq_Composite↩
Jimenez, A. (2020). Rpubs. Obtenido de https://rpubs.com/Ana_JP/EDZ_ARIMA↩
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