MCHI ARIMA
Alfredo Yasberth Pérez Frias
08 de abril de 2020
MCHI
iShares MSCI China ETF
MCHI es un instrumento financiero denominado como Fondo de inversión Cotizado (Exchange Traded Funds o ETF). Una de las carácterísticas de los ETF es que sus participacione se compran y venden en un mercado secundario, como las acciones o los bonos. A diferencia de las participaciones de de los fondos tradicionales, que se suscriben o reembolsan a su valor liquidativo (que se calcula tras el cierre de cada sesión).
El origen de los ETF se debe a la iniciativa que, a principios de los años 90, tuvo la Bolsa de Toronto al lanzar unos productos cotizados que replicaban índices bursátiles. Hoy en día los ETF pueden replicar o hacer un track sobre un activo subyacente (acciones, índices, commodities, divisas, bonos, índices de renta variable o índices de renta fija).
MCHI busca replicar los resultados de inversión del índice iShares MSCI China ETF el cual está compuesto por valores de renta variable, en su mayoría, de China (exposición a grandes y medianas empresas). Dicho índice subyacente se inclina significativamente a los sectores financieros y tecnológicos, dejando un poco de lado el sector industrial. La empresa en donde se tiene la mayor inversión por parte de este ETF es el consorcio chino Alibaba Group, ubicado en el sector del consumo discrecional.
El MCHI está diversificado en diferentes sectores. La tabla 1 muestra las ponderaciones del índice por sector[1].Composición de MCHI
Comportamiento del precio de MCHI
Figura 1. Precio de Cierre de MCHI y S&P500: enero 2015 - marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Al comparar la tendencia que regista MCHI contra el índice S&P500 (índice que representa las 500 emisoras más representativas que cotizan en Estados Unidos) se puede observar un comportamiento similar, esto se debe a la fuerza de arrastre y contagio que tiene el S&P500 sobre los índices de economías emergentes como es el caso de China. Lo anterior se puede ver en la Figura 2.
Con relación a los rendimientos, el S&P500 en promedio osciló entre 2% en tanto que MCHI estuvo fluctuando entre 10% ya que es un instrumento que presenta una mayor volatilidad.
Debido a la contingencia sanitaria COVID 19 que se originó en la ciudad de Wuhan, China, que se dispersó en diferentes países ocasionando contagios y situaciones de emergencia internacional cerrando fronteras, aunado a la caída de los precios del petróleo tras no haber llegado a un acuerdo la OPEP y Rusia para disminuir la producción de petróleo, MCHI comenzó a presentar pérdidas por arriba del 30% en un solo día.Figura 2. Rendimientos de S&P500 y EDZ: enero de 2015 a marzo 2020 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Correlación entre MCHI y S&P500
Tabla 2. Correlación de MCHI y S&P500 a niveles
SP500 MCHI
SP500 1.0000000 0.7228698
MCHI 0.7228698 1.0000000Fuente: elaboración propia con salida de R.
Tabla 3. Correlación de MCHI y S&P500 en rendimientos
SP500 MCHI
SP500 1.0000000 0.7043964
MCHI 0.7043964 1.0000000Fuente: elaboración propia con salida de R.
Histogramas y gráficos Q-Q
Los histogramas son gráficos que representan frecuencia de un fenómeno o de una variable mediante una distribución de los datos. En el caso de MCHI y de S&P500, a partir de los intervalos o marcas de clase que se hacen sobre ellos, se puede identificar el número de veces (frecuencia) que los precios caen en dicho intervalo.
En la figura 3 se observan los histogramas a niveles del S&P500 y del MCHI; el eje vertical representan las frecuencias y en el eje horizontal los valores de las variables (puntos base y precios respectivamente).
El histograma del S&P500 a niveles indica que, en el periodo de muestra, el índice tuvo mayor número de repeticiones en los 2100 puntos (48 veces). Sin embargo, la mayor parte de la distribución se centra entre los 2000 y los 3000 puntos. Para el caso de MCHI, su mayor número de repeticiones es 184 para el precio de 60usd. Los valores más extremos y con pocas repeticiones se sitúan en los 78usd.Figura 3. Histogramas a niveles S&P500 y MCHI: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Figura 4. Histogramas en rendimientos S&P500 y MCHI: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Los gráficos Cuantil-Cuantil (también referidos como q-q plots) es la representación gráfica de la distribución de un conjunto de datos a alguna distribución ideal o a priori que se asume como dada. La finalidad de estos gráficos es comparar la distribución teórica (la que suponemos o queremos como se comporte) contra la distribución empírica (la que realmente presenta la variable).
El siguiente gráfico muestra los gráficos Q-Q del S&P y de MCHI; los cuantiles teóricos o la distribución contra la que se están comparando los precios es contra una distribución normal; si la distribución empírica fuera así, entonces los puntos de dispersión deberían de distribuirse en torno a la recta.
Lo que se observa es que sí hay una parte de la distribución que se asocia a la línea recta, sin embargo, son más los datos, sobre todo en los extremos o en las colas, donde la distribución se “despega” de la normalidad.Figura 5. Q-Q plot a niveles S&P500 y EDZ: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Lo mismo se observa en el caso del gráfico Q-Q de los rendimientos, sin embargo, en este ejemplo, se puede observar que los datos, al menos en la parte central de la distribución, están más pegados a la recta, esto tiene que ver con la propiedad que cumplen los rendimientos (media cero o constante que es uno de los supuestos que se debe de cumplir para la estacionariedad de las series), sin embargo, ambos instrumentos tuvieron días que presentaron rendimientos que rebasaron su media, provocando mayor dispersión en sus datos.
Con esta representación, no se puede garantizar la normalidad en los datos, y en lo que respecta a los instrumentos financieros, lo más normal es que no sean normales.Figura 5. Q-Q plot en rendimientos S&P500 y MCHI: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Estacionariedad y pruebas de raices unitarias
El concepto de estacionariedad es importante para la estimación y para la elaboración de pronósticos, el no garantizar esta condición implicaría que las series, no serían independientes e idénticamente distribuidas, ocasionado problemas de sesgo en las estimaciones, regresiones espurias o el mal cálculo de las bandas de confianza a partir de datos que se encuentran correlacionados.
Las pruebas de raíces unitarias permiten identificar si la serie es estacionaria o no, verificando si la serie tiene alguna estructura de dependencia con los datos anteriores. Al pronosticar series de tiempo, se asumen que estas son aleatorias, por lo tanto:Ecuación 1
\[E\left ( Y_t \right| \phi_t )=0\]
Ecuación 2
\[f\left ( Y_t \right| Y_{t-1} )=f ( Y_{t} )\]
Cuando llega nueva información, los precios de las acciones fluctuarán aleatoriamente, al menos así lo dice la teoría.
Adicional al supuesto de la ecuación 1, las condiciones de estacionariedad también implican que las series sean homocedásticas, es decir, que su varianza sea constante. Este supuesto es difícil de cumplir para las series financieras debido a la dispersión o volatilidad que presentan los datos, sin embargo, de este supuesto nos encargaremos después.
Lo primero que se requiere garantizar es que la serie no tenga problemas de raíces unitarias, para que al menos se pueda garantizar el primer supuesto (valor esperado = 0).
Pruebas de raíces unitarias
Las pruebas que se utilzian para detectar raíces unitarias en este análisis son: Dickey Fuller Aumentada (DFA), Phillips Perron y la prueba Kwiatkowski - Phillips - Schmidt - Shin (KPSS). La tabla 4 muestra los resultados de S&P500 y de EDZ a niveles y rendimientos.Tabla 4. Pruebas de raíces unitarias
| Variable | \(DFA^{a/}\)(Valor p) | \(Phillips-Perron^{b/}\)(Valor p) | \(KPSS^{c/}\)(Valor p) |
|---|---|---|---|
| S&P500 (a niveles) | 0.4464 | 0.5515 | 0.01 |
| S&P500 (rendimientos) | 0.01 | 0.01 | 0.1 |
| MCHI (a niveles) | 0.6855 | 0.632 | 0.01 |
| MCHI (rendimientos) | 0.01 | 0.01 | 0.1 |
\(^{a/}H0\): La serie tiene raíz unitaria
\(^{b/}H0\): La serie tiene raíz unitaria
\(^{c/}H0\): La serie es estacionaria
Fuente. Elaboración propia con salida de R.
NUNCA OLVIDAR:
Si valor p mayor a 0.05 No rechazo (acepto) H0.
Si valor p menor a 0.05 Rechazo H0.
¿Por qué la serie en rendimientos no tiene raíz unitaria?
Se debe a lo siguiente:
\[Y_t = \alpha + \beta Y_{t-1} + e_t\]
Suponga \(\beta=1\).
\[Y_t = \alpha + Y_{t-1} + e_t\]
Donde \(Y_t\) depende del valor pasado \(Y_{t-1}\), si esto es cierto, entonces la serie no es aleatoria, hay dependencia con el dato anterior y no podemos cumplir con el primer supuesto (ecuación 1).
A este proceso se le conoce también como: “caminata aleatoria”.
Se aplican primeras diferencias en ambas partes de la ecuación.\[Y_t - Y_{t-1} = \alpha + \beta Y_{t-1} - Y_{t-1} + e_t\]
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(\beta -1) + e_t\]
Recordemos que \(\beta=1\).
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(1 -1) + e_t\]
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(0) + e_t\] \[\therefore \]
\[ \Delta Y_t= \alpha + e_t\]
La serie, en primeras diferencias, no tiene raíz unitaria, solo depende del error y del intercepto, pero no de los valores pasados o registrados del precio, por lo tanto, es estacionaria.
A este proceso también se le conoce como “ruido blanco”.
Modelos ARIMA (MCHI)
Ahora, se va a calcular el primer modelo ARIMA para hacer los pronósticos, utilizando la metodología de Box & Jenkins.
Se obtiene la Función de Autocorrelación (MA) y Función de Autocorrelación parcial (AR). Ambas series requieren ser integrada de orden I, es decir, se les tiene que aplicar una primera diferencia para que al menos puedan ser estacionarias en media. La aplicación de la primera diferencia es congruente con los resultados de las pruebas unitarias, en donde es necesario que las series se transformen en rendimientos.Figura 6. Componentes de autocorrelación ACF y PACF 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Al revisar el correlograma (a pesar de diferenciar una vez la serie), se identifican componentes de autocorrelación tanto en el procero Autorregresivo (PACF) y en el proceso de media móvil (ACF).
El primer ajuste que se hace para el pronóstico de MCHI es utilizar la función auto.arima de R, que propone una combinación de ARIMA(0,1,0) para corregir los problemas de autocorrelación.Tabla 5. Resultados del ARIMA(0,1,0) para MCHI
Series: MCHI
ARIMA(0,1,0)
sigma^2 estimated as 0.7132: log likelihood=-1638.67
AIC=3279.34 AICc=3279.34 BIC=3284.52Fuente: elaboración propia con salida de R.
Figura 7. Resultados del ARIMA(0,1,0) para MCHI 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(0,1,0)
Q* = 34.204, df = 30, p-value = 0.2728
Model df: 0. Total lags used: 30Fuente: elaboración propia con salida de R.
El resultado muestra que se han terminado de corregir los problemas de autocorrelación. Aplicando la prueba de Ljung-Box, donde la H0 es: los datos se distribuyen de forma independiente o dicho de otra forma, los residuales del ARIMA no están correlacionados. Para el ARIMA(0,1,0) la H0 se acepta.
A continuación, se muestra la estabilidad del modelo a partir del gráfico de raíces uniarias, tanto en el proceso AR como en el de MA.Figura 8. Prueba de racíces unitarias ARIMA(0,1,0) - círculo unitario 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
El modelo es estable y los problemas de autocorrelación han sido solventados en su totalidad, sin embargo, se propone el siguiente modelo para saber si se puede mejorar aún más.
Propuesta de modelo ARIMA(8,1,0) para MCHI
Este modelo al igual que el anterior, no tiene problemas de autocorrelación de autocorrelación en los residuales de acuerdo a los resultados de la prueba de Ljung-Box.Tabla 6. Resultados del ARIMA(8,1,0) para MCHI
Call:
arima(x = MCHI, order = c(8, 1, 0))
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ar6 ar7 ar8
-0.0050 -0.0069 -0.0059 0.0193 0.0189 -0.0190 0.0413 -0.0729
s.e. 0.0275 0.0276 0.0278 0.0283 0.0285 0.0289 0.0289 0.0289
sigma^2 estimated as 0.7082: log likelihood = -1634.05, aic = 3286.11Fuente: elaboración propia con salida de R.
Figura 9. Resultados del ARIMA(8,1,0) para MCHI 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(8,1,0)
Q* = 25.1, df = 22, p-value = 0.2923
Model df: 8. Total lags used: 30Fuente: elaboración propia con salida de R.
El modelo, a pesar de ser menos parsimonioso, sigue siendo estable.
Figura 10. Prueba de racíces unitarias ARIMA(8,1,0) - círculo unitario 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Se presentan los pronósticos obtenidos por ambos modelos.
Figura 11. Pronóstico a 20 días de MCHI con ARIMA(0,1,0) 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Figura 12. Pronóstico a 20 días de MCHI con ARIMA(8,1,0) 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Los pronósticos para MCHI los días 23 y 24 de marzo son:
| Fecha | Dato real | Pronosticado ARIMA (0,1,0) | Pronosticado ARIMA (8,1,0) |
|---|---|---|---|
| 23-mar-20 | 52.78 | 52.74 | 52.3970 |
| 24-mar-20 | 55.91 | 52.74 | 52.9755 |
| Criterio de información | AIC | 3279.341 | 3286.10 |
Finalmente, el Criterio de Información de Akaike muestra un mejor ajuste para el ARIMA(0,1,0).
Si bien el modelo ARIMA(0,1,0) presenta una mejor aproximación al precio real inmediato pronosticado (23 de marzo), la volatilidad del precio de MCHI provocó que el 24 de marzo cerrará en los 55.91Zusd (incremento del 6%).
¿Cómo ajustar el pronóstico para instrumentos volátiles? ¿Y el pronóstico del S&P500?
Se presentará en un siguiente trabajo con otro tipo de modelación.
Conclusiones
En este trabajo se analizó el comportamiento de MCHI, se comparó contra el S&P500 revisando su comportamiento a niveles y en rendimientos. Posteriormente, se hicieron histogramas y gráficos Q-Q que permitieron visualizar la distribución que siguen las series y la mayor parte de la concentración tanto en precios como en rendimientos.
Posteriormente, se realizaron pruebas de raíces unitarias para identificar la estacionariedad de las series en donde los resultados indicaros que las series, para que cumplan con este supuesto (al menos en media o un sentido débil), deben de ser integradas de orden I, es decir, se les tiene que aplicar una primera diferencia.
Consecutivamente, se obtuvieron los correlogramas para identificar los procesos de autocorrelación de las series, en el caso de MCHI, se plantearon dos modelos, un ARIMA(0,1,0) propuesto por R y un ARIMA(8,1,0). El ARIMA propuesto por R fue un modelo estable que no presentó problemas de autocorrelación. Por otra parte el modelo RIMA(8,1,0) que nosotros propusimos también fue un modelo estable el cual no presentó problemas de autocorrelación.
Finalmente, con base al pronóstico realizado, se sugiere estimar el ARIMA(0,1,0) incorporando siempre la nueva información para ajustar el modelo. Con una perspectiva no tan clara respecto a las economías emergentes, la incertidumbre que se vive en el mercado con la propagación del COVID-19 aunada a las tensiones del sector petrolero, se recomienda una posición de hold o mantener. Esto se debe a que China ya salió de la cuarenta por lo que es el primer país en reactivar su economía, además de que la OPEP ha llegado a un acuerdo de disminuir la producción de barriles de petróleo. Esto genera confianza en los mercados, por lo que China puede comenzar a verse atractiva para invertir.
Sin embargo, si la política fiscal de Europa, Asia y América Latina no tiene el efecto esperado de alentar a los agentes económicos a través de una inyección de mayor liquidez y la economía china no muestra signos de recuperación a pesar de levantar su cuarente por el COVID-19, así como las economías emergentes, entonces se recomienda vender MCHI.