SEGUNDO PARCIAL SPEM ARIMA
JORGE ORLANDO MALDONADO SANTAMARIA
9 DE ABRIL DE 2020
SPEM
Acerca de la cartera SPDR Mercados emergentes ETF SPEM
SPEM Los fondos SPDR (pronunciado “spider”) son una familia de fondos cotizados (ETF, por sus siglas en inglés) negociados en Estados Unidos, Europa, y Asia-Pacífico gestionados por State Street Global Advisors (SSGA). De forma informal, también se conocen como Spyders o Spiders. SPDR es una marca registrada de Standard and Poor’s Financial Services LLC, una subsidiaria .Los ETFs tienen la facilidad de que cotizan como una acción normal, permitiendo que su compra y venta sea sencilla de llevar a cabo.
SPEM refiere a Portfolio Emerging MarketS busca proporcionar resultados de inversión que, antes de comisiones y gastos,corresponden generalmente al rendimiento de rendimiento total de un índice basado en los mercados emergentes del mundo.
SPDR Portfolio S&P Emerging Markets ETF es un fondo cotizado en bolsa incorporado en los Estados Unidos. El ETF rastrea el índice de IMC emergente de S&P. El ETF posee acciones de mercados emergentes de todos los tamaños de capitalización. Sus inversiones deben tener una capitalización de mercado ajustada por flotación de $ 100 millones y una liquidez comercial mínima anual de $ 50 millones. El ETF pondera las tenencias por capitalización de mercado.
Comportamiento del precio de SPEM
A continuación, se presentan el comportamiento del precio de cierre de SPEM a partir del 1 de enero de 2015 al 20 de marzo de 2020. SPEM presentó su mayor crecimiento a principios de enero de 2018, llegando aproximadamente a los $42.50usd. SPEM, posterior a su mayor precio el año 2018 tuvo una tendencia decreciente en el precio de estas acciones, no fue hasta el año 2019 que hubo una pequeña recuperacion. La Figura 1 muestra el comportamiento del precio de cierre de SPEM.
Figura 1. Precio de Cierre de SPEM y S&P500: enero 2015 - marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Si se compara este comportamiento con la tendencia registrada por el índice S&P500, que representa las 500 emisoras más representativas que cotizan en Estados Unidos, se puede ver un comportamiento similar a SPEM, lo cual se puede corroborar en la Figura 2.
A partir de la contingencia sanitaria COVID 19 que se originó en la ciudad de Wuhan, China, que se dispersó en diferentes países ocasionando contagios y situaciones de emergencia internacional cerrando fronteras, aunado a la caída de los precios del petróleo tras no haber llegado a un acuerdo la OPEP y Rusia para disminuir la producción de petróleo, EZD comenzó a presentar rendimientos de 20 y 30% en un solo día, beneficiándose del desplome de las bolsas.
Figura 2. Rendimientos de S&P500 y SPEM: enero de 2015 a marzo 2020 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Correlación entre SPEM y S&P500
La correlación que hay entre los precios de cierre a niveles y entre los rendimientos de SPEM y el S&P500, muestra una alta relación inversa del 77.22% y 80.85% respectivamente. Tabla 2. Correlación de SPEM y S&P500 a niveles
SP500 SPEM
SP500 1.0000000 0.7722996
SPEM 0.7722996 1.0000000Fuente: elaboración propia con salida de R.
Tabla 3. Correlación de SPEM y S&P500 en rendimientos
SP500 SPEM
SP500 1.0000000 0.8085927
SPEM 0.8085927 1.0000000Fuente: elaboración propia con salida de R.
Histogramas y gráficos Q-Q
Los histogramas son gráficos que representan frecuencia de un fenómeno o de una variable mediante una distribución de los datos. En el caso de SPEM y del S&P500, a partir de los intervalos o marcas de clase que se hacen sobre ellos, se puede identificar el número de veces (frecuencia) que los precios caen en dicho intervalo.
En la figura 3 se presentan los histogramas a niveles del S&P500 y del SPEM; el eje vertical representan las frecuencias y en el eje horizontal los valores de las variables (puntos base y precios respectivamente).
El histograma del S&P500 a niveles indica que, en el periodo de muestra, el índice tuvo mayor número de repeticiones en los 2100 puntos (48 veces). Sin embargo, la mayor parte de la distribución se centra entre los 2000 y los 3000 puntos. Para el caso de SPEM, su mayor número de repeticiones es 387 para el precio de 36usd. Los valores más extremos y con 17 repeticiones se sitúan en más de los 42usd.
Figura 3. Histogramas a niveles S&P500 y SPEM: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.En lo que refiere a los rendimientos, en promedio, los rendimientos presentan un proceso de reversión a la media (0), sin embargo, la distribución de los rendimientos del S&P500 oscila entre 2% y los de SPEM en 1%, tal cual como se observó en la figura 2. La figura 4 presenta el histograma de los dos instrumentos que se han estado analizando en rendimientos.
Figura 4. Histogramas en rendimientos S&P500 y SPEM: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Los gráficos Cuantil-Cuantil (también referidos como q-q plots) es la representación gráfica de la distribución de un conjunto de datos a alguna distribución ideal o a priori que se asume como dada. La finalidad de estos gráficos es comparar la distribución teórica (la que suponemos o queremos como se comporte) contra la distribución empírica (la que realmente presenta la variable).
El siguiente gráfico muestra los gráficos Q-Q del S&P y de SPEM; los cuantiles teóricos o la distribución contra la que se están comparando los precios es contra una distribución normal; si la distribución empírica fuera así, entonces los puntos de dispersión deberían de distribuirse en torno a la recta.
Lo que se observa es que sí existe una distribución estandar hasta el cauntil teórico dos que es donde la distribución se desprende de la normalidad.
Figura 5. Q-Q plot a niveles S&P500 y SPEM: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Lo mismo se observa en el caso del gráfico Q-Q de los rendimientos, sin embargo, en este ejemplo, nótese que los datos, al menos en la parte central de la distribución, están más pegados a la recta, esto tiene que ver con la propiedad que cumplen los rendimientos (media cero o constante que es uno de los supuestos que se debe de cumplir para la estacionariedad de las series), sin embargo, ambos instrumentos tuvieron días que presentaron rendimientos que rebasaron su media, provocando mayor dispersión en sus datos.
Los rendimientos de SPEM a diferencia del s&P500 muestran una pendiente mas inclinada y con una desviacion normalizada donde solo en los extremos existe un desapego de los cuantiles.
Figura 5. Q-Q plot en rendimientos S&P500 y SPEM: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Estacionariedad y pruebas de raices unitarias
El concepto de estacionariedad es importante para la estimación y para la elaboración de pronósticos, el no garantizar esta condición implicaría que las series, no serían independientes e idénticamente distribuidas, ocasionado problemas de sesgo en las estimaciones, regresiones espurias o el mal cálculo de las bandas de confianza a partir de datos que se encuentran correlacionados.
Las pruebas de raíces unitarias permiten identificar si la serie es estacionaria o no, verificando si la serie tiene alguna estructura de dependencia con los datos anteriores. Al pronosticar series de tiempo, se asumen que estas son aleatorias, por lo tanto:
Ecuación 1
\[E\left ( Y_t \right| \phi_t )=0\]
Donde \(Y_t\) es el valor esperado de la variable condicionado a \(\phi_t\), que refiere a la información pasada o registrada de la misma variable. Si esta variable es aleatoria, entonces su valor esperado es 0. La ecuación 1 también se le conoce como un proceso estocástico y en este caso, los precios se comportan de manera aleatoria, es decir:
Ecuación 2
\[f\left ( Y_t \right| Y_{t-1} )=f ( Y_{t} )\]
Cuando llega nueva información, los precios de las acciones fluctuarán aleatoriamente, al menos así lo dice la teoría.
Adicional al supuesto de la ecuación 1, las condiciones de estacionariedad también implican que las series sean homocedásticas, es decir, que su varianza sea constante. Este supuesto es difícil de cumplir para las series financieras debido a la dispersión o volatilidad que presentan los datos, sin embargo, de este supuesto nos encargaremos después.
Lo primero que se requiere garantizar es que la serie no tenga problemas de raíces unitarias, para que al menos se pueda garantizar el primer supuesto (valor esperado = 0).
Pruebas de raíces unitarias
Las pruebas que se utilzian para detectar raíces unitarias en este análisis son: Dickey Fuller Aumentada (DFA), Phillips Perron y la prueba Kwiatkowski - Phillips - Schmidt - Shin (KPSS). La tabla 4 muestra los resultados de S&P500 y de SPEM a niveles y rendimientos.
Tabla 4. Pruebas de raíces unitarias
| Variable | \(DFA^{a/}\)(Valor p) | \(Phillips-Perron^{b/}\)(Valor p) | \(KPSS^{c/}\)(Valor p) |
|---|
SPEM (rendimientos) | 0.01 | 0.01 | 0.1 |
\(^{a/}H0\): La serie tiene raíz unitaria
\(^{b/}H0\): La serie tiene raíz unitaria
\(^{c/}H0\): La serie es estacionaria
Fuente. Elaboración propia con salida de R.
NUNCA OLVIDAR:
Si valor p mayor a 0.05 No rechazo (acepto) H0.
Si valor p menor a 0.05 Rechazo H0.
¿Por qué la serie en rendimientos no tiene raíz unitaria?
Se debe a lo siguiente:
\[Y_t = \alpha + \beta Y_{t-1} + e_t\]
Suponga \(\beta=1\).
\[Y_t = \alpha + Y_{t-1} + e_t\]
Donde \(Y_t\) depende del valor pasado \(Y_{t-1}\), si esto es cierto, entonces la serie no es aleatoria, hay dependencia con el dato anterior y no podemos cumplir con el primer supuesto (ecuación 1).
A este proceso se le conoce también como: “caminata aleatoria”.
Se aplican primeras diferencias en ambas partes de la ecuación.
\[Y_t - Y_{t-1} = \alpha + \beta Y_{t-1} - Y_{t-1} + e_t\]
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(\beta -1) + e_t\]
Recordemos que \(\beta=1\).
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(1 -1) + e_t\]
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(0) + e_t\] \[\therefore \]
\[ \Delta Y_t= \alpha + e_t\]
La serie, en primeras diferencias, no tiene raíz unitaria, solo depende del error y del intercepto, pero no de los valores pasados o registrados del precio, por lo tanto, es estacionaria.
A este proceso también se le conoce como “ruido blanco”.
Modelos ARIMA (SPEM)
Ahora, se va a calcular el primer modelo ARIMA para hacer los pronósticos, utilizando la metodología de Box & Jenkins.
Se obtiene la Función de Autocorrelación (MA) y Función de Autocorrelación parcial (AR). Ambas series requieren ser integrada de orden I, es decir, se les tiene que aplicar una primera diferencia para que al menos puedan ser estacionarias en media. La aplicación de la primera diferencia es congruente con los resultados de las pruebas unitarias, en donde es necesario que las series se transformen en rendimientos.
Figura 6. Componentes de autocorrelación ACF y PACF 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Al revisar el correlograma (a pesar de diferenciar una vez la serie), se identifican componentes de autocorrelación tanto en el procero Autorregresivo (PACF) y en el proceso de media móvil (ACF).
El primer ajuste que se hace para el pronóstico de SPEM es utilizando la función auto.arima de R, que propone una combinación de ARIMA(5,1,1) para corregir los problemas de autocorrelación.
Tabla 5. Resultados del ARIMA(5,1,1) para SPEM
Series: SPEM
ARIMA(5,1,1)
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1
-0.8883 -0.0262 0.0777 0.0126 0.0441 0.7969
s.e. 0.1045 0.0382 0.0375 0.0377 0.0325 0.1013
sigma^2 estimated as 0.1588: log likelihood=-650.98
AIC=1315.96 AICc=1316.05 BIC=1352.21Fuente: elaboración propia con salida de R.
Figura 7. Resultados del ARIMA(5,1,1) para SPEM 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(5,1,1)
Q* = 11.128, df = 24, p-value = 0.9881
Model df: 6. Total lags used: 30Fuente: elaboración propia con salida de R.
El resultado muestra que se han terminado de corregir los problemas de autocorrelación. Aplicando la prueba de Ljung-Box, los residuales del ARIMA están correlacionados. Para el ARIMA(5,1,1) la H0 no se rechaza. Si bien se puede realizar un pronóstico con estos resultados, se cae el riesgo de obtener resultados sesgados (debido a los problemas de autocorrelación).
A continuación, se muestra la estabilidad del modelo a partir del gráfico de raíces uniarias, tanto en el proceso AR como en el de MA.
Figura 8. Prueba de racíces unitarias ARIMA(5,1,1) - círculo unitario 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
El modelo es estable y los problemas de autocorrelación han sido resueltos, sin embargo se propone el siguiente modelo.
Propuesta de modelo ARIMA(8,1,1) para SPEM
Este modelo mejora significativamente los resultados propuestos por el ARIMA, se corrigen los problemas (en su mayoría) de autocorrelación en los residuales de acuerdo a los resultados de la prueba de Ljung-Box.
Tabla 6. Resultados del ARIMA(8,1,1) para SPEM
Call:
arima(x = SPEM, order = c(8, 1, 1))
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ar6 ar7 ar8
-0.5056 0.0099 0.0597 -0.0028 0.0513 -0.0015 0.0371 -0.0516
s.e. 0.2581 0.0394 0.0334 0.0333 0.0321 0.0355 0.0331 0.0369
ma1
0.4152
s.e. 0.2575
sigma^2 estimated as 0.1577: log likelihood = -649.35, aic = 1318.7Fuente: elaboración propia con salida de R.
Figura 9. Resultados del ARIMA(8,1,1) para SPEM 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(8,1,1)
Q* = 8.6381, df = 21, p-value = 0.9918
Model df: 9. Total lags used: 30Fuente: elaboración propia con salida de R.
El modelo, sigue siendo estable.
Figura 10. Prueba de racíces unitarias ARIMA(8,1,1) - círculo unitario 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Se presentan los pronósticos obtenidos por ambos modelos.
Figura 11. Pronóstico a 20 días de SPEM con ARIMA(5,1,1) 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Los problemas de una mala especificación o el no corregir los problemas de autocorrelación del modelo, implica que no se obtengan resultados confiables. La propuesta del ARIMA(8,1,1) mejora significativamente el pronóstico.
Figura 12. Pronóstico a 20 días de SPEM con ARIMA(8,1,1) 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Los pronósticos para SPEM los días 23 y 24 de marzo son:
| Fecha | Dato real | Pronosticado ARIMA (5,1,1) | Pronosticado ARIMA (8,1,1) |
|---|---|---|---|
| 23-mar-20 | 25.76 | 25.9697 | 25.8856 |
| 24-mar-20 | 27.39 | 26.3628 | 26.3689 |
| Criterio de información | AIC | 1315.96 | 1318.697 |
Finalmente, el Criterio de Información de Akaike muestra un mejor ajuste para el ARIMA(8,1,1).
El modelo ARIMA(8,1,1) presenta una mejor aproximación al precio real inmediato pronosticado para ambas fechas
Conclusiones
En este trabajo se analizó el comportamiento de SPEM, se comparó contra el S&P500 revisando su comportamiento a niveles y en rendimientos. Posteriormente, se hicieron histogramas y gráficos Q-Q que permitieron visualizar la distribución que siguen las series y la mayor parte de la concentración tanto en precios como en rendimientos.
Posteriormente, se realizaron pruebas de raíces unitarias para identificar la estacionariedad de las series en donde los resultados indicaros que las series, para que cumplan con este supuesto (al menos en media o un sentido débil), deben de ser integradas de orden I, es decir, se les tiene que aplicar una primera diferencia.
Consecutivamente, se obtuvieron los correlogramas para identificar los procesos de autocorrelación de las series, en el caso de SPEM, se plantearon dos modelos, un ARIMA(5,1,1) propuesto por R y un ARIMA(8,1,1). La primera especificación, a pesar de que era un modelo estable, no corregía en su totalidad los problemas de autocorrelación provocando distorsiones en los pronósticos en tanto que el un ARIMA(8,1,1) muestra mejores resultados, corrige autocorrelación y mejora los pronósticos.
Esta propuesta cumple con los supuestos y tiene una aproximacion tolerable a los precios reales.
Finalmente, con base al pronóstico realizado, se sugiere estimar el ARIMA(8,1,1) incorporando siempre la nueva información para ajustar el modelo. Con una perspectiva no tan clara respecto a las economías emergentes, la incertidumbre que se vive en el mercado con la propagación del COVID-19 aunada a las tensiones del sector petrolero, se recomienda una posición de hold o mantener.
Se recomienda comprar SPEM.
Referencias
[1] SPDR Portfolio S&P Emerging Markets. (2020). Recuperado el 9 de abril de 2020, de https://www.bloomberg.com/quote/SPEM:US