SOXS ARIMA
Miguel Ángel Gómez Martínez
10 de abril de 2020
#SOXS Direxion Daily Semiconductor Bear 3x Shares
SOXS forma para de los instrumentos financieros denominados como Exchange Traded Fund (ETF) que se caracterizan por replicar o hacer un track sobre un activo subyacente (acciones, índices, commodities, divisas, bonos…) o bien, replican un conjunto de activos (similar a un índice).
Las Acciones Direxion Daily Semiconductor Bull y Bear 3X buscan resultados de inversión diarios, antes de comisiones y gastos, del 300%, o 300% del inverso (u opuesto), del rendimiento del Índice del Sector de Semiconductores PHLX. No hay garantía de que los fondos cumplan con sus objetivos de inversión establecidos.
Estos ETF apalancados buscan un rendimiento que es 300% o -300% del rendimiento de su índice de referencia para un solo día . No debe esperarse que los fondos proporcionen tres veces o tres veces negativas el rendimiento del rendimiento acumulado del índice de referencia durante períodos superiores a un día.
Comportamiento del precio de SOXS
En las siguientes gráficas se encuentra una representación sobre comportamiento en los precios de cierre de SOXS, tomando como referencia a partir del 1 de enero de 2015 al 30 de marzo de 2020. Se puede observar que a principios de agosto de 2015, SOXS presento su mayor crecimiento esto puede estar relacioado con la desconfianza que se presento en el sector de inversión durante el tercer trimestre del año 2015.
En el primer trimestre de 2015 la economía de sufría de estancamiento, e mediados de este años hubo una recuperación de un mínimo porcentual a lo esperado, esto, el debibiltamiento de las esonomías emergentes y el fortalecimiento del dólar, favorecio el repunte de los costos de SOXS.
Figura 1. Precio de Cierre de SOXS: enero 2015 - marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Podemos observar que desde el comienzo del 2016 hay un descrecimiento constante en los precios, tiene relaciòn con el comienzo de del decrecimiento de las economías subdesarrolladas, las crisis previas y actulamente con las guerras en parte de medio oriente con occidente, así como la actual pandemia y el bajo consumo de combustibles fósiles.
Figura 2. Rendimientos SOXS: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Histogramas y gráficos Q-Q
Los histogramas son gráficos que representan frecuencia de un fenómeno o de una variable mediante una distribución de los datos. En el caso de SOXS, a partir de los intervalos o marcas de clase que se hacen sobre ellos, se puede identificar el número de veces (frecuencia) que los precios caen en dicho intervalo.
En gráfica 3 se presenta el histograma de la presente SOXS; el eje vertical representan las frecuencias y en el eje horizontal los valores de las variables (puntos base y precios respectivamente).
El histograma de SOXS indica que, en el periodo de muestra, el índice tuvo mayor número de repeticiones en los 2510 puntos (en diversas ocsiones). Sin embargo, la mayor parte de la distribución se centra entre los 2000 y los 3000 puntos.
Figura 3. Histogramas a niveles SOXS: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.La gráfica 4 presenta el histograma de los dos instrumentos que se han estado analizando en rendimientos.
En lo que refiere a los rendimientos, en promedio, los rendimientos presentan un proceso de reversión a la media (0), sin embargo, la distribución de los rendimientos de SOXS esta entre los 151.
Figura 4. Histogramas en rendimientos SOXS: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Los gráficos Cuantil-Cuantil (también referidos como q-q plots) es la representación gráfica de la distribución de un conjunto de datos a alguna distribución ideal o a priori que se asume como dada. La finalidad de estos gráficos es comparar la distribución teórica (la que suponemos o queremos como se comporte) contra la distribución empírica (la que realmente presenta la variable).
En la figura 5 podemos observar los gráficos Q-Q de SOXS; los cuantiles teóricos o la distribución contra la que se están comparando los precios es contra una distribución normal; si la distribución empírica fuera así, entonces los puntos de dispersión deberían de distribuirse en torno a la recta.
Lo que se observa es que sí hay una parte de la distribución que se asocia a la línea recta, sin embargo, son más los datos, sobre todo en los extremos o en las colas, donde la distribución se “despega” de la normalidad.
Figura 5. Q-Q plot a niveles SOXS: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Tenemos la misma tendencia en el caso del gráfico Q-Q de los rendimientos, a lo contrario de los precios podemos observar que en que la parte central de los rendimientos se encuentra en constancia con la recta lo que significa que cumple con las propiedades de los rendimiento, sin embargo, ambos instrumentos tuvieron días que presentaron rendimientos que rebasaron su media, provocando mayor dispersión en sus datos.
Con esta representación, no se puede garantizar la normalidad en los datos, y en lo que respecta a los instrumentos financieros, lo más normal es que no sean normales.
Figura 5. Q-Q plot en rendimientos SOXS: enero de 2015 a marzo 2020 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Estacionariedad y pruebas de raices unitarias
El concepto de estacionariedad es importante para la estimación y para la elaboración de pronósticos, el no garantizar esta condición implicaría que las series, no serían independientes e idénticamente distribuidas, ocasionado problemas de sesgo en las estimaciones, regresiones espurias o el mal cálculo de las bandas de confianza a partir de datos que se encuentran correlacionados.
Las pruebas de raíces unitarias permiten identificar si la serie es estacionaria o no, verificando si la serie tiene alguna estructura de dependencia con los datos anteriores. Al pronosticar series de tiempo, se asumen que estas son aleatorias, por lo tanto:
Ecuación 1
\[E\left ( Y_t \right| \phi_t )=0\]
Donde \(Y_t\) es el valor esperado de la variable condicionado a \(\phi_t\), que refiere a la información pasada o registrada de la misma variable. Si esta variable es aleatoria, entonces su valor esperado es 0. La ecuación 1 también se le conoce como un proceso estocástico y en este caso, los precios se comportan de manera aleatoria, es decir:
Ecuación 2
\[f\left ( Y_t \right| Y_{t-1} )=f ( Y_{t} )\]
Cuando llega nueva información, los precios de las acciones fluctuarán aleatoriamente, al menos así lo dice la teoría.
Adicional al supuesto de la ecuación 1, las condiciones de estacionariedad también implican que las series sean homocedásticas, es decir, que su varianza sea constante. Este supuesto es difícil de cumplir para las series financieras debido a la dispersión o volatilidad que presentan los datos, sin embargo, de este supuesto nos encargaremos después.
Lo primero que se requiere garantizar es que la serie no tenga problemas de raíces unitarias, para que al menos se pueda garantizar el primer supuesto (valor esperado = 0).
Pruebas de raíces unitarias
Las pruebas que se utilzian para detectar raíces unitarias en este análisis son: Dickey Fuller Aumentada (DFA), Phillips Perron y la prueba Kwiatkowski - Phillips - Schmidt - Shin (KPSS). La tabla 4 muestra los resultados de S&P500 y de EDZ a niveles y rendimientos.
Tabla 4. Pruebas de raíces unitarias
| Variable | \(DFA^{a/}\)(Valor p) | \(Phillips-Perron^{b/}\)(Valor p) | \(KPSS^{c/}\)(Valor p) |
|---|---|---|---|
| SOXS (a niveles) | 0.6382 | 0.5622 | 0.01 |
| SOXS (rendimientos) | 0.01 | 0.01 | 0.1 |
\(^{a/}H0\): La serie tiene raíz unitaria
\(^{b/}H0\): La serie tiene raíz unitaria
\(^{c/}H0\): La serie es estacionaria
Fuente. Elaboración propia con salida de R.
NUNCA OLVIDAR:
Si valor p mayor a 0.05 No rechazo (acepto) H0.
Si valor p menor a 0.05 Rechazo H0.
¿Por qué la serie en rendimientos no tiene raíz unitaria?
Se debe a lo siguiente:
\[Y_t = \alpha + \beta Y_{t-1} + e_t\]
Suponga \(\beta=1\).
\[Y_t = \alpha + Y_{t-1} + e_t\]
Donde \(Y_t\) depende del valor pasado \(Y_{t-1}\), si esto es cierto, entonces la serie no es aleatoria, hay dependencia con el dato anterior y no podemos cumplir con el primer supuesto (ecuación 1).
A este proceso se le conoce también como: “caminata aleatoria”.
Se aplican primeras diferencias en ambas partes de la ecuación.
\[Y_t - Y_{t-1} = \alpha + \beta Y_{t-1} - Y_{t-1} + e_t\]
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(\beta -1) + e_t\]
Recordemos que \(\beta=1\).
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(1 -1) + e_t\]
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(0) + e_t\] \[\therefore \]
\[ \Delta Y_t= \alpha + e_t\]
La serie, en primeras diferencias, no tiene raíz unitaria, solo depende del error y del intercepto, pero no de los valores pasados o registrados del precio, por lo tanto, es estacionaria.
A este proceso también se le conoce como “ruido blanco”.
Modelos ARIMA (SOXS)
Ahora, se va a calcular el primer modelo ARIMA para hacer los pronósticos, utilizando la metodología de Box & Jenkins.
Se obtiene la Función de Autocorrelación (MA) y Función de Autocorrelación parcial (AR). Ambas series requieren ser integrada de orden I, es decir, se les tiene que aplicar una primera diferencia para que al menos puedan ser estacionarias en media. La aplicación de la primera diferencia es congruente con los resultados de las pruebas unitarias, en donde es necesario que las series se transformen en rendimientos.
Figura 6. Componentes de autocorrelación ACF y PACF 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Al revisar el correlograma (a pesar de diferenciar una vez la serie), se identifican componentes de autocorrelación tanto en el procero Autorregresivo (PACF) y en el proceso de media móvil (ACF).
El primer ajuste que se hace para el pronóstico de SOXS es utilizando la función auto.arima de R, que propone una combinación de ARIMA(5,1,1) para corregir los problemas de autocorrelación.
Tabla 5. Resultados del ARIMA(5,1,1) para SOXS
Series: SOXS
ARIMA(5,1,1)
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1
-0.6477 -0.0351 -0.0371 -0.1282 -0.0277 0.7174
s.e. 0.1050 0.0334 0.0339 0.0332 0.0364 0.1008
sigma^2 estimated as 3629: log likelihood=-7230.29
AIC=14474.58 AICc=14474.66 BIC=14510.83Fuente: elaboración propia con salida de R.
Figura 7. Resultados del ARIMA(5,1,1) para EDZ 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(5,1,1)
Q* = 92.803, df = 24, p-value = 4.928e-10
Model df: 6. Total lags used: 30Fuente: elaboración propia con salida de R.
El resultado muestra que no se han terminado de corregir los problemas de autocorrelación. Aplicando la prueba de Ljung-Box, donde la H0 es: los datos se distribuyen de forma independiente o dicho de otra forma, los residuales del ARIMA no están correlacionados. Para el ARIMA(5,1,1) la H0 se rechaza. Si bien se puede realizar un pronóstico con estos resultados, se cae el riesgo de obtener resultados sesgados (debido a los problemas de autocorrelación).
A continuación, se muestra la estabilidad del modelo a partir del gráfico de raíces uniarias, tanto en el proceso AR como en el de MA.
Figura 8. Prueba de racíces unitarias ARIMA(5,1,1) - círculo unitario 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Si bien el modelo es estable, los problemas de autocorrelación no han sido solventados en su totalidad, por lo que se propone el siguiente modelo.
Propuesta de modelo ARIMA(4,1,20) para SOXS
Este modelo mejora significativamente los resultados propuestos por el ARIMA, se corrigen los problemas (en su mayoría) de autocorrelación en los residuales de acuerdo a los resultados de la prueba de Ljung-Box.
Tabla 6. Resultados del ARIMA(4,1,20) para SOXS
Call:
arima(x = SOXS, order = c(4, 1, 20))
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ma1 ma2 ma3 ma4
-0.0716 -0.4658 0.6292 0.1797 0.1431 0.4103 -0.6092 -0.3935
s.e. 0.3587 0.0973 0.1833 0.2848 0.3591 0.0886 0.1591 0.2704
ma5 ma6 ma7 ma8 ma9 ma10 ma11 ma12
0.0421 -0.0968 0.2191 0.0537 -0.0098 -0.0514 -0.0916 0.0810
s.e. 0.0897 0.0528 0.0622 0.0914 0.0423 0.0416 0.0435 0.0452
ma13 ma14 ma15 ma16 ma17 ma18 ma19 ma20
0.0087 -0.0433 -0.0871 -0.0598 0.0209 0.0961 0.0522 0.0955
s.e. 0.0599 0.0498 0.0434 0.0515 0.0365 0.0417 0.0403 0.0361
sigma^2 estimated as 3424: log likelihood = -7195.77, aic = 14441.55Fuente: elaboración propia con salida de R.
Figura 9. Resultados del ARIMA(4,1,20) para SOXS 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(4,1,20)
Q* = 48.133, df = 6, p-value = 1.111e-08
Model df: 24. Total lags used: 30Fuente: elaboración propia con salida de R.
El modelo, a pesar de ser menos parsimonioso, sigue siendo estable.
Figura 10. Prueba de racíces unitarias ARIMA(4,1,20) - círculo unitario 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Se presentan los pronósticos obtenidos por ambos modelos.
Figura 11. Pronóstico a 20 días de SOXS con ARIMA(5,1,1) 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Los problemas de una mala especificación o el no corregir los problemas de autocorrelación del modelo, implica que no se obtengan resultados confiables. La propuesta del ARIMA(4,1,20) mejora un tanto el pronóstico.
Figura 12. Pronóstico a 20 días de SOXS con ARIMA(4,1,20) 
Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 95
1313 26.04756 -48.94432 101.0394 -88.64262 140.7377
1314 31.35182 -78.55665 141.2603 -136.73868 199.4423
1315 28.59097 -104.92251 162.1045 -175.60028 232.7822
1316 30.01570 -123.18891 183.2203 -204.29053 264.3219
1317 29.93410 -136.34871 196.2169 -224.37351 284.2417
1318 29.65054 -149.60830 208.9094 -244.50220 303.8033
1319 29.86918 -160.20057 219.9389 -260.81741 320.5558
1320 28.51777 -174.76193 231.7975 -282.37170 339.4072
1321 29.37472 -187.92977 246.6792 -302.96381 361.7132
1322 28.89161 -199.29557 257.0788 -320.09057 377.8738
1323 28.63280 -209.76131 267.0269 -335.95952 393.2251
1324 29.85778 -218.62830 278.3439 -350.16889 409.8844Fuente: elaboración propia con salida de R.
Los pronósticos para SOXS los días 23 y 24 de marzo son:
| Fecha | Dato real | Pronosticado ARIMA (5,1,1) | Pronosticado ARIMA (5,1,21) |
|---|---|---|---|
| 23-mar-20 | 29.20 | 22.3900 | 21.4100 |
| 24-mar-20 | 19.51 | 27.6540 | 28.8474 |
| Criterio de información | AIC | 14474.58 | 14441.55 |
Finalmente, el Criterio de Información de Akaike muestra un mejor ajuste para el ARIMA(5,1,21).
Si bien el modelo ARIMA(4,1,20) presenta una mejor aproximación al precio real inmediato pronosticado (23 de marzo), la volatilidad del precio de EDZ provocó que el 24 de marzo cerrará en los 19.51 usd (caída del más del 25%).
Conclusiones
En este trabajo se analizó el comportamiento de SOXS, revisando su comportamiento a niveles y en rendimientos. Posteriormente, se hicieron histogramas y gráficos Q-Q que permitieron visualizar la distribución que siguen las series y la mayor parte de la concentración tanto en precios como en rendimientos.
Posteriormente, se realizaron pruebas de raíces unitarias para identificar la estacionariedad de las series en donde los resultados indicaros que las series, para que cumplan con este supuesto (al menos en media o un sentido débil), deben de ser integradas de orden I, es decir, se les tiene que aplicar una primera diferencia.
Consecutivamente, se obtuvieron los correlogramas para identificar los procesos de autocorrelación de las series, en este caso con SOXS se presentaros dos modelos, un ARIMA(5,1,1) que sugiere “R” en primera estancia un ARIMA(4,1,20). La primera especificación, a pesar de que era un modelo estable, no corregía en su totalidad los problemas de autocorrelación provocando distorsiones en los pronósticos en tanto que el un ARIMA(4,1,20) muestra una mejora en los resultados, corrige autocorrelación y mejora los pronósticos.
Aunque la propuesta (4,1,20) presenta una mejora en el resultado, no significa que este sea el mejor modelo o que no se puedan hacer otras especificaciones, pero al menos cumple con los supuestos y permite que tengamos más herramientas para la toma de decisiones.
Finalmente, con base al pronóstico realizado, se sugiere estimar el ARIMA(4,1,20) incorporando siempre la nueva información para ajustar el modelo. Con una perspectiva no tan clara respecto a las economías emergentes, la incertidumbre que se vive en el mercado con la propagación del COVID-19 aunada a las tensiones del sector petrolero, se recomienda una posición de hold o mantener.
Referencias
[1] Direxion Funds. (2020). Direxion Daily Semiconductor Bear 3x Shares. Direxion. Recuperado el 09 de abril de 2020, de https://www.direxion.com/products/direxion-daily-semiconductor-bull-3x-etf